常數(shù)e到底是個什么鬼

常數(shù)e到底是個什么鬼1e是一個重要的常數(shù)，但是我一直不知道，它的真正含義是什么。它不像n。大家都知道，n代表了圓的周長與直徑之比3.14159,可是如果我問你，e代表了什么。你能回答嗎？維基百科說：'e是自然對數(shù)的底數(shù)?！牵闳タ?自然對數(shù)'，得到的解釋卻是：自然對數(shù)是以e為底的對數(shù)函數(shù)，e是一個無理數(shù)，約等于2.718281828。'這就構(gòu)成了循環(huán)定義，完全沒有說e是什么。數(shù)學(xué)家選擇這樣一個無理數(shù)作為底數(shù)，還號稱這種對數(shù)很'自然'，這難道不是很奇怪的事情嗎？2有一篇好文章，它把這個問題解釋得非常清楚，而且一看就懂。它說，什么是e？簡單說，e就是增長的極限。下面就是它的解釋。3假定有一種單細(xì)胞生物，它每過24小時分裂一次。那么很顯然，這種生物的數(shù)量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天就是2個，后天就是4個。我們可以寫出一個增長數(shù)量的公式：上式中的x就表示天數(shù)。這種生物在x天的總數(shù)，就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣：其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時間內(nèi)的增長率。4我們繼續(xù)假定：每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，新產(chǎn)生的那半個細(xì)胞已經(jīng)可以再次分裂了。因此，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎(chǔ)上增長50%。當(dāng)這一天結(jié)束的時候，我們一共得到了2.25個細(xì)胞。其中，1個是原有的，個是新生的，另外的0.25個是新生細(xì)胞分裂到一半的。如果我們繼續(xù)修改假設(shè)，這種細(xì)胞每過8小時就具備獨立分裂的能力，也就是將1天分成3個階段。那么，最后我們就可以得到大約2.37個細(xì)胞。很自然地，如果我們進一步設(shè)想，這種分裂是連續(xù)不斷進行的，新生細(xì)胞每分每秒都具備繼續(xù)分裂的能力，那么一天最多可以得到多少個細(xì)胞呢？當(dāng)n趨向無限時，這個式子的極值等于2.718281828…。因此，當(dāng)增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內(nèi)最多只能得到2.71828個細(xì)胞。數(shù)學(xué)家把這個數(shù)就稱為e,它的含義是單位時間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長所能達到的極限值。這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數(shù)，就叫做自然對數(shù)。5有了這個值以后，計算銀行的復(fù)利就非常容易。假定有一家銀行，每年的復(fù)利是100%，請問存入100元，一年后可以拿多少錢？回答就是271.828元，等于100個e。但是，實際生活中，銀行的利息沒有這么高，如果利息率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少錢呢？為了便于思考，我們?nèi)等于50：我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000所得到的值非常接近e：因此，5%利息率就相當(dāng)于e的20分之一次方：20分之一正好等于5%的利率率，所以我們可以把公式改寫成：上式的rate就代表增長率。這說明e可以用于任何增長率的計算，前提是它必須是持續(xù)不斷的復(fù)合式增長。6再考慮時間因素，如果把錢在銀行里存2年，可以得到多少錢？在時間t的情況下，通用公式就是：上式就是計算增長量的萬能公式，可以適用于任何時間、任何增長率。7回到上面的例子，如果銀行的利息率是5%的復(fù)利，請問100元存款翻倍需要多少時間？計算結(jié)果是13.86年：上式最后一個等號，表明用72除以增長率，可以得到翻倍的大致時間，這就是72法則的來源?！究破铡縠是石頭里蹦出來的嗎？e是自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)。有時稱它為歐拉數(shù)(Eulernumber),以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數(shù)，以紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰?納皮爾引進對數(shù)。它就像圓周率兀和虛數(shù)單位i，e是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一。它的數(shù)值約是：e-2.71828第一次提到常數(shù)e,是約翰?納皮爾于1618年出版的對數(shù)著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數(shù)，只有由它為底計算出的一張自然對數(shù)列表，通常認(rèn)為是由威廉?奧特雷德(WilliamOughtred)制作。第一次把e看為常數(shù)的是雅各?伯努利(^^6Bernoulli)。知的第一次用到常數(shù)e,是萊布尼茨于1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數(shù);而e第一次在出版物用至U，是1736年歐拉的《力學(xué)》(Mechanica)。雖然以后也有研究者用字母c表示，但e較常用，終于成為標(biāo)準(zhǔn)。用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數(shù)”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a,b,c和d有其他經(jīng)常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當(dāng)?shù)乜隙ㄋ说墓ぷ?。?dāng)x趨于正無窮大或負(fù)無窮大時，"1加x分之一的x次方”這個函數(shù)表達式（l+1/x）八x的極限就等于e,用公式表示，即：lim（1+1/x）八x=e（x趨于±8）實際上e就是歐拉通過這個極限而發(fā)現(xiàn)的，它是個無限不循環(huán)小數(shù)，其值等于2.71828……。以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，用符號“l(fā)n”表示。至于歐拉選擇e的理由，較為多數(shù)人所接受的說法有二：一為在a,b,c,d等四個常被使用的字母后面，第一個尚未被經(jīng)常使用的字母就是e,