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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī):555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī),運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.122.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.4.已知集合,則集合()A. B. C. D.5.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.6.已知函數(shù),滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知銳角滿足則()A. B. C. D.8.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.339.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π10.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.211.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.12.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則__________.15.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,為中點(diǎn),則三棱錐的體積為_(kāi)_______.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù):,)18.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.19.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.20.(12分)某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失?。畷x級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn)(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn)(不與重合)求二面角的正切值的最小值22.(10分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù),的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).2.C【解析】試題分析:畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫(huà)出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點(diǎn):平面的基本性質(zhì)及推論.3.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來(lái)自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對(duì)值不等式,是一道基礎(chǔ)題.5.D【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.6.B【解析】
由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.7.C【解析】
利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.8.C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.10.A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.12.D【解析】
根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類,利用則,列方程,化簡(jiǎn)后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無(wú)解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因?yàn)?,所以函?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問(wèn)題.屬于基礎(chǔ)題.14.0.22.【解析】
正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱,根據(jù)對(duì)稱性以及概率和為1求解即可?!驹斀狻俊军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,是一個(gè)基礎(chǔ)題.15.【解析】
試題分析:因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為為中點(diǎn),所以底面的面積為,到平面的距離為就是底面正三角形的高,所以三棱錐的體積為.考點(diǎn):幾何體的體積的計(jì)算.16.【解析】
對(duì)題目所給等式進(jìn)行賦值,由此求得的表達(dá)式,判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得的值.【詳解】解:,可得時(shí),,時(shí),,又,兩式相減可得,即,上式對(duì)也成立,可得數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,可得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求,考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)解析式可得,構(gòu)造函數(shù),求得并令,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值,由即可證明恒成立,即不等式得證.(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),變形后討論當(dāng)時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況:當(dāng)時(shí),可知滿足題意;將不等式化簡(jiǎn)后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最小值為,分別依次代入檢驗(yàn)的符號(hào),即可確定整數(shù)的最大值;當(dāng)時(shí)不滿足題意,因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論.【詳解】(1)證明:當(dāng)時(shí)代入可得,令,,則,令解得,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,所以,則,即成立.(2)函數(shù)則,若時(shí),當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時(shí)成立;所以此時(shí)需滿足的整數(shù)解即可,將不等式化簡(jiǎn)可得,令則令解得,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),即在內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)取得最小值,則,,,所以此時(shí)滿足的整數(shù)的最大值為;當(dāng)時(shí),在時(shí),此時(shí),與題意矛盾,所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值,所以時(shí)無(wú)需再討論,綜上所述,當(dāng)時(shí),整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法求最值,并判斷函數(shù)值法符號(hào),綜合性強(qiáng),屬于難題.18.(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因?yàn)?,所?令,,則在單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因?yàn)?,所以在區(qū)間上的值域?yàn)?點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)公式的正確使用.19.(1).(2).【解析】
(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,則cosθ,∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(xiàn)(0,0,2),D(0,2,0),設(shè)P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),設(shè)平面APC的法向量(x,y,z),則,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的長(zhǎng)度|PF|.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,根據(jù)二面角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20.(1);(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)分布列見(jiàn)解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級(jí)成功的頻率,計(jì)算晉級(jí)成功的人數(shù),填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算觀測(cè)值,對(duì)照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值,寫(xiě)出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級(jí)成功的頻率為,所以晉級(jí)成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無(wú)關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過(guò)的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談,這人晉級(jí)失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項(xiàng)分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數(shù)學(xué)期望為.或().【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量,則.21.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)推導(dǎo)出,,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證.(2)過(guò)作,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當(dāng)余弦值取得最大時(shí),正切值求得最小值;【詳解】(1)因?yàn)?,面,,平面,平面,平面?/p>
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