1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(修正版)

1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題1．已a(bǔ)＝355，b＝444，c＝533，則有［ ］A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜bxyyz63方程組xzyz23的正整數(shù)解的組數(shù)是［ ］A．1 B．2 C．3 D．4如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是［ ］3 3 3A．0≤m≤1 B．m≥ C．＜m≤1 D．≤m≤14 4 4如果邊長(zhǎng)順次25、、5260的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為［ ］A．62π B．63π C．64π D．65π直徑，且與AB相交，M＝｜S －S ｜，△ABC △ABDN＝2S△OAB

，則［ ］A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．MN的大小關(guān)系不確定設(shè)實(shí)、滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則［ ］A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0b＞0 C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0二、填空題在12，22，32……，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共個(gè)。1 a31已a(bǔ)是方程x2x 0的根，則 的值等．4 a5a4a3a2xyx2x

1x的最小值．以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC2＝AC·BC，則∠CAB＝ ．第二試一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，BCE上，CA＝CB＝CD、CD三點(diǎn)的圓ABF（如圖）CBG求證：F為△CDE的內(nèi)心ADADFCGByx2x5

10 10 9的圖像上找出滿足≤x|的所有整點(diǎn)，，并說(shuō)明理由。三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案第一試一、選擇題然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。選C。利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以，但沒(méi)有優(yōu)越性。講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z＝1,進(jìn)而可求出兩個(gè)解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程組①xyy63①xy23直接判斷：因?yàn)閤≠y(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無(wú)解或有兩個(gè)解，對(duì)照選擇支，選B。1x?＋x?＝2＞1形的三邊，須且只須又|xx|1 2

b2|a|

44m13331＜m3331＜m≤1m＝、、，不4 4 22

能組成三角3形，故包括4

的A、B、D均可否定，選CAB2AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522＝BC2＋CD2故可取BD＝65為直徑，得周長(zhǎng)為65π，選D．D．ABM＝N＝0BAC，不能排D．不失一般性，設(shè)CE≥ED，在CE上取CF＝ED，則有OF＝OE，且S －S ＝S△ADE △AEF＝2S ．同理，S －S ＝2S ．相加，S －S ＝2S ，即M＝N．選B．選B．CDOA的垂線（3CABD⊥AOLAEF、L．連CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn)．根據(jù)課本上做過(guò)的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．1兩邊乘以AB，可得｜S －S ｜2S2即M＝N．選B．

△ABC

△DAB

△OABa＝－1、A、DB．一般地，對(duì)已知不等式平方，有｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．顯然a｜ab｜0（，則與上式矛盾

a＋b a＞｜a＋b｜ ｜a｜a＋b a兩邊都只能取1或－1，故只有1＞－1，即｜a＋b｜＝1，｜a｜＝－1有a＜0且a＋b＞0，從而b＞－a＞0．選B．二、填空題1．講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力．經(jīng)計(jì)算102，知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42＝16，62＝36．然后，對(duì)兩位數(shù)10a＋b，有（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b＝4或6時(shí)，其462×9＋1＝19．2.講解：這類問(wèn)題一般都先化簡(jiǎn)后代值，直接把a(bǔ)＝

1222

代入將造成復(fù)雜的計(jì)算由已知，有a2＋a 1 ①＝4(a－1)(a2＋a＋1) (a2＋a)＋1原式＝

＝a2(a－1)(a＋1)2

(a2＋a)2

＝20學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2＋a作為整體代入．這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活．比如，由①有a3＋a21 ②＝a4a5＋a4

13 ③＝a4由②－①，得a3－a 1a－1）④＝（4由③－②并將④代入，得＝（）＝（a5＋a4－a3－a21a3－a 1 a－1） ⑤＝（）＝（4 16a3－1 2 1于是，原式＝

＝16（a（a－1）

＋a＋1）＝16（＋1）＝2043．講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y3．講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y＝x2－x與反比例函數(shù)y＝x1作疊加，要求學(xué)生在掌握二次函數(shù)求最值（配方法）得基礎(chǔ)上，做綜合性與靈活性得運(yùn)用，進(jìn)行兩次配方y(tǒng)(x1)2x11(x1)2(xx 1)21.xx＝1(x1)2與(x1)20，y1x4．講解：此題由筆者提供，原題是求sin∠CAB，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°．解法如下：BCAB是直徑，故∠ACB＝90°，sin∠CAB＝ABOC＝BC由OC2＝AC?BC得AC OCOC＝BC在ABC中，由正弦定理得sin

AC?sin∠CAB OC BC OC 12 2∠AOC＝

OC

AB＝AB＝.∴∠AOC∴∠AOC＝30°或150°∴∠CAB＝75°或15°IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△ABC斜邊BCABDACDAB和AC于K和L，△ABC和TS≥2T．在這個(gè)題目的證明中，要用到AK＝AL＝AD．今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過(guò)來(lái)，先給出AK＝AL＝AD(斜邊上的高)，再求證KL通過(guò)△ABAD的內(nèi)心（．其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE，然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過(guò)F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線段相等．下面是幾個(gè)有代表性的證法．證法1：如圖6，連DF，則由已知，有1∠CDF＝∠CAB＝45°＝∠CDE，故DF為∠CDE平分線2連BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD形CBD是∠ECD的平分線．由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心．CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDEBEDF＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分線．本來(lái)，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來(lái)了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜．由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是△DCB的外心．1∠CDF＝∠CAB＝45°＝∠CDE，故DF為∠CDE平分線，F(xiàn)為CDE內(nèi)心2證法4：如圖8，只證CF為∠DCE的平分線．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，＝45°＋∠1得∠1＝∠2．從而∠DCF＝∠GCF，得CF為∠＝45°＋∠1得∠1＝∠2．從而∠DCF＝∠GCF，得CF為∠DCE的平分線．證法5：首先DF是∠CDE的平分線，故△CDE的外心I在直線DF上．y＝－x＋d①的圖象（的坐標(biāo)為，?，則xy＝－x＋d①的圖象（的坐標(biāo)為，?，則x?＋y?＝CH＋I(xiàn)H＝CH＋HB＝CB＝dABIDFIABDFIF，F(xiàn)Rt△CDE的內(nèi)心．還可延長(zhǎng)ED交⊙O于P?，而CP為直徑來(lái)證．二、講解：此題的原型由筆者提供．題目是：坐標(biāo)平面上縱、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，對(duì)二次函數(shù)y

x2x5，請(qǐng)找出10 10 91其位于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn)．1這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式1

1x2+ x1995<x2 2求正整數(shù)解．直接解，數(shù)字較繁．但有巧法，由1＋2＋……＋x＝

x(x＋1)2

＝1995＋y 及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，從而y＝21，所求的格點(diǎn)為(21，63)．經(jīng)過(guò)命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算．解法1:已知

x2－x＋1810

≤│x│，有x2－x＋18≤10｜x｜．當(dāng)x≥0時(shí)，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);當(dāng)x＜0時(shí)，有x2＋9x＋18≤0，得－6≤x≤－3，代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn)：(－6,6),(－3,3)．解法2：x2－x＋18由＝ 10 為整數(shù)，知關(guān)于10的余數(shù)只能（-87（-、（或-）對(duì)x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，1114911149[(x－)21114911149[(x－)2－]＞[(9－)2－10 2 4 10 2 4

]＝0,知y＞－x，再無(wú)滿足y≤│x│的解對(duì)x＜0，取x＝－1,－3,－6,－8,…順次代入，得(－3，3)、(－6，6)，且當(dāng)x＜－6時(shí)，199199[(10x＋)2－]＞[(－6＋)2－2 4 10 4 4由199199[(10x＋)2－]＞[(－6＋)2－2 4 10 4 4故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略．解法3：先找滿足條件y＝｜x｜的整點(diǎn)，即分別解方程x2－11x＋18＝0 ①x2＋9x＋18＝0 ②可得(2，2)、(9，9)、(－6，6)、(－3，3)．再找滿足y＜｜x｜的整點(diǎn)，這時(shí)2＜x＜9或－6＜x＜－3，依次檢驗(yàn)得(4，3)、(7，6)．故共有6個(gè)整點(diǎn)．三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n＞6時(shí)，在2，3，…，n－2中，必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)有n＝A＋B．此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．但是，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，這個(gè)A