【疑難突破】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)的單調(diào)性

求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍講解可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的充要條件：f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）上恒成立，且f′（x）在（a，b）的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍講解已知f（x）在區(qū)間（a，b）上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍的方法：利用集合的包含關(guān)系處理f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的問(wèn)題，則區(qū)間（a，b）是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；利用不等式恒成立處理f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增（減）的問(wèn)題，則f′（x）≥

0（f′（x）≤0）在（a，b）內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號(hào)是否取到．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞），求實(shí)數(shù)a的值．思路點(diǎn)撥：（1）求f′（x）—→由f′（x）≥10分離參數(shù)a—→確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：（1）由題意得，f′（x）＝3x2－a．若函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b在（1，＋∞）上是增函數(shù)，則f′（x）≥10在x∈（1，＋∞）上恒成立，即a≤3x2在x∈（1，＋∞）上恒成立，則a≤（3x2）min．所以a≤3，即a的取值范圍是（－∞，3]．因?yàn)閤＞1，所以3x2＞3．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞），求實(shí)數(shù)a的值．思路點(diǎn)撥：（2）思路一：f′（1）＝0—→確定實(shí)數(shù)a的值．解析：（2）解法一：由題意可知f′（x）≥10在（1，＋∞）上恒成立，且f′（1）＝3－a＝0，解得a＝3，經(jīng)驗(yàn)證，a＝3滿足條件，所以a＝3．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞），求實(shí)數(shù)a的值．思路點(diǎn)撥：（2）思路二：對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論—→得到實(shí)數(shù)a的值．此時(shí)，f（x）＝x3－ax＋b在R上是增函數(shù)，解析：（2）解法二：令f′（x）≥10，得x2≥

．若a≤0，則x2≥

恒成立，即f′（x）≥0恒成立，與題意不符．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞），求實(shí)數(shù)a的值．思路點(diǎn)撥：（2）思路二：對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論—→得到實(shí)數(shù)a的值．若a＞0，由f′（x）≥0，得x≥

或x≤

．因?yàn)椋?，＋∞）是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，所以

＝1，即a＝3．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝x3－ax＋b．（1）若函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞），求實(shí)數(shù)a的值．陷阱分析理解題意時(shí)，要注意“（1）函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)”與“（2）函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間