一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解

一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解xxx公司一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、知識要點(diǎn)：1、一次函數(shù)：形如y=kx+b(k≠0,k,b為常數(shù))的函數(shù)。注意：（1）k≠0,否則自變量x的最高次項的系數(shù)不為1；（2）當(dāng)b=0時，y=kx，y叫x的正比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，（1）兩個常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（-，0）（2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。3、性質(zhì)：(1)圖象的位置:

(2)增減性k>0時，y隨x增大而增大k<0時，y隨x增大而減小4．求一次函數(shù)解析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要有三種(1)由已知函數(shù)推導(dǎo)或推證(2)由實(shí)際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。(3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式?！按ㄏ禂?shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況：①利用一次函數(shù)的定義構(gòu)造方程組。②利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項b恰為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b來定點(diǎn)；直線y=kx+b平行于y=kx，即由k來定方向。③利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。④利用題目已知條件直接構(gòu)造方程。二、例題舉例：例1．已知y=，其中=(k≠0的常數(shù))，與成正比例，求證y與x也成正比例。證明：∵與成正比例，設(shè)=a(a≠0的常數(shù)),∵y=,=(k≠0的常數(shù)),∴y=·a=akx，其中ak≠0的常數(shù)，∴y與x也成正比例。例2．已知一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫出兩個函數(shù)的解析式，并指出兩個函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位置及增減性。解：依題意，得解得n=-1，∴=-3x-1,=(3-)x,是正比例函數(shù)；=-3x-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，隨x的增大而減??；=(3-)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨x的增大而增大。說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項就是圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)”來構(gòu)造方程。例3．直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點(diǎn)在y軸上，求此直線解析式。分析：直線y=kx+b的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點(diǎn)，若兩直線平行，則解析式的一次項系數(shù)k相等。例y=2x,y=2x+3的圖象平行。解：∵y=kx+b與y=5-4x平行，∴k=-4,∵y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交于y軸，∴b=18，∴y=-4x+18。說明：一次函數(shù)y=kx+b圖象的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定點(diǎn)，即函數(shù)圖象平行于直線y=kx，經(jīng)過(0,b)點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與y軸交點(diǎn)定b。例4．直線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)B到x軸的距離為2，求直線的解析式。解：∵點(diǎn)B到x軸的距離為2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，±2），設(shè)直線的解析式為y=kx±2,∵直線過點(diǎn)A（-4，0），∴0=-4k±2,解得：k=±,∴直線AB的解析式為y=x+2或y=-x-2.說明：此例看起來很簡單，但實(shí)際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。

（1）圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；

（2）直線與y軸交于B點(diǎn)，則點(diǎn)B（0，）；

（3）點(diǎn)B到x軸距離為2，則||=2；

（4）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)等于直線解析式的常數(shù)項，即b=；

（5）已知直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可設(shè)y=kx+，

下面只需待定k即可。例5．已知一次函數(shù)的圖象，交x軸于A（-6，0），交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，且點(diǎn)B在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2，△AOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。分析：自畫草圖如下：解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx，一次函數(shù)y=ax+b，∵點(diǎn)B在第三象限，橫坐標(biāo)為-2，設(shè)B（-2，），其中<0，∵=6，∴AO·||=6，∴=-2，把點(diǎn)B（-2，-2）代入正比例函數(shù)y=kx，得k=1把點(diǎn)A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，得解得：∴y=x,y=-x-3即所求。說明：（1）此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；（2）此例需要把條件（面積）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B的坐標(biāo)。這個轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式AO·BD=6（過點(diǎn)B作BD⊥AO于D）計算出線段長BD=2，再利用||=BD及點(diǎn)B在第三象限計算出=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn)B的位置有幾種可能，結(jié)果會有什么變化（答：有兩種可能，點(diǎn)B可能在第二象限（-2，2），結(jié)果增加一組y=-x,y=(x+3).例6．已知正比例函數(shù)y=kx(k<0)圖象上的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于13，過這點(diǎn)向x軸作垂線，這點(diǎn)到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30，求這個正比例函數(shù)的解析式。分析：畫草圖如下：

則OA=13，=30，則列方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可。解法1：設(shè)圖象上一點(diǎn)A（x,y）滿足解得：；；；代入y=kx(k<0)得k=-,k=-.∴y=-x或y=-x。解法2：設(shè)圖象上一點(diǎn)A（a,ka）滿足由（2）得=-,代入（1），得(1+)·(-)=.整理，得60+169k+60=0.解得k=-或k=-.∴y=-x或y=-x.說明：由于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式y(tǒng)=kx，其中k為待定系數(shù)，故解此例的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于k的方程。此例給出的兩個解法代表兩種不同的思路：解法1是把已知條件先轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造方程解出，再求k；解法2是引進(jìn)輔助未知數(shù)a，利用勾股定理、三角形面積公式直接構(gòu)造關(guān)于a、k的方程組，解題時消去a，求出k值。例7．在直角坐標(biāo)系x0y中，一次函數(shù)y=x+的圖象與x軸，y軸，分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D在x軸上，且∠BCD=∠ABD，求圖象經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式。分析：由已知可得A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，），點(diǎn)C是確定的點(diǎn)（1，0），解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D在x軸上，以∠BCD=∠ABD的條件，結(jié)合畫草圖可知∠BCD的邊BC確定，頂點(diǎn)C確定，但邊CD可以有兩個方向，即點(diǎn)D可以在C點(diǎn)右側(cè)，也可以在C點(diǎn)左側(cè)，因此解此題要分類討論。解：∵點(diǎn)A、B分別是直線y=x+與x軸和y軸交點(diǎn)，∴A（-3，0），B（0，），∵點(diǎn)C坐標(biāo)（1，0）由勾股定理得BC=，AB=，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,0），（1）當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)右側(cè)，即x>1時，∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△ABD，∴=∴=----①∴=∴8-22x+5=0∴x1=,x2=,經(jīng)檢驗：x1=,x2=,都是方程①的根。∵x=,不合題意，∴舍去。∴x=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）。設(shè)圖象過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，∴∴所求一次函數(shù)為y=-x+（2）若點(diǎn)D在點(diǎn)C左側(cè)則x<1，可證△ABC∽△ADB，∴∴----②∴8-18x-5=0∴x1=-,x2=,經(jīng)檢驗x1=-,x2=,都是方程②的根?！選2=不合題意舍去，∴x1=-,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-,0），∴圖象過B、D（-,0）兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-x+或y=4x+.例8．已知：如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（4，0）作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)。解：直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-3），∴OA=6，OB=3，∵OA⊥OB，CD⊥AB，∴∠