高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)題型練習(xí)題（含答案解析）

押/r/n第/r/n22/r/n題/r/n/r/n導(dǎo)數(shù)/r/n/r/n/r/n命題研究/r/n導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也/r/n一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最/r/n值問(wèn)題/r/n是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，有時(shí)也會(huì)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算/r/n、/r/n導(dǎo)數(shù)的幾何意義等/r/n，比較綜合/r/n./r/n解題秘籍/r/n1/r/n．/r/n導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用/r/n：/r/n（/r/n1/r/n）已知切點(diǎn)/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n過(guò)點(diǎn)/r/nP/r/n的切線(xiàn)方程：求出切線(xiàn)的斜率/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；/r/n（/r/n2/r/n）已知切線(xiàn)的斜率為/r/nk/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，通過(guò)方程/r/nk/r/n=/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n解得/r/nx/r/n0/r/n，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；/r/n（/r/n3/r/n）已知切線(xiàn)上一點(diǎn)/r/n(/r/n非切點(diǎn)/r/n)/r/n，求/r/ny/r/n=/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)/r/nP/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)斜率/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n，再由斜率公式求得切線(xiàn)斜率，列方程/r/n(/r/n組/r/n)/r/n解得/r/nx/r/n0/r/n，最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程．/r/n（/r/n4/r/n）若曲線(xiàn)的切線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行或垂直，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切線(xiàn)的斜率，再由/r/nk/r/n=/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n0/r/n)/r/n求出切點(diǎn)坐標(biāo)/r/n(/r/nx/r/n0/r/n，/r/ny/r/n0/r/n)/r/n，最后寫(xiě)出切線(xiàn)方程．/r/n（/r/n5/r/n）/r/n①/r/n在點(diǎn)/r/nP/r/n處的切線(xiàn)即是以/r/nP/r/n為切點(diǎn)的切線(xiàn)，/r/nP/r/n一定在曲線(xiàn)上/r/n./r/n②/r/n過(guò)點(diǎn)/r/nP/r/n的切線(xiàn)即切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)/r/nP/r/n，/r/nP/r/n不一定是切點(diǎn)．因此在求過(guò)點(diǎn)/r/nP/r/n的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)/r/nP/r/n是否在已知曲線(xiàn)上．/r/n2/r/n．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式/r/n（/r/n）在給定/r/n區(qū)間上恒成立/r/n．一般步驟為：/r/n（/r/n1/r/n）求/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n)/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）確認(rèn)/r/nf/r/n′(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n內(nèi)的符號(hào)；/r/n（/r/n3/r/n）/r/n作出/r/n結(jié)論，/r/n時(shí)為增函數(shù)，/r/n時(shí)為減函數(shù)．/r/n3/r/n．由函數(shù)/r/n的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法/r/n（/r/n1/r/n）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上/r/n(/r/n或/r/n)(/r/n在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于/r/n0)/r/n恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；/r/n（/r/n2/r/n）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是/r/n(/r/n或/r/n)/r/n在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了不等式問(wèn)題；/r/n（/r/n3/r/n）若已知/r/n在區(qū)間/r/nI/r/n上的單調(diào)性，區(qū)間/r/nI/r/n中含有參數(shù)時(shí)，可先求出/r/n的單調(diào)區(qū)間，令/r/nI/r/n是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍/r/n./r/n4/r/n．（/r/n1/r/n）求函數(shù)/r/n極值的方法：/r/n①/r/n確定函數(shù)/r/n的定義域．/r/n②/r/n求導(dǎo)函數(shù)/r/n．/r/n③/r/n求方程/r/n的根．/r/n④/r/n檢查/r/n在方程的根的左、右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)．如果左/r/n正右負(fù)/r/n，那么/r/n在這個(gè)根處取得極大值；如果/r/n左負(fù)右正/r/n，那么/r/n在這個(gè)根處取得極小值；如果/r/n在這個(gè)根的左、右兩側(cè)符號(hào)不變，則/r/n在這個(gè)根處沒(méi)有極值．/r/n（/r/n2/r/n）利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，/r/n求導(dǎo)數(shù)/r/n，求方程/r/n的根的情況，/r/n得關(guān)于/r/n參數(shù)的方程/r/n(/r/n或不等式/r/n)/r/n，進(jìn)而確定參數(shù)的取值或范圍/r/n./r/n5/r/n．求函數(shù)/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n[/r/na/r/n，/r/nb/r/n]/r/n上最值的方法/r/n（/r/n1/r/n）若函數(shù)/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在/r/n[/r/na/r/n，/r/nb/r/n]/r/n上單調(diào)遞增或遞減，則/r/nf/r/n(/r/na/r/n)/r/n與/r/nf/r/n(/r/nb/r/n)/r/n一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值．/r/n（/r/n2/r/n）若函數(shù)/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在區(qū)間/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n內(nèi)有極值，先求出函數(shù)/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在區(qū)間/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n上的極值，與/r/nf/r/n(/r/na/r/n)/r/n、/r/nf/r/n(/r/nb/r/n)/r/n比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．/r/n（/r/n3/r/n）函數(shù)/r/nf/r/n(/r/nx/r/n)/r/n在區(qū)間/r/n(/r/na/r/n，/r/nb/r/n)/r/n上有唯一/r/n一個(gè)/r/n極值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大/r/n(/r/n或最小/r/n)/r/n值點(diǎn)．/r/n真題回顧/r/n1/r/n．（/r/n2021·/r/n浙江/r/n·/r/n高考真題）設(shè)/r/na/r/n，/r/nb/r/n為實(shí)數(shù)，且/r/n，函數(shù)/r/n（/r/n1/r/n）求函數(shù)/r/n的單調(diào)區(qū)間；/r/n（/r/n2/r/n）若對(duì)任意/r/n，函數(shù)/r/n有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求/r/na/r/n的取值范圍；/r/n（/r/n3/r/n）當(dāng)/r/n時(shí)，證明：對(duì)任意/r/n，函數(shù)/r/n有兩個(gè)不同的零點(diǎn)/r/n，滿(mǎn)足/r/n./r/n(/r/n注：/r/n是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)/r/n)/r/n【詳解】/r/n(1)/r/n，/r/n①/r/n若/r/n，則/r/n，所以/r/n在/r/n上單調(diào)遞增；/r/n②/r/n若/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞減，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞增/r/n./r/n綜上可得，/r/n時(shí)，/r/n在/r/n上單調(diào)遞增；/r/n時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為/r/n，單調(diào)增區(qū)間為/r/n./r/n(2)/r/n有/r/n2/r/n個(gè)不同零點(diǎn)/r/n有/r/n2/r/n個(gè)不同解/r/n有/r/n2/r/n個(gè)不同的解，/r/n令/r/n，則/r/n，/r/n記/r/n，/r/n記/r/n，/r/n又/r/n，所以/r/n時(shí)，/r/n時(shí)，/r/n，/r/n則/r/n在/r/n單調(diào)遞減，/r/n單調(diào)遞增，/r/n，/r/n./r/n即實(shí)數(shù)/r/n的取值范圍是/r/n./r/n(3)/r/n[/r/n方法/r/n一/r/n]/r/n【最優(yōu)解】：/r/n有/r/n2/r/n個(gè)不同零點(diǎn)，則/r/n，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù)/r/n./r/n由/r/n(2)/r/n可知有/r/n2/r/n個(gè)不同零點(diǎn)，/r/n記較大/r/n者為/r/n，較小者為/r/n，/r/n，/r/n注意到函數(shù)/r/n在區(qū)間/r/n上單調(diào)遞減，在區(qū)間/r/n上單調(diào)遞增，/r/n故/r/n，又由/r/n知/r/n，/r/n，/r/n要證/r/n，只需/r/n，/r/n且關(guān)于/r/n的函數(shù)/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，/r/n所以/r/n只需證/r/n，/r/n只需證/r/n，/r/n只需證/r/n，/r/n，/r/n只需證/r/n在/r/n時(shí)為正，/r/n由于/r/n，故函數(shù)/r/n單調(diào)遞增，/r/n又/r/n，故/r/n在/r/n時(shí)為正，/r/n從而題中的不等式得證/r/n./r/n[/r/n方法二/r/n]/r/n：分析/r/n+/r/n放縮法/r/n有/r/n2/r/n個(gè)不同零點(diǎn)/r/n，不妨設(shè)/r/n，由/r/n得/r/n（其中/r/n）．/r/n且/r/n．/r/n要證/r/n，/r/n只需證/r/n，即證/r/n，/r/n只需證/r/n．/r/n又/r/n，所以/r/n，即/r/n．/r/n所以/r/n只需證/r/n．而/r/n，所以/r/n，/r/n又/r/n，所以/r/n只需證/r/n．/r/n所以/r/n，原命題得證．/r/n[/r/n方法三/r/n]/r/n：/r/n若/r/n且/r/n，則滿(mǎn)足/r/n且/r/n，由（/r/nⅡ/r/n）知/r/n有兩個(gè)零點(diǎn)/r/n且/r/n．/r/n又/r/n，故進(jìn)一步有/r/n．/r/n由/r/n可得/r/n且/r/n，從而/r/n．．/r/n因?yàn)?r/n，/r/n所以/r/n，/r/n故/r/n只需證/r/n．/r/n又因?yàn)?r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞增，故/r/n只需證/r/n，即/r/n，注意/r/n時(shí)有/r/n，故不等式成立．/r/n2/r/n．（/r/n2021·/r/n天津/r/n·/r/n高考真題）已知/r/n，函數(shù)/r/n．/r/n（/r/nI/r/n）求曲線(xiàn)/r/n在點(diǎn)/r/n處的切線(xiàn)方程：/r/n（/r/nII/r/n）證明/r/n存在唯一的極值點(diǎn)/r/n（/r/nIII/r/n）若存在/r/na/r/n，使得/r/n對(duì)任意/r/n成立，求實(shí)數(shù)/r/nb/r/n的取值范圍．/r/n【詳解】/r/n（/r/nI/r/n）/r/n，則/r/n，/r/n又/r/n，則切線(xiàn)方程為/r/n；/r/n（/r/nII/r/n）令/r/n，則/r/n，/r/n令/r/n，則/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n單調(diào)遞減；當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n單調(diào)遞增，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n，當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，畫(huà)出/r/n大致圖像如下：/r/n所以當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n與/r/n僅有一個(gè)交點(diǎn)，令/r/n，則/r/n，且/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，則/r/n，/r/n單調(diào)遞增，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，則/r/n，/r/n單調(diào)遞減，/r/n為/r/n的極大值點(diǎn)，故/r/n存在唯一的極值點(diǎn)；/r/n（/r/nIII/r/n）由（/r/nII/r/n）知/r/n，此時(shí)/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n令/r/n，/r/n若存在/r/na/r/n，使得/r/n對(duì)任意/r/n成立，等價(jià)于存在/r/n，使得/r/n，即/r/n，/r/n，/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n單調(diào)遞減，當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n單調(diào)遞增，/r/n所以/r/n，故/r/n，/r/n所以實(shí)數(shù)/r/nb/r/n的取值范圍/r/n./r/n3/r/n．（/r/n2021·/r/n北京/r/n·/r/n高考真題）已知函數(shù)/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）若/r/n，求曲線(xiàn)/r/n在點(diǎn)/r/n處的切線(xiàn)方程；/r/n（/r/n2/r/n）若/r/n在/r/n處取得極值，求/r/n的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．/r/n【詳解】/r/n（/r/n1/r/n）當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，則/r/n，/r/n，/r/n，/r/n此時(shí)，曲線(xiàn)/r/n在點(diǎn)/r/n處的切線(xiàn)方程為/r/n，即/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）因?yàn)?r/n，則/r/n，/r/n由題意可得/r/n，解得/r/n，/r/n故/r/n，/r/n，列表如下：/r/n增/r/n極大值/r/n減/r/n極小值/r/n增/r/n所以，函數(shù)/r/n的增區(qū)間為/r/n、/r/n，單調(diào)遞減區(qū)間為/r/n./r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n；當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n./r/n所以，/r/n，/r/n./r/n4/r/n．（/r/n2021·/r/n全國(guó)/r/n·/r/n高考真題）已知函數(shù)/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）討論/r/n的單調(diào)性；/r/n（/r/n2/r/n）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：/r/n只有一個(gè)零點(diǎn)/r/n①/r/n；/r/n②/r/n．/r/n【詳解】/r/n(1)/r/n由函數(shù)的解析式可得：/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，若/r/n，則/r/n單調(diào)遞減，/r/n若/r/n，則/r/n單調(diào)遞增；/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，若/r/n，則/r/n單調(diào)遞增，/r/n若/r/n，則/r/n單調(diào)遞減，/r/n若/r/n，則/r/n單調(diào)遞增；/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n在/r/n上單調(diào)遞增；/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，若/r/n，則/r/n單調(diào)遞增，/r/n若/r/n，則/r/n單調(diào)遞減，/r/n若/r/n，則/r/n單調(diào)遞增；/r/n(2)/r/n若選擇條件/r/n①/r/n：/r/n由于/r/n，故/r/n，則/r/n，/r/n而/r/n，/r/n而函數(shù)在區(qū)間/r/n上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間/r/n上有一個(gè)零點(diǎn)/r/n./r/n，/r/n由于/r/n，/r/n，故/r/n，/r/n結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間/r/n上沒(méi)有零點(diǎn)/r/n./r/n綜上可得，題中的結(jié)論成立/r/n./r/n若選擇條件/r/n②/r/n：/r/n由于/r/n，故/r/n，則/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n，/r/n而函數(shù)在區(qū)間/r/n上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間/r/n上有一個(gè)零點(diǎn)/r/n./r/n當(dāng)/r/n時(shí)，構(gòu)造函數(shù)/r/n，則/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞減，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞增，/r/n注意到/r/n，故/r/n恒/r/n成立，從而有：/r/n，此時(shí)：/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n取/r/n，則/r/n，/r/n即：/r/n，/r/n而函數(shù)在區(qū)間/r/n上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間/r/n上有一個(gè)零點(diǎn)/r/n./r/n，/r/n由于/r/n，/r/n，故/r/n，/r/n結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間/r/n上沒(méi)有零點(diǎn)/r/n./r/n綜上可得，題中的結(jié)論成立/r/n./r/n5/r/n．（/r/n2021·/r/n全國(guó)/r/n·/r/n高考真題）已知函數(shù)/r/n./r/n（/r/n1/r/n）討論/r/n的單調(diào)性；/r/n（/r/n2/r/n）設(shè)/r/n，/r/n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且/r/n，證明：/r/n./r/n【詳解】/r/n(1)/r/n的定義域?yàn)?r/n．/r/n由/r/n得，/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n；當(dāng)/r/n時(shí)/r/n；當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n．/r/n故/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間/r/n內(nèi)為減函數(shù)，/r/n(2)/r/n[/r/n方法/r/n一/r/n]/r/n：等價(jià)轉(zhuǎn)化/r/n由/r/n得/r/n，即/r/n．/r/n由/r/n，得/r/n．/r/n由（/r/n1/r/n）不妨設(shè)/r/n，則/r/n，從而/r/n，得/r/n，/r/n①/r/n令/r/n，/r/n/r/n則/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)為減函數(shù)，/r/n，/r/n從而/r/n，所以/r/n，/r/n由（/r/n1/r/n）得/r/n即/r/n．/r/n①/r/n令/r/n，則/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)為增函數(shù)，/r/n，/r/n從而/r/n，所以/r/n．/r/n又由/r/n，可得/r/n，/r/n所以/r/n．/r/n②/r/n由/r/n①②/r/n得/r/n．/r/n[/r/n方法二/r/n]/r/n【最優(yōu)解】：/r/n變形為/r/n，所以/r/n．/r/n令/r/n．則上式變?yōu)?r/n，/r/n于是命題轉(zhuǎn)換為證明：/r/n．/r/n令/r/n，則有/r/n，不妨設(shè)/r/n．/r/n由（/r/n1/r/n）知/r/n，/r/n先證/r/n．/r/n要證：/r/n．/r/n令/r/n，/r/n則/r/n，/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞增，所以/r/n，即/r/n．/r/n再證/r/n．/r/n因?yàn)?r/n，所以/r/n．/r/n令/r/n，/r/n所以/r/n，故/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞增．/r/n所以/r/n．故/r/n，即/r/n．/r/n綜合可知/r/n．/r/n[/r/n方法三/r/n]/r/n：比值代換/r/n證明/r/n同證法/r/n2/r/n．以下證明/r/n．/r/n不妨設(shè)/r/n，則/r/n，/r/n由/r/n得/r/n，/r/n，/r/n要證/r/n，/r/n只需證/r/n，兩邊取對(duì)數(shù)得/r/n，/r/n即/r/n，/r/n即證/r/n．/r/n記/r/n，則/r/n./r/n記/r/n，則/r/n，/r/n所以，/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞減．/r/n，則/r/n，/r/n所以/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞減．/r/n由/r/n得/r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n．/r/n[/r/n方法四/r/n]/r/n：構(gòu)造函數(shù)法/r/n由已知得/r/n，令/r/n，/r/n不妨設(shè)/r/n，所以/r/n．/r/n由（/r/nⅠ/r/n）知，/r/n，/r/n只需證/r/n．/r/n證明/r/n同證法/r/n2/r/n．/r/n再證明/r/n．令/r/n．/r/n令/r/n，則/r/n．/r/n所以/r/n，/r/n在區(qū)間/r/n內(nèi)單調(diào)遞增．/r/n因?yàn)?r/n，所以/r/n，即/r/n又因?yàn)?r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n．/r/n因?yàn)?r/n，所以/r/n，即/r/n．/r/n綜上，有/r/n結(jié)論得證．/r/n押題沖關(guān)/r/n1/r/n．（/r/n2022·/r/n天津/r/n·/r/n一/r/n模）已知函數(shù)/r/n，/r/n./r/n(1)/r/n若曲線(xiàn)/r/n在點(diǎn)/r/n處的切線(xiàn)的斜率為/r/n4/r/n，求/r/na/r/n的值；/r/n(2)/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，求/r/n的單調(diào)區(qū)間；/r/n(3)/r/n已知/r/n的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間/r/n上存在零點(diǎn)/r/n./r/n求證：當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n函數(shù)/r/n的定義域?yàn)?r/n，/r/n由/r/n，可得/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n所以/r/n./r/n(2)/r/n由（/r/n1/r/n）得/r/n，/r/n，/r/n①/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，令/r/n，解得/r/n或/r/n，/r/n令/r/n，解得/r/n./r/n所以，函數(shù)/r/n的單調(diào)遞增區(qū)間為/r/n和/r/n，單調(diào)遞減區(qū)間為/r/n./r/n②/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，所以，函數(shù)/r/n的單調(diào)遞增區(qū)間為/r/n，/r/n③/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，令/r/n，解得/r/n或/r/n，/r/n令/r/n，解得/r/n，/r/n所以，函數(shù)/r/n的單調(diào)遞增區(qū)間為/r/n和/r/n，單調(diào)遞減區(qū)間為/r/n./r/n(3)/r/n因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)/r/n在區(qū)間/r/n上存在零點(diǎn)，則/r/n，/r/n由（/r/n2/r/n）可知/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，在/r/n單調(diào)遞增，/r/n所以/r/n在/r/n上的最小值為/r/n，/r/n設(shè)/r/n，/r/n，/r/n，/r/n令/r/n，因?yàn)?r/n，/r/n所以，/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n又/r/n，所以/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n又因?yàn)?r/n，/r/n所以/r/n，即/r/n，/r/n所以當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n./r/n2/r/n．（/r/n2022·/r/n福建/r/n·/r/n模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/r/n./r/n(1)/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，求函數(shù)/r/n的極值；/r/n(2)/r/n若曲線(xiàn)/r/n有/r/n，/r/n兩個(gè)零點(diǎn)/r/n./r/n（/r/ni/r/n）求/r/n的取值范圍；/r/n（/r/nii/r/n）證明：存在一組/r/n，/r/n（/r/n），使得/r/n的定義域和值域均為/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n函數(shù)定義域是/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，則，令，解得/r/n，/r/n列表可知/r/n1/r/n+/r/n0/r/n－/r/n單調(diào)遞增/r/n1/r/n單調(diào)遞減/r/n的極大值為/r/n，無(wú)極小值；/r/n(2)/r/n（/r/ni/r/n）解：由題意可知，/r/n有兩解，即/r/n有兩解，/r/n設(shè)/r/n，則，令，解得/r/n（/r/n舍去），/r/n列表可知，/r/n+/r/n0/r/n－/r/n單調(diào)遞增/r/n極大值/r/n單調(diào)遞減/r/n，/r/n因?yàn)?r/n有兩個(gè)零點(diǎn)，所以/r/n，解得/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，有/r/n，可得/r/n，/r/n令/r/n，有，/r/n時(shí)，/r/n．/r/n時(shí)，/r/n，可得函數(shù)/r/n的減區(qū)間為/r/n，增區(qū)間為/r/n，/r/n有/r/n，可得/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n./r/n所以存在/r/n，/r/n，使得/r/n，所以/r/n；/r/n（/r/nii/r/n）證明：因?yàn)?r/n，令，解得/r/n，/r/n列表可知，/r/n+/r/n0/r/n－/r/n單調(diào)遞增/r/n極大值/r/n單調(diào)遞減/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n①/r/n若/r/n，則/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，因此/r/n，/r/n，由上可/r/n知取/r/n，/r/n，此時(shí)/r/n，/r/n，所以當(dāng)/r/n時(shí)，存在一組/r/n，/r/n符合題意；/r/n②/r/n若/r/n，則/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，所以/r/n，/r/n，/r/n所以/r/n，即/r/n，不符題意；/r/n③/r/n若/r/n，/r/n/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n所以/r/n，由/r/n得/r/n，/r/n又因?yàn)?r/n，所以/r/n，/r/n即/r/n，/r/n，所以當(dāng)/r/n時(shí)，存在一組/r/n，/r/n符合題意；/r/n綜上，存在一組/r/n，/r/n符合題意/r/n./r/n3/r/n．（/r/n2022·/r/n湖南/r/n·/r/n雅禮中學(xué)二模）已知函數(shù)/r/n，且正數(shù)/r/na/r/n，/r/nb/r/n滿(mǎn)足/r/n(1)/r/n討論/r/nf/r/n（/r/nx/r/n）的單調(diào)性；/r/n(2)/r/n若/r/n的零點(diǎn)為/r/n，/r/n，且/r/nm/r/n，/r/nn/r/n滿(mǎn)足/r/n，求證：/r/n./r/n（/r/n其中/r/n……/r/n是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）/r/n【解析】/r/n(1)/r/n令/r/n，則由題可知/r/n，/r/n即/r/n，所以/r/n，即/r/n，/r/n因?yàn)?r/n/r/n，/r/n令/r/n，則/r/n，且對(duì)稱(chēng)軸/r/n，/r/n，易得當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n在/r/n單調(diào)遞減，在/r/n單調(diào)遞增，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n在/r/n單調(diào)遞減；/r/n(2)/r/n，/r/n由/r/n且/r/n知/r/n在/r/n單調(diào)遞增，在/r/n單調(diào)遞減，/r/n又/r/n，令/r/n，則/r/n，即/r/n，/r/n由（/r/n1/r/n）知/r/n，/r/n，/r/n即有/r/n，/r/n，/r/n兩式相減得/r/n，/r/n即/r/n，整理得/r/n./r/n4/r/n．（/r/n2022·/r/n重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/r/n./r/n(1)/r/n若/r/n在/r/n單調(diào)遞增，求/r/na/r/n的取值范圍/r/n./r/n(2)/r/n若/r/n，且/r/n，求/r/na/r/n./r/n【解析】/r/n(1)/r/n解：因?yàn)?r/n定義域?yàn)?r/n，/r/n若/r/n時(shí)/r/n，所以/r/n在/r/n單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件；/r/n若/r/n時(shí)，令/r/n，則/r/n，所以當(dāng)/r/n時(shí)/r/n，即/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，又/r/n，/r/n，/r/n所以/r/n，當(dāng)/r/n時(shí)/r/n，即/r/n，所以/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)/r/n，即/r/n，所以/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，不符合題意，/r/n綜上可得/r/n(2)/r/n解：若/r/n，由（/r/n1/r/n）可知/r/n，/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，在/r/n上單調(diào)遞增，且/r/n，所以/r/n的最小值為/r/n，/r/n令/r/n，則/r/n，/r/n所以當(dāng)/r/n時(shí)/r/n，當(dāng)/r/n時(shí)/r/n，/r/n故/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，在/r/n上單調(diào)遞減，所以/r/n，/r/n由/r/n，所以當(dāng)且僅當(dāng)/r/n，即/r/n時(shí)條件成立，所以/r/n5/r/n．（/r/n2022·/r/n江蘇/r/n·/r/n南京市第一中學(xué)三模）已知函數(shù)/r/n．/r/n(1)/r/n證明：/r/n；/r/n(2)/r/n若/r/n，證明：/r/n．/r/n【解析】/r/n(1)/r/n解：因?yàn)?r/n，/r/n所以/r/n，/r/n所以函數(shù)/r/n在/r/n上單調(diào)遞減，/r/n所以/r/n，即/r/n./r/n(2)/r/n解：由（/r/n1/r/n）/r/n知/r/n，故/r/n，/r/n所以/r/n，/r/n所以，令/r/n，則/r/n，/r/n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明/r/n./r/n①/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，故成立；/r/n②/r/n假設(shè)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n即/r/n成立，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n由于/r/n所以，當(dāng)/r/n時(shí)，不等式成立/r/n./r/n綜上/r/n①②/r/n，不等式/r/n成立/r/n./r/n考前預(yù)測(cè)/r/n（/r/n限時(shí)/r/n：/r/n30/r/n分鐘）/r/n1/r/n．記/r/n，/r/n為/r/n的導(dǎo)函數(shù)．若對(duì)/r/n，/r/n，則稱(chēng)函數(shù)/r/n為/r/n上的/r/n“/r/n凸函數(shù)/r/n”/r/n．已知函數(shù)/r/n，/r/n．/r/n（/r/n1/r/n）若函數(shù)/r/n為/r/n上的凸函數(shù)，求/r/n的取值范圍；/r/n（/r/n2/r/n）若函數(shù)/r/n在/r/n上有極值，求/r/n的取值范圍．/r/n【詳解】/r/n（/r/n1/r/n）/r/n，/r/n若函數(shù)/r/n為/r/n上的凸函數(shù)，則/r/n，即/r/n，/r/n令/r/n，/r/n，則當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n；當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n；/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞減；當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞增，/r/n，/r/n，解得：/r/n，/r/n的取值范圍為/r/n./r/n（/r/n2/r/n）/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上有極值，/r/n在/r/n有變號(hào)零點(diǎn)，/r/n，令/r/n，則/r/n，/r/n，/r/n，/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，/r/n；/r/n①/r/n當(dāng)/r/n，即/r/n時(shí)，/r/n，/r/n在/r/n上單調(diào)遞增，/r/n．即/r/n，/r/n在/r/n無(wú)零點(diǎn)，不合題意；/r/n②/r/n當(dāng)/r/n，即/r/n時(shí)，則/r/n，使得/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，，/r/n，/r/n單調(diào)遞減，/r/n又/r/n，當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n在/r/n上無(wú)零點(diǎn)；/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n單調(diào)遞增，/r/n又/r/n時(shí)，/r/n，/r/n在/r/n上有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)左右兩側(cè)/r/n符號(hào)相反，即該零點(diǎn)為/r/n的變號(hào)零點(diǎn)/r/n，/r/n在/r/n上有極值；/r/n綜上所述：/r/n的取值范圍為/r/n./r/n2/r/n．已知函數(shù)/r/n./r/n（/r/n1/r/n）當(dāng)/r/n時(shí)，求曲線(xiàn)/r/n在點(diǎn)/r/n處的切線(xiàn)方程；/r/n（/r/n2/r/n）求函數(shù)/r/n在/r/n的最小值/r/n./r/n【詳解】/r/n解：（/r/n1/r/n）當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n又/r/n得切點(diǎn)/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n所以切線(xiàn)方程為/r/n，即/r/n；/r/n（/r/n2/r/n）/r/n，/r/n∴/r/n，/r/n令/r/n，/r/n∴/r/n由/r/n，得/r/n，所以/r/n在/r/n上為單調(diào)增函數(shù)/r/n又/r/n，/r/n所以/r/n在/r/n上恒成立/r/n即/r/n在/r/n恒/r/n成立/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，知/r/n在/r/n上為減函數(shù)，從而/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，知/r/n在/r/n上為增函數(shù)，從而/r/n；/r/n綜上，當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n；當(dāng)/r/n時(shí)/r/n./r/n3/r/n．已知函數(shù)/r/n（/r/n1/r/n）當(dāng)/r/n時(shí)，求在/r/n處的切線(xiàn)方程；/r/n（/r/n2/r/n）若/r/n在定義域上存在極大值，求實(shí)數(shù)/r/n的取值范圍/r/n./r/n【詳解】/r/n解：（/r/n1/r/n）/r/n時(shí)，/r/n定義域是/r/n，/r/n(/r/n)/r/n所以/r/n，/r/n，切線(xiàn)方程為/r/n即/r/n（/r/n2/r/n）/r/n的定義域是/r/n，求導(dǎo)得/r/n(/r/n)/r/n記/r/n，/r/n①/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，令/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞減，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞增；/r/n有極小值沒(méi)有極大值/r/n./r/n②/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n，/r/n(/r/n負(fù)根舍去/r/n)/r/n，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞減，/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，/r/n單調(diào)遞增；/r/n有極小值沒(méi)有極大值/r/n./r/n③/r/n當(dāng)/r/n時(shí)，令/r/n得/r/n，則/r/n在/r/n恒/r/n成立，/r/n于是/r/n在/r/n恒/r/n成