2022年遼寧省凌源三中高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．2．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．3．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)（）.A．6 B．5 C．4 D．34．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．5．對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．6．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．9．若集合，，則A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．11．已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．12．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是_______．14．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則其單調(diào)遞減區(qū)間為_______．15．已知函數(shù)，則曲線在處的切線斜率為________.16．根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中，曲線：.（1）求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等，求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).18．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn).19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的求值范圍．22．（10分）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

畫圖取的中點(diǎn)M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點(diǎn)是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.2．B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.3．C【解析】

若對(duì)任意的恒成立，則為的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值時(shí)的n即可.【詳解】由已知，，又三角形有一個(gè)內(nèi)角為，所以，，解得或（舍），故，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.4．C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．5．D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6．B【解析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.7．A【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.8．B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱性，求出所求式子的最大值．9．C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?，，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.10．D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.11．A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)?，所以圓心到的距離為：，即，因?yàn)?，所以解得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.12．A【解析】

設(shè)成立；反之，滿足，但，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(1，)【解析】

在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知：與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形：與切于，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14．【解析】

利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求出的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，解得；所以，其中；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，即為所求斜率.【詳解】，，解得：，即在處的切線斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查切線斜率的求解問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16．7【解析】

表示初值S=1,i=1，分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán)：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循環(huán)：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循環(huán)結(jié)束，輸出：i=7.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查在程序語(yǔ)句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（1），;（2），，.【解析】

(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.【詳解】解：（1）由消去參數(shù)得，即曲線的普通方程為，又由得即為，即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為（2）∵圓心到曲線：的距離，如圖所示，所以直線與圓的切點(diǎn)以及直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求．∵，則，直線的傾斜角為，即點(diǎn)的極角為，所以點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為，所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將和換成和即可.18．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個(gè)定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20．（1）見解析（2）【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點(diǎn),結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：平面，平面，,又四邊形為正方形，.又、平面，且，平面..中，，為的中點(diǎn)，.又、平面，，平面.平面，平面平面.（2）解：過作交于，如圖為的中點(diǎn)，，.又平面，平面.，.所以,又、、兩兩互相垂直，以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，設(shè)平面的法向量，則，即.令，則，..平面的一個(gè)法向量為.二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.21．（1）或；（2）．【解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)椋匀艉瘮?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題