高三立體幾何章末檢測試卷

章末檢測試卷(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有()A．2對 B．3對C．4對 D．5對答案C解析有3對側(cè)面相互平行，上下兩底面也相互平行．2．如圖，B′C′∥x′軸，A′C′∥y′軸，則下面直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形考點(diǎn)平面圖形的直觀圖題點(diǎn)由直觀圖還原平面圖形答案D解析因?yàn)锽′C′∥x′軸，A′C′∥y軸，所以直觀圖中BC∥x軸，AC∥y軸，所以三角形是直角三角形．故選D.3．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線()A．12對B．24對C．36對D．48對考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與棱AB異面的直線有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4對，正方體ABCD－A1B1C1D1有12條棱，排除重復(fù)計(jì)算的異面直線，∴異面直線共有12×2＝24(對)．4．一個圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與軸所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．75°考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)圓錐的母線長為L，底面圓的半徑為r，則由題意得πrL＝2πr2，∴L＝2r，∴圓錐的母線與軸所成的角為30°.5．下列命題：①在平面外的直線與平面不相交必平行；②過平面外一點(diǎn)只有一條直線和這個平面平行；③如果一條直線與另一條直線平行，則它和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行；④若直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則直線平行于該平面．其中正確命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案A解析①正確，②③④錯誤．6．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析如圖所示，a，b是異面直線，AB，AC都與a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都與a，b相交，AB，DE異面．7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④考點(diǎn)平行問題的綜合應(yīng)用題點(diǎn)線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，F(xiàn)G∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A.8．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為1，eq\r(2)，eq\r(3)，則此三棱錐的外接球的表面積為()A．3π B．6πC．18π D．24π考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題答案B解析將三棱錐補(bǔ)成邊長分別為1，eq\r(2)，eq\r(3)的長方體，則長方體的體對角線是外接球的直徑，所以2R＝eq\r(6)，解得R＝eq\f(\r(6),2)，故S＝4πR2＝6π.9．過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為()A.eq\f(3,16) B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(9,32)考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析如圖所示，設(shè)球的半徑為R，由題意知OO′＝eq\f(R,2)，OF＝R，∴r＝eq\f(\r(3),2)R.∴S截面＝πr2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＝eq\f(3π,4)R2.又∵S球＝4πR2，∴eq\f(S截面,S球)＝eq\f(\f(3π,4)R2,4πR2)＝eq\f(3,16).10．已知直線l?平面α，直線m?平面α，下面四個結(jié)論：①若l⊥α，則l⊥m；②若l∥α，則l∥m；③若l⊥m，則l⊥α；④若l∥m，則l∥α，其中正確的是()A．①②④ B．③④C．②③ D．①④考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的判定答案D解析由直線l?平面α，直線m?平面α知，在①中，若l⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)得l⊥m，故①正確；在②中，若l∥α，則l與m平行或異面，故②錯誤；在③中，若l⊥m，則l與α不一定垂直，故③錯誤；在④中，若l∥m，則由線面平行的判定定理得l∥α，故④正確．故選D.11．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯誤的是()A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE考點(diǎn)空間中的垂直問題題點(diǎn)空間中的垂直問題答案C解析由AB是底面圓的直徑可知，∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正確．而DE⊥平面CEB不正確．故選C.12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°.側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯誤的是()A．在棱AD上存在點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P－BC－A的大小為45°D．BD⊥平面PAC考點(diǎn)空間角問題題點(diǎn)空間角的綜合應(yīng)用答案D解析對于A，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，BM，∵側(cè)面PAD為正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，∴△ABD是等邊三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，∴AD⊥平面PBM，故A正確．對于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，設(shè)AB＝1，則BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A大小為45°，故C正確．錯誤的是D，故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．直角梯形的一個內(nèi)角為45°，下底長為上底長的eq\f(3,2)倍，這個梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積為(5＋eq\r(2))π，則旋轉(zhuǎn)體的體積為________．考點(diǎn)題點(diǎn)答案eq\f(7π,3)解析如圖所示的是旋轉(zhuǎn)體的半軸截面，設(shè)直角梯形的上底長為r，則下底長為eq\f(3,2)r，∠C＝45°，所以DE＝eq\f(r,2)，DC＝eq\f(\r(2),2)r，所以旋轉(zhuǎn)體的表面積為S表＝π·eq\f(r2,4)＋2π·eq\f(r,2)·r＋π·eq\f(r,2)·eq\f(\r(2),2)r＝eq\f(π,4)r2(5＋eq\r(2))．又因?yàn)镾表＝(5＋eq\r(2))π，所以r2＝4，所以r＝2，所以V＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2·r＋eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2·eq\f(r,2)＝eq\f(7π,3).14．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MN⊥BC于點(diǎn)M，則MN與AD的位置關(guān)系是________．考點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理判定線線垂直答案垂直解析∵平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，MN?平面BCC1B1，∴MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AD.15．已知平面α，β和直線m，給出以下條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.要想得到m⊥β，則所需要的條件是________．(填序號)考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案②④解析易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,α∥β))?m⊥β.16.如圖，已知點(diǎn)O在二面角α－AB－β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB＝45°.若對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的大小是________．考點(diǎn)題點(diǎn)答案90°解析因?yàn)镺P與平面β所成的角大于等于45°，所以O(shè)P與平面β所成的角最小為45°，即OP與OP在平面β內(nèi)的射影所成的角最小是45°.又因?yàn)椤螾OB＝45°，所以AB就是OP在平面β內(nèi)的射影，所以α⊥β.所以二面角α－AB－β的大小是90°.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：AC⊥B1C；(2)求證：AC1∥平面CDB1.考點(diǎn)題點(diǎn)證明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)連接BC1交B1C于O點(diǎn)，連接OD.如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.18．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC的體積V.考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的證明(1)證明在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G.則EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，∴VE－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·EG＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).19.(12分)如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求異面直線CE與AF所成角的余弦值；(2)證明：CD⊥平面ABF.考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明(1)解因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA∥ED，故∠CED為異面直線CE與AF所成的角．因?yàn)镕A⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD.在Rt△CDE中，因?yàn)镃D＝1，ED＝2eq\r(2)，所以CE＝eq\r(CD2＋ED2)＝3，所以cos∠CED＝eq\f(ED,CE)＝eq\f(2\r(2),3).故異面直線CE與AF所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3).(2)證明如圖，過點(diǎn)B作BG∥CD交AD于點(diǎn)G，則∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，從而CD⊥AB.又因?yàn)镃D⊥FA，F(xiàn)A∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.20.(12分)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問題的證明證明(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，又B1F1?平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F為線段D1A的中點(diǎn)，求證：EF∥平面D1BC；(2)求證：BE⊥D1A.考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行、垂直綜合問題的證明證明(1)取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥BC，F(xiàn)G∥D1B，且EG∩FG＝G，EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B?平面D1BC，BC?平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF?平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易證BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.又∵D1A?平面D1AE，∴BE⊥D1A.22.(12分)如圖所示，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)