人教版初中數(shù)學(xué)《全等之倍長(zhǎng)中線(xiàn)定理》專(zhuān)題突破含答案解析

專(zhuān)題04全等之倍長(zhǎng)中線(xiàn)定理一、單選題1．（2021·福建德化縣·）已知AD是△ABC中BC邊的中線(xiàn)，若AB＝4，AD＝3，則AC的長(zhǎng)可以是（）A．11 B．11 C．10 D．9【答案】D【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD=3，連接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=4．在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4AE-CE＜AC＜AE+CE，即6-4＜AC＜6+4，∴2＜AC＜10．∴AC的長(zhǎng)可以是9故選：D．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長(zhǎng)中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)之一．2．（2020·武漢市卓刀泉中學(xué)八年級(jí)月考）已知△ABC，AB=4，AC=2，BC邊上的中線(xiàn)AD長(zhǎng)度可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】畫(huà)出示意圖，根據(jù)倍長(zhǎng)中線(xiàn)證明全等，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分析即可．【詳解】如圖所示，AD為BC邊上的中線(xiàn)，BD=CD，延長(zhǎng)AD至E，使得AD=DE，連接CE，則∠ADB=∠CDE，∴，∴AB=CE=2，則在△ACE中，，即：，∴，B選項(xiàng)符合要求，故選：B．【點(diǎn)睛】本體主要考查了倍長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造輔助線(xiàn)的應(yīng)用，靈活將中線(xiàn)轉(zhuǎn)換為三角形的一邊從而結(jié)合三角形的三邊關(guān)系分析是解題關(guān)鍵．3．（2020·沙洋縣紀(jì)山中學(xué)八年級(jí)月考）已知AD是△ABC中線(xiàn)，AB＝12，AC＝8，則BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍分別是（）A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜10 C．4＜AD＜20 D．2＜AD＜12【答案】A【分析】中線(xiàn)AD的取值范圍可延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，得出△ACD≌△EBD，進(jìn)而在△ABE中利用三角形三邊關(guān)系求解．【詳解】解：如圖所示，

在△ABC中，則AB-AC＜BC＜AB+AC，

即12-8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，

延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE，

∵AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，∴BD=CD，

又∠ADC=∠BDE，AD=DE

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴BE=AC，

在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即AB-AC＜AE＜AB+AC，

12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，

∴2＜AD＜10．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問(wèn)題，能夠理解掌握并熟練運(yùn)用．4．（2020·江蘇贛榆區(qū)·贛榆實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC邊上的中線(xiàn)，則AD長(zhǎng)的取值范圍是()

A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】先延長(zhǎng)AD到E，且AD=DE，并連接BE，利用SAS易證△ADC≌△EDB，從而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得AB-BE＜AE＜AB+BE，從而易求1＜AD＜7．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，如圖所示：∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC=6，在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，掌握利用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．5．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的邊上的中線(xiàn)，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，證明，可得，然后運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果．【詳解】如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．∵為的邊上的中線(xiàn)，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)倍長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江浙江省·）在學(xué)完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課，老師讓同學(xué)們自己談?wù)剬?duì)三角形相關(guān)知識(shí)的理解．小峰說(shuō)：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3”．小慧說(shuō)：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線(xiàn)不小于其他兩邊和的一半”．對(duì)以上兩位同學(xué)的說(shuō)法，你認(rèn)為（）A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確【答案】A【分析】先分別假設(shè)這兩個(gè)說(shuō)法正確，先根據(jù)三角形高和中線(xiàn)的性質(zhì)即可判斷正誤．【詳解】解：假設(shè)存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為6：3：2，這與三角形三邊關(guān)系相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在；假設(shè)存在這樣的三角形，其一邊上的中線(xiàn)不小于其他兩邊和的一半，延長(zhǎng)中線(xiàn)成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中線(xiàn)的2倍不小于（大于等于）其他兩邊之和，這與三角形三邊關(guān)系矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以這樣的三角形不存在；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高及中線(xiàn)、等積法、三角形三邊關(guān)系．等積法：兩個(gè)三角形等底等高，則面積相等，由此可以推得：兩個(gè)三角形高相等，底成倍數(shù)，面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系；同理，兩個(gè)三角形底相等、高成倍數(shù)關(guān)系、面積也成同樣的倍數(shù)關(guān)系；三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河南紅旗區(qū)·新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【答案】B【分析】先延長(zhǎng)到，且，并連接，由于，，利用易證，從而可得，在中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得，從而易求．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接，則AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．8．（2020·湖北黃陂區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，為的中點(diǎn)，若．則的長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，證明△ADC≌△EDB，然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE=4，連接BE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三邊關(guān)系得，即：故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題9．（2021·湖北江岸區(qū)·八年級(jí)期末）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4，設(shè)第三邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是______．【答案】1＜x＜3【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解．【詳解】解：如圖所示，AB＝2，AC＝4，延長(zhǎng)AD至E，使AD＝DE，在△BDE與△CDA中，∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE＝2x，BE＝AC＝4，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，∴1＜x＜3．故答案為：1＜x＜3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線(xiàn)、三角形三邊關(guān)系，有關(guān)三角形的中線(xiàn)問(wèn)題，通常要倍數(shù)延長(zhǎng)三角形的中線(xiàn)，把三角形的一邊變換到與另一邊和中線(xiàn)的兩倍組成三角形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．10．（2020·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在中，，，則中線(xiàn)的取值范圍是__________．【答案】2＜AD＜7【分析】作出圖形，延長(zhǎng)AD至E，是DE=AD，連接CE，然后根據(jù)“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之和小于第三邊求出AE的取值范圍，從而得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，是DE=AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線(xiàn)，∴BD=CD，∵在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AB=9，AC=5，9-5=4，9+5=14，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故答案為：2＜AD＜7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，將中線(xiàn)AD延長(zhǎng)得AD=DE進(jìn)而求出是解題的關(guān)鍵．11．（2020·上海市松江區(qū)民辦茸一中學(xué)）在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是邊BC的中線(xiàn)，則中線(xiàn)AD的長(zhǎng)度取值范圍是_________．【答案】1＜AD＜5【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線(xiàn)，

∴BD＝CD，

在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB＝AC＝4，

∵AB＝6，

∴2＜AE＜10，

∴1＜AD＜5．

故答案為：1＜AD＜5．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定以及三角形的三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2020·重慶巴川中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，，D為中點(diǎn)，則線(xiàn)段的范圍是______．【答案】【分析】延長(zhǎng)至，使，根據(jù)三角形中線(xiàn)的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊求出的范圍，然后求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使，是中邊上的中線(xiàn)，，在和中，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，“遇中線(xiàn)，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．13．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校）如圖所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中線(xiàn)，若AD的長(zhǎng)為偶數(shù)，則AD＝_____．【答案】2或4【分析】延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三邊關(guān)系可得1＜AD＜5，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，∵AD為偶數(shù)，∴AD＝2或4，故答案為2或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)倍長(zhǎng)中線(xiàn)這個(gè)輔助線(xiàn)作法得到三角形全等，進(jìn)而求解即可．14．（2019·山東陵城區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，AD是ABC中BC邊上的中線(xiàn)，若AB＝5，AC＝8，則AD的取值范圍是_____．【答案】1.5<AD<6.5．【分析】延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中,

∵，

∴△ABD≌△ECD(SAS),

CE=AB，

∵AB=5，AC=8，

∴8-5<AE<8+5，即

3<2AD<13，

∴1.5<AD<6.5，故答案為：1.5<AD<6.5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點(diǎn)加倍延，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線(xiàn)，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________【答案】2＜AD＜4【分析】此題要倍長(zhǎng)中線(xiàn)，再連接，構(gòu)造全等三角形．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線(xiàn)，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范圍為2＜AD＜4．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此題的關(guān)鍵．16．（2020·四川涪城區(qū)·東辰國(guó)際學(xué)校八年級(jí)期末）已知在△ABC中，AB＝9，中線(xiàn)AD＝4，那么AC的取值范圍是____【答案】1＜AC＜17【分析】作出圖形，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出AC的取值范圍．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中線(xiàn)，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE，∵AD＝4，∴AE＝4+4＝8，∵AC+CE＞AC＞CE-AE，∴9-8＜AC＜8+9，∴1＜AC＜17，故答案為：1＜AC＜17．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線(xiàn)，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2020·安徽黃山市·）在中，，，是的中線(xiàn)，設(shè)長(zhǎng)為，則的取值范圍是______．【答案】【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使，連接CE，則，是的中線(xiàn)，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．18．（2020·克山縣第二中學(xué)校八年級(jí)期中）已知AD是△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，若AB=4，AC=6，則AD的取值范圍是___________．【答案】【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，則可用SAS證明△DAC≌△DEB，進(jìn)而得BE=AC，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AE的取值范圍，從而可得答案．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，如圖，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=DB，∴△DAC≌△DEB，所以BE=AC，在△ABE中，∵BE-AB＜AE＜BE+AB，即6-4＜AE＜6+4，所以2＜AE＜10，又AE=2AD，所以2＜2AD＜10，則1＜AD＜5；故答案為1＜AD＜5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，當(dāng)題目中有三角形的中線(xiàn)時(shí)，如果需要添加輔助線(xiàn)，一般考慮把中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍（通常稱(chēng)“倍中線(xiàn)法”），構(gòu)造全等三角形，將已知條件或要解決的問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中．三、解答題19．（2019·沂源縣中莊中學(xué)）仔細(xì)閱讀下面的解題過(guò)程，并完成填空：如圖13，AD為△ABC的中線(xiàn)，已知AD=4cm,試確定AB+AC的取值范圍.解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.因?yàn)锳D為△ABC的中線(xiàn)，所以BD=CD．在△ACD和△EBD中，因?yàn)锳D=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________).所以BE=AC(_____________________).因?yàn)锳B+BE>AE(_____________________)，所以AB+AC>AE.因?yàn)锳E=2AD=8cm，所以AB+AC>_______cm.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和，即可得出答案.【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.因?yàn)锳D為△ABC的中線(xiàn)，所以BD=CD.在△ACD和△EBD中，因?yàn)锳D=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS).所以BE=AC(全等三角形的性質(zhì)).因?yàn)锳B+BE>AE(兩邊之和大于第三邊)，所以AB+AC>AE.因?yàn)锳E=2AD=8cm，所以AB+AC>8cm.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形邊的性質(zhì)，需要熟練掌握各種性質(zhì)與定理.20．（2021·北京房山區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析【分析】（1）直接延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD即可；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，可證得，則，再通過(guò)證明，可得到，從而得到即可．【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：證明如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接在和中，∵∴∴∵∴∵∴∵AD平分∠BAC∴在和中，∵∴∴又∵∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及倍長(zhǎng)中線(xiàn)的模型，熟記基本模型是解題關(guān)鍵．21．（2020·四川成都市·天府四中七年級(jí)期中）如圖，中，是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．求證:是的中點(diǎn)．證明:(已知)，_(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，是邊的中點(diǎn)，(_），(_），在和中，，()，(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，是的中點(diǎn)．【答案】；線(xiàn)段中點(diǎn)的定義；【分析】利用中線(xiàn)類(lèi)倍長(zhǎng)的基本模型進(jìn)行證明，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行論證．【詳解】證明:(已知)，(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，是邊的中點(diǎn)，(線(xiàn)段中點(diǎn)的定義)，在和中，，(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了類(lèi)倍長(zhǎng)中線(xiàn)的模型，能夠通過(guò)平行結(jié)合中點(diǎn)問(wèn)題，推出三角形全等，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2018·湖北孝南區(qū)·八年級(jí)期中）如圖1，AD為△ABC的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD．（1）試證明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列問(wèn)題：如圖2，AD為△ABC的中線(xiàn)，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)中線(xiàn)的定義，即可得到BD＝CD，再根據(jù)SAS即可判定△ACD≌△EBD．（2）延長(zhǎng)AD到F，使AD＝DF，連接BF，根據(jù)SAS證△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根據(jù)AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）證明：∵AD是△ABC的中線(xiàn)，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．（2）證明：延長(zhǎng)AD到F，使AD＝DF，連接BF，∵AD是△ABC中線(xiàn)，∴BD＝DC，∵在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB（SAS），∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，∵AM＝GM，∴∠CAD＝∠AGM，∵∠AGM＝∠BGF，∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，∴BG＝BF＝AC，即BG＝AC．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.23．（2019·呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）（1）是的中線(xiàn)，，則的取值范圍是__________．（2）在（1）問(wèn)的啟發(fā)下，解決下列問(wèn)題：如圖，是的中線(xiàn)，交于，交于，且，求證：．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法將AD延長(zhǎng)一倍，再證△ADC≌△GDB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出AG的取值范圍，從而求出AD的取值范圍；（2）由（1）中結(jié)論：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定即可得到BG=BF=AC.【詳解】（1）將AD延長(zhǎng)至G，使AD=DG，連接BG，如下圖所示：在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB∴AC=BG=6在△ABG中∴∴（2）將AD延長(zhǎng)至G，使AD=DG，連接BG，如下圖所示：由（1）中結(jié)論：△ADC≌△GDB∴AC=BG，∠CAD=∠G又∵，∴，∴∵∴∴BG=BF=AC【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.24．（2020·宜春市宜陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)月考）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線(xiàn)的取值范圍是______．（2）解決問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，求證：．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）如圖1延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線(xiàn)，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長(zhǎng)FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，（3）如圖3，延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，【詳解】（1）如圖1延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接，∵AD為中線(xiàn)，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長(zhǎng)FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點(diǎn)，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，（3）如圖3，延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【點(diǎn)睛】本題考查中線(xiàn)加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線(xiàn)，等腰三角形，掌握中線(xiàn)加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線(xiàn)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，25．（2021·湖北曾都區(qū)·）在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線(xiàn)．（1）如圖1，是的中線(xiàn)，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線(xiàn)的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線(xiàn)，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線(xiàn)段之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線(xiàn)的取值范圍；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)使，連接，由（1）