大四下設(shè)計(jì)核心綜述素材

盧迪.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)原理及應(yīng)用[M].國(guó)防工業(yè)出版社，20091963年美國(guó)波音（Boeing）公司的佛格森（Ferguson）將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，并用三次參數(shù)曲線構(gòu)造組合曲線，用四個(gè)角點(diǎn)的位置矢量及其兩個(gè)方向的切矢量定義三次曲面。1964年美國(guó)麻省理工學(xué)院（MIT）的孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。1971年法國(guó)雷諾（Renault）汽車(chē)公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期，法國(guó)的雪鐵龍（Citroen）汽車(chē)公司的德卡斯特里奧（deCasteljau）也獨(dú)立的研究出了與Bezier類(lèi)似的方法。1972年，德布爾（deBoor）給出了B樣條的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法。1974年，美國(guó)通用汽車(chē)公司的戈登（Gordon）和里森費(fèi)爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線、曲面。1975年，美國(guó)錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）在其博士論文中提出了有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條（NURBS）方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)，用NURBS可統(tǒng)一表示初等解析曲線、曲面以及有理與非有理B樣條曲線、曲面。Bezier曲線：1962年法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的Bezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線，以這種方法為主，完成了一種曲線和曲面的設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNISURF,并于1972年在該公司應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近與幾何表示結(jié)合起來(lái)，使得設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)上運(yùn)用起來(lái)就像使用常規(guī)作圖工具設(shè)計(jì)一樣得心應(yīng)手。B樣條曲線：以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線有許多的優(yōu)點(diǎn)，如直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單等，但也有一些不足之處：一是缺少局部性，修改某一個(gè)控制頂點(diǎn)將影響整個(gè)曲線；二是控制多邊形與曲線的逼近程度較差（次數(shù)越高，逼近程度越差）；三是當(dāng)表示復(fù)雜形狀時(shí)，無(wú)論采用高次曲線還是多段拼接起來(lái)的低次曲線，都相當(dāng)復(fù)雜。為了克服這些問(wèn)題，Gordon、Riesenfeld等人拓廣了Bezier曲線，提出了B樣條方法，用n次B樣條基函數(shù)替代了Bernstein基函數(shù)，在保留Bezier方法的全部?jī)?yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，克服了Bezier的弱點(diǎn)，具有表示和設(shè)計(jì)自由曲線、曲面的強(qiáng)大功能。另外，B樣條方法是目前已成為關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品幾何定義國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的有理B樣條方法的基礎(chǔ)。由此，B樣條方法是形狀數(shù)學(xué)描述的主流方法之一。非均勻有理B樣條曲線：B樣條方法在表示與設(shè)計(jì)自由型曲線曲面形狀時(shí)顯示了強(qiáng)大的威力，然而在表示與設(shè)計(jì)初等曲線曲面時(shí)卻遇到了麻煩。因?yàn)锽樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近視表示。提出非均勻有理B樣條（NURBS）方法，主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。NURBS的優(yōu)缺點(diǎn)：1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）正式頒布了工業(yè)產(chǎn)品幾何定義的STEP際準(zhǔn)，作為產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，在該標(biāo)準(zhǔn)中，NURBS被確定為自由型曲線及曲面的唯一表示方法。這是因?yàn)镹URBS具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀即初等的曲線曲面，也為自由曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式。因此，一個(gè)統(tǒng)一的圖形數(shù)據(jù)庫(kù)就能存儲(chǔ)這兩類(lèi)曲線曲面幾何形狀信息。（2）由操縱控制頂點(diǎn)及權(quán)因子為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性。（3）計(jì)算穩(wěn)定，速度快（4）NURBS有明顯的幾何解釋?zhuān)瑢?duì)有良好的幾何知識(shí)尤其是畫(huà)法幾何知識(shí)的設(shè)計(jì)人員來(lái)說(shuō)，特別適用。（5）具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)（包括節(jié)點(diǎn)插入、細(xì)分、升階等），這些技術(shù)能用于設(shè)計(jì)、分析與處理等各環(huán)節(jié)。（6）NURBS在比例、旋轉(zhuǎn)、平移、錯(cuò)切以及平行和透視變換下是不變的。（7）NURBS是B樣條及有理Bezier曲線的合適推廣。不過(guò)，同時(shí)，NURBS存在以下缺點(diǎn)：（1）比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間，如傳統(tǒng)方法定義空間圓需7個(gè)參數(shù)（圓心、半徑、法向量等），而NURBS定義空間圓需38個(gè)參數(shù)。（2）權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變（3）某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比用NURBS工作的更好，如曲面求交等。（4）反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。陸楓.何云峰.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)(第2版).電子工業(yè)出版社[M].20081963年，美國(guó)波音（Boeing）飛機(jī)公司的弗格森（Ferguson）首先提出了將曲線/曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法。他最早引入?yún)?shù)三次曲線，構(gòu)造了組合曲線和由四角點(diǎn)的位置矢量及兩個(gè)方向的切矢定義的弗格森雙三次曲面片。在這以前，曲線的描述一直是采用顯示的標(biāo)量函數(shù)y=f(x)或隱方程F(x,y)=0的形式，曲面相應(yīng)采用z=z(x,y)或F（x,y,z）=0的形式。弗格森所采用的曲線/曲面的參數(shù)形式從此成為自由曲線/曲面數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。1964年，麻省理工學(xué)院（MIT）的孔斯（Coons）發(fā)表了一個(gè)具有一般性的曲面描述方法，給定圍成封閉曲線的4條邊界就可以定義一塊曲面片。目前在CAGD中得到廣泛應(yīng)用的是它的特殊形式——孔斯雙三次曲面片。它與弗格森三次曲面片一樣，都存在形狀控制與連接的問(wèn)題。由舍恩伯格（Schoenberg）1964年提出的樣條函數(shù)提供了解決連接問(wèn)題的一種技術(shù)。用于自由曲線/曲面描述的樣條方法是它的參數(shù)形式，即參數(shù)樣條曲線/曲面。樣條方法用于解決插值問(wèn)題，在構(gòu)造整體達(dá)到某種參數(shù)連續(xù)階（指可微性）的插值曲線/曲面時(shí)是很方便的，但不存在局部形狀調(diào)整的自由度，樣條曲線和曲面的形狀難以預(yù)測(cè)。法國(guó)雷諾（Renault）汽車(chē)公司的貝齊爾（Bezier）以逼近為基礎(chǔ)研究了曲線/曲面的構(gòu)造，于1971年提出了一種由控制多邊形定義曲線的方法，設(shè)計(jì)者只要移動(dòng)控制頂點(diǎn)就可以方便地修改曲線的形狀，而且形狀的變化完全在預(yù)料之中。Bezier方法簡(jiǎn)單易用，又漂亮地解決了整體形狀控制問(wèn)題，至今一些著名軟件，如UGII，UNISURF，DUCT等仍保留著B(niǎo)ezier曲線/曲面，但它也還存在連接問(wèn)題和局部修改問(wèn)題。德布爾（deBoor）1972年給出了關(guān)于B樣條的一套標(biāo)準(zhǔn)算法。美國(guó)通用汽車(chē)公司的Gordon和Riesenfeld于1974年將B樣條理論應(yīng)用于自由曲線/曲面描述，提出了B樣條曲線/曲面。B樣條克服了Bezier方法的不足之處，比較成功地解決了局部控制問(wèn)題，又輕而易舉地在參數(shù)連續(xù)基礎(chǔ)上解決了連接問(wèn)題。具有局部修改方便、形態(tài)控制靈活、直觀等特點(diǎn)，成為構(gòu)造曲線/曲面的主要工具。另外，盡管上述各種方法尤其是B樣條方法較成功地解決了自由型曲線/曲面的數(shù)學(xué)描述問(wèn)題，但將它應(yīng)用于圓錐截線及初等解析曲面卻不成功，都只能給出近似表示（通常，這類(lèi)初等解析曲面主要由代數(shù)幾何的隱方程形式來(lái)表達(dá)）。在參數(shù)表示范圍里，F(xiàn)orrest于1968年首先給出了表達(dá)為有理Bezier形式的圓錐截線。Ball在他的CONSURF系統(tǒng)中提出的有理方法在英國(guó)飛機(jī)公司得到普遍的使用。然而，要在幾何設(shè)計(jì)系統(tǒng)中引入這些與前述自由型曲線/曲面描述不相容的方法，將會(huì)使系統(tǒng)變得十分龐雜。我國(guó)的唐榮錫教授在1990年提到，工業(yè)界感到最不滿意的是系統(tǒng)中需要并存兩種模型，這違背了產(chǎn)品幾何定義唯一性原則，容易造成生產(chǎn)管理混亂。正因?yàn)槿绱耍钡?0世紀(jì)80年代中期，有理曲線/曲面仍沒(méi)有像非有理形式那樣得到廣泛應(yīng)用。人們希望找到一種統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方法。1975年，美國(guó)Syracuse大學(xué)的Versprille在他的博士論文中首先提出了有理B樣條方法。以后，主要由于Piegl和Tiller等人的貢獻(xiàn)，至20世紀(jì)80年代后期，非均勻有理B樣條（NURBS）方法成為用于曲線/曲面描述的流行最廣的技術(shù)。1991年頒布的關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)中，把NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)方法。目前，國(guó)外幾乎所有商品化CAD軟件都號(hào)稱(chēng)使用了NURBS，而且數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)IGES，PDDI等也都已經(jīng)收入了NURBS曲線/曲面，目前NURBS技術(shù)仍在發(fā)展中。曲線/曲面的表示要求：要在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示曲線和曲面，其形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品形狀的盡可能多的性質(zhì)，通常滿足下列要求：1，唯一性。它對(duì)所采用的數(shù)學(xué)方法的要求是，由已給定的有限信息決定的形狀應(yīng)是唯一的。而傳統(tǒng)上采用的描述自由曲線/曲面的模線樣板法是按模擬量傳遞的，不能保證形狀定義的唯一性。2，幾何不變性。當(dāng)用有限的信息決定一個(gè)曲線或曲面，例如用三點(diǎn)決定一條拋物線，4點(diǎn)決定一條三次曲線時(shí)，如果這些點(diǎn)的相對(duì)位置確定，我們要求所決定的形狀也就固定下來(lái)，它不應(yīng)隨所取的坐標(biāo)系而改變。如果采用的數(shù)學(xué)方法不具有幾何不變性，那么用同樣的數(shù)學(xué)方法去擬合在不同測(cè)量坐標(biāo)系下測(cè)量得到的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)（不考慮測(cè)量誤差）就會(huì)得到不同形狀的擬合曲線，通常，標(biāo)量函數(shù)不具有幾何不變性，而參數(shù)曲線/曲面表示在某些情況下具有幾何不變性。3，易于定界。工程上，曲線/曲面的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)易于定界。參數(shù)方程表示易于定界。4，統(tǒng)一性。能統(tǒng)一表示各種形狀并處理各種情況，包括各種特殊情況。例如，曲線描述要求用一種統(tǒng)一的形式既能表示平面曲線，也能表示空間曲線。統(tǒng)一性的高要求是希望能找到統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式既能表示自由型曲線/曲面，也能表示初等解析曲線/曲面，從而能建立統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)，以便于進(jìn)行形狀信息傳遞及產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換。5，易于實(shí)現(xiàn)光滑連接。通常單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，必須將一些曲線段相繼連接在一起成為組合曲線，或?qū)⒁恍┣嫫嗬^拼接起來(lái)成為組合曲面，才能描述復(fù)雜的形狀。當(dāng)表示或設(shè)計(jì)一條光滑曲線或一張光滑曲面時(shí)，必須確定曲線段間、曲面片間的連接是光滑的。6,幾何直觀。幾何直觀即幾何意義明顯。從幾何直觀上處理問(wèn)題往往比變成代數(shù)問(wèn)題更易為工程應(yīng)用人員所接受，從而更具生命力，這是解決幾何問(wèn)題本身發(fā)展的要求。曲線/曲面方程表示為參數(shù)形式的優(yōu)點(diǎn)：1，點(diǎn)動(dòng)成線。如果把參數(shù)t視為時(shí)間，P(t)可看做是一質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)軌跡，其關(guān)于參數(shù)t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)就分別是質(zhì)點(diǎn)的速度矢量與加速度矢量。這可看做矢量形式的參數(shù)曲線方程的物理解釋。2，通?？偸悄軌蜻x取那些具有幾何不變性的參數(shù)曲線/曲面表示形式，且能通過(guò)某種變換使某些不具有幾何不變性的表示形式具有幾何不變性，從而滿足幾何不變性的要求。3，任何曲線在坐標(biāo)系中都會(huì)在某一位置上出現(xiàn)垂直的切線，因而導(dǎo)致無(wú)窮大斜率。而在參數(shù)方程中，可以用對(duì)參數(shù)求導(dǎo)來(lái)代替，從而解決了這一問(wèn)題。這一關(guān)系式還說(shuō)明，斜率與切線矢量的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。4，規(guī)格化的參數(shù)變量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。5，對(duì)非參數(shù)方程表示的曲線/曲面進(jìn)行仿射和投影變換，必須對(duì)曲線/曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行變換；而對(duì)參數(shù)表示的曲線/曲面可直接對(duì)其參數(shù)方程進(jìn)行仿射和投影變換，從而節(jié)省計(jì)算工作量。6，參數(shù)方程將自變量和因變量完全分開(kāi)，使得參數(shù)變化對(duì)各因變量的影響可以明顯地表示出來(lái)。B樣條曲線/曲面以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線雖然有很多優(yōu)點(diǎn)，但是也有不足：一是控制多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了Bezier曲線的階數(shù)，即n+1個(gè)頂點(diǎn)的控制多邊形必然會(huì)產(chǎn)生n次Bezier曲線，而且當(dāng)n較大時(shí)，控制多邊形對(duì)曲線的控制將會(huì)減弱。通常，這一缺點(diǎn)可以通過(guò)多段低階Bezier曲線逼近的方法解決。二是Bezier曲線不能進(jìn)行局部修改，任何一個(gè)控制點(diǎn)位置的變化對(duì)整條曲線都有影響。B樣條方法保留了Bezier方法的優(yōu)點(diǎn)，克服了其由于整體表示帶來(lái)的不具備局部性質(zhì)的缺點(diǎn)，具有表示與設(shè)計(jì)自由型曲線/曲面的強(qiáng)大功能，被廣泛應(yīng)用于CAD系統(tǒng)和許多圖形軟件包中。B樣條的理論早在1946年由Schoenberg提出，但論文直到1967年才發(fā)表。1972年，deBoor與Cox分別獨(dú)立地給出了關(guān)于樣條計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)算法。但作為一個(gè)在CAGD中實(shí)現(xiàn)形狀數(shù)學(xué)描述的基本方法，它是由Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bezier方法的基礎(chǔ)上引入的，他們拓廣了Bezier曲線，用B樣條基代替Bernstein基，克服了Bezier曲線的弱點(diǎn)。有理樣條曲線/曲面B樣條方法在表示和設(shè)計(jì)自由型曲線/曲面時(shí)顯示了強(qiáng)大的威力，然而在表示和設(shè)計(jì)由二次曲面或平面構(gòu)成的初等曲面時(shí)卻遇到了麻煩。這是因?yàn)锽樣條曲線（面），包括其特例的Bezier曲線（面），不能精確表示除拋物線（面）以外的二次曲線（面），而只能給出其近似表示。近似表示將帶來(lái)處理上的麻煩，使本來(lái)簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，還帶來(lái)原本不存在的設(shè)計(jì)誤差問(wèn)題。例如，若要用Bezier曲線較精確地表示一個(gè)半圓，則需用到五次Bezier曲線，還必須專(zhuān)門(mén)計(jì)算其控制頂點(diǎn)。這樣，為了精確表示二次曲線與曲面，就不得不采取另外一套數(shù)學(xué)描述方法，譬如用隱式方程表示。這樣不僅又重新帶來(lái)隱式方程表示所存在的問(wèn)題，而且將導(dǎo)致一個(gè)幾何系統(tǒng)采用兩種不同的數(shù)學(xué)方法，這是計(jì)算機(jī)處理系統(tǒng)最忌諱的。解決這個(gè)問(wèn)題的途徑就是改造現(xiàn)有的B樣條方法，在保留它描述自由型曲線/曲面強(qiáng)大能力的同時(shí)，擴(kuò)充其統(tǒng)一表示二次曲線與曲面的能力。這個(gè)方法就是有理B樣條方法。由于在形狀描述實(shí)踐中，它經(jīng)常以非均勻類(lèi)型出現(xiàn)，而均勻、準(zhǔn)均勻、分段Bezier三種類(lèi)型又可看成是非均勻類(lèi)型的特例，所以人們習(xí)慣地稱(chēng)之為非均勻有理B樣條（NonuniformRationalB-Spline，NURBS）方法。有理函數(shù)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比，因此有理樣條（RotionalSpline）是兩個(gè)樣條參數(shù)多項(xiàng)式之比。綜上所述，NURBS方法是既能描述自由型曲線/曲面又能精確表示二次曲線與曲面的有理參數(shù)多項(xiàng)式方法。有理參數(shù)多項(xiàng)式有兩個(gè)重要的優(yōu)點(diǎn)：一是有理參數(shù)多項(xiàng)式具有幾何和透視投影變換不變性。例如要產(chǎn)生一條經(jīng)過(guò)透視投影變換的空間曲線，對(duì)于用無(wú)理多項(xiàng)式表示的曲線，第一步需生成曲線的離散點(diǎn)，第二步對(duì)這些離散點(diǎn)作透視投影變換，得到要求的曲線。對(duì)于用有理多項(xiàng)式表示的曲線，第一步對(duì)定義曲線的控制點(diǎn)作透視投影變換，第二步是用變換后的控制點(diǎn)生成要求的曲線。顯然后者比前者的工作量小許多。二是用有理參數(shù)多項(xiàng)式可精確地表示圓錐曲線、二次曲面，進(jìn)而可統(tǒng)一幾何造型算法。NURBS的優(yōu)缺點(diǎn)：NURBS曲線/曲面具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）既為自由型曲線/曲面也為初等曲線/曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式，一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)就能夠存儲(chǔ)這兩類(lèi)形狀信息。（2）為了修改曲線/曲面的形狀，既可以借助調(diào)整控制頂點(diǎn)，又可以利用權(quán)因子，因而具有較大的靈活性。（3）計(jì)算穩(wěn)定且速度快（4）NURBS有明顯的幾何解釋?zhuān)顾鼘?duì)有良好的幾何知識(shí)