數(shù)學(xué)建模競賽課件 微分方程模型

微分方程模型理學(xué)院：方郁文2011年7月7日微分方程模型理學(xué)院：方郁文1微分方程模型建模步驟1、模型準(zhǔn)備2、模型假設(shè)3、模型構(gòu)成4、模型求解與分析5、模型檢驗(yàn)6、模型應(yīng)用微分方程模型建模步驟1、模型準(zhǔn)備21、模型準(zhǔn)備

如果想對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通常要先了解該問題的實(shí)際背景和建模目的，盡量弄清要建模的問題屬于哪一類學(xué)科的問題，然后查找搜集與建模要求有關(guān)的資料和信息為接下來的數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備，根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量，如自變量、未知函數(shù)、必要參數(shù)，這一過程稱為模型準(zhǔn)備。

對(duì)于微分方程模型而言，要尋找表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、‘增長”(在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經(jīng)濟(jì)學(xué)中)等。1、模型準(zhǔn)備

如果想對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通常要先了32、模型假設(shè)一個(gè)實(shí)際問題會(huì)涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考慮到，既不可能也沒必要，而且還會(huì)使問題復(fù)雜化導(dǎo)致建模失敗。要想把實(shí)際問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題還要對(duì)其進(jìn)行必要合理的簡化和假設(shè)，這一過程稱為模型假設(shè)。在明確建模目的和掌握相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，去除一些次要因素。以主要矛盾為主來對(duì)該實(shí)際問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕⑻岢鲆恍┖侠淼募僭O(shè)可以為數(shù)學(xué)建模帶來方便使問題得到解決。

2、模型假設(shè)一個(gè)實(shí)際問題會(huì)涉及到很多因素，如果把涉及的所有因43、模型構(gòu)成

有了模型假設(shè)后，就可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)已知的知識(shí)和搜集的信息來描述變量之間的關(guān)系，這一過程稱為模型構(gòu)成。對(duì)于微分方程而言：就是建立瞬時(shí)表達(dá)式：根據(jù)自變量有微小改變△t時(shí)，因變量的增量△X，建立起在時(shí)段△t上的增量表達(dá)式，即建立瞬間表達(dá)式。有些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息，它們獨(dú)立于微分方程而成立，為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。3、模型構(gòu)成

有了模型假設(shè)后，就可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)54、模型求解與分析采用解方程、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行求解，其中有些可以用計(jì)算機(jī)軟件（如MATLAB）來做這些工作，同時(shí)有時(shí)候還需要對(duì)獲得結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如分析變量之間的依賴關(guān)系和穩(wěn)定狀況等，這一過程稱為模型求解與分析。4、模型求解與分析采用解方程、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)65、模型檢驗(yàn)

把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實(shí)際問題做比較以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇苑Q為模型檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)對(duì)建模的成敗是很重要的，如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合實(shí)際，應(yīng)該修改補(bǔ)充假設(shè)或改換其他數(shù)學(xué)方法重新做模型構(gòu)成。通常，一個(gè)模型要經(jīng)過如此多次反復(fù)修改才能得到滿意結(jié)果。

5、模型檢驗(yàn)

把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實(shí)際問題做比較76、模型應(yīng)用利用建模中獲得的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問題給出預(yù)報(bào)或?qū)︻愃茖?shí)際問題進(jìn)行分析、解釋和預(yù)報(bào)，以供決策者參考稱為模型應(yīng)用。6、模型應(yīng)用利用建模中獲得的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問題給出預(yù)報(bào)8關(guān)于微分方程模型的一些例子模型關(guān)于微分方程模型的一些例子模型9靜態(tài)模型參數(shù)常定模型指決定系統(tǒng)特性的因素不隨著時(shí)間的推移而變化的系統(tǒng)模型，靜態(tài)模型的假定本身是對(duì)系統(tǒng)的一種簡化，是相對(duì)比較簡單的參數(shù)時(shí)變模型指系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的推移而變化動(dòng)態(tài)模型

靜態(tài)模型參數(shù)常定模型參數(shù)時(shí)變模型動(dòng)態(tài)模型10背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長一、人口增長模型背景年1625183011指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口模型假設(shè)：

人口增長速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，比例系數(shù)為是常數(shù)r，r為相對(duì)人口增長率

今年人口x0,年增長率rk年后人口指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(12指數(shù)增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長。與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合應(yīng)用：可用于短期人口增長預(yù)測局限性：不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律，不能預(yù)測較長期的人口增長過程實(shí)際上人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：隨著時(shí)間增加，人口按指13阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增14dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x15參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)r=0.2557,xm=392.1參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最16模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為217阻滯增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：1、不管人口開始時(shí)處于什么狀態(tài)，隨著時(shí)間的增長，人口最終趨近于其人口最大容量；2、當(dāng)人口總數(shù)超過人口容量時(shí)，人口數(shù)量將減少；3、人口總數(shù)小于人口容量時(shí)，人口數(shù)量會(huì)增加。應(yīng)用：可用來做相對(duì)較長時(shí)期的人口預(yù)算局限性：它為單調(diào)曲線阻滯增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：18二、經(jīng)濟(jì)增長模型1、建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系2、研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，投資效益最大3、調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長率，使經(jīng)濟(jì)（生長率）增長二、經(jīng)濟(jì)增長模型1、建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系191.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0F為待定函數(shù)1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值資金K(t20模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)0模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y21-----------Douglas生產(chǎn)函數(shù)

這說明了產(chǎn)值隨著資金和勞動(dòng)力的增長而增長，但是增長速度在減慢。-----------Douglas生產(chǎn)函數(shù)這說明了產(chǎn)值隨22QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)Douglas生產(chǎn)函數(shù)QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值23求K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w

2、資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）這就是資金與勞動(dòng)力的最佳分配.可見，w,r,K/L這是符合常識(shí)的.求K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力243、經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)常用衡量經(jīng)濟(jì)增長指標(biāo)：Q(t)增長或Z(t)=Q(t)/L(t)增長

模型假設(shè)1.投資增長率與產(chǎn)值成正比2.勞動(dòng)力相對(duì)增長率為常數(shù)3、經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)常用衡量經(jīng)濟(jì)增長指25------Bernoulli方程------Bernoulli方程26數(shù)學(xué)建模競賽課件微分方程模型27產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>0a)經(jīng)濟(jì)增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>0a)經(jīng)濟(jì)增長的條件28這說明：如果勞動(dòng)力增加，產(chǎn)量增加；勞動(dòng)力減少，產(chǎn)量只能在有限的時(shí)間內(nèi)保持增加

這說明：如果勞動(dòng)力增加，產(chǎn)量增加；勞動(dòng)力減少，產(chǎn)量只能在有限29每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>0b)經(jīng)濟(jì)增長的條件每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt30勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率31結(jié)論道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的模型，在此基礎(chǔ)上討論的資金和勞動(dòng)力是一個(gè)靜態(tài)模型，而利用微分方程研究的勞動(dòng)生產(chǎn)率增長條件是一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，雖然推導(dǎo)過程繁瑣，但是結(jié)果簡明，并且能做出合理的解釋結(jié)論道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重32三、傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型三、傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變33已感染人數(shù)(病人)x(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)隨時(shí)間增加，病人人數(shù)一直增加，不符合實(shí)際必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模已感染人數(shù)(病人)x(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以34模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1.總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2.每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1.總?cè)藬?shù)35Logistic模型di/dti01/21Logistic模型di/dti01/2136ii010t1/2tmtm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tm這表示所有人最終將被傳染，全為病人，不合實(shí)際沒有考慮病人可以治愈！ii010t1/2tmtm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率37模型3病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3.病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS38i0i0接觸數(shù)=1~閾值1-1/idi/dt01>10ti>11-1/i0i0接觸數(shù)=1~閾值1-1/idi/dt0139i0t1i0di/dt<0idi/dt01

11-1/表明感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)局限：有些病治愈后具有很強(qiáng)的免疫力i0t1i0di/dt<0idi/dt0140模型4病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總41無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)無法求出在相平面上42消去dt相軌線相軌線的定義域消去dt相軌線相軌線的定義域43si101D傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0im1/

~閾值P3P4P2S0P1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至0相軌線及其分析si101D傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方44預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日45的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例46x<<s0i0P1i00,s01這說明：提高閾值1/或降低s0

降低被傳染人數(shù)比例xx<<s0i0P1i00,s01這說明：提高閾值47穩(wěn)定性模型對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性模型對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過程，而建模目的是研究時(shí)間充分長以后48四、捕魚業(yè)的持續(xù)收獲漁業(yè)是再生資源再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及分析在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景四、捕魚業(yè)的持續(xù)收獲漁業(yè)是再生資源再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在49產(chǎn)量模型模型假設(shè)1.無捕撈時(shí)魚的自然增長服從Logistic規(guī)律2.單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強(qiáng)度x(t)~漁場魚量產(chǎn)量模型模型假設(shè)1.無捕撈時(shí)魚的自然增長服從Logisti50建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道51一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)52不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線53產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長率產(chǎn)量模型平衡點(diǎn)E~捕撈強(qiáng)度r~固有增長率54穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯只要適量的捕撈，就可以使?jié)O場魚量穩(wěn)定在x0穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯55在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大P的橫坐標(biāo)x0~平衡點(diǎn)y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標(biāo)h~產(chǎn)量f與h交點(diǎn)Phmx0*=N/2P*y=E*x在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使產(chǎn)量最大P的橫坐標(biāo)x056產(chǎn)量最大結(jié)論：控制漁場魚量為最大魚量的一半此時(shí)產(chǎn)量最大結(jié)論：控制漁場魚量為最大魚量的一半此時(shí)57效益模型模型假設(shè)1.魚銷售價(jià)格p2.單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c單位時(shí)間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強(qiáng)度使效益最大.穩(wěn)定平衡點(diǎn)收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型模型假設(shè)1.魚銷售價(jià)格p2.單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c58求E使R(E)最大漁場魚量求E使R(E)最大漁場魚量59EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時(shí)的捕撈強(qiáng)度(臨界強(qiáng)度)Es=2ER臨界強(qiáng)度下的漁場魚量ERE*令=0EsS(E)T(E)0rE捕撈過度封閉式捕撈追求利潤R(E60謝謝各位同學(xué)！謝謝各位同學(xué)！61微分方程模型理學(xué)院：方郁文2011年7月7日微分方程模型理學(xué)院：方郁文62微分方程模型建模步驟1、模型準(zhǔn)備2、模型假設(shè)3、模型構(gòu)成4、模型求解與分析5、模型檢驗(yàn)6、模型應(yīng)用微分方程模型建模步驟1、模型準(zhǔn)備631、模型準(zhǔn)備

如果想對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通常要先了解該問題的實(shí)際背景和建模目的，盡量弄清要建模的問題屬于哪一類學(xué)科的問題，然后查找搜集與建模要求有關(guān)的資料和信息為接下來的數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備，根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量，如自變量、未知函數(shù)、必要參數(shù)，這一過程稱為模型準(zhǔn)備。

對(duì)于微分方程模型而言，要尋找表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、‘增長”(在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經(jīng)濟(jì)學(xué)中)等。1、模型準(zhǔn)備

如果想對(duì)某個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通常要先了642、模型假設(shè)一個(gè)實(shí)際問題會(huì)涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考慮到，既不可能也沒必要，而且還會(huì)使問題復(fù)雜化導(dǎo)致建模失敗。要想把實(shí)際問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題還要對(duì)其進(jìn)行必要合理的簡化和假設(shè)，這一過程稱為模型假設(shè)。在明確建模目的和掌握相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，去除一些次要因素。以主要矛盾為主來對(duì)該實(shí)際問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕⑻岢鲆恍┖侠淼募僭O(shè)可以為數(shù)學(xué)建模帶來方便使問題得到解決。

2、模型假設(shè)一個(gè)實(shí)際問題會(huì)涉及到很多因素，如果把涉及的所有因653、模型構(gòu)成

有了模型假設(shè)后，就可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)已知的知識(shí)和搜集的信息來描述變量之間的關(guān)系，這一過程稱為模型構(gòu)成。對(duì)于微分方程而言：就是建立瞬時(shí)表達(dá)式：根據(jù)自變量有微小改變△t時(shí)，因變量的增量△X，建立起在時(shí)段△t上的增量表達(dá)式，即建立瞬間表達(dá)式。有些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息，它們獨(dú)立于微分方程而成立，為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。3、模型構(gòu)成

有了模型假設(shè)后，就可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并根據(jù)664、模型求解與分析采用解方程、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行求解，其中有些可以用計(jì)算機(jī)軟件（如MATLAB）來做這些工作，同時(shí)有時(shí)候還需要對(duì)獲得結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如分析變量之間的依賴關(guān)系和穩(wěn)定狀況等，這一過程稱為模型求解與分析。4、模型求解與分析采用解方程、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明等各種傳統(tǒng)675、模型檢驗(yàn)

把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實(shí)際問題做比較以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇苑Q為模型檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)對(duì)建模的成敗是很重要的，如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合實(shí)際，應(yīng)該修改補(bǔ)充假設(shè)或改換其他數(shù)學(xué)方法重新做模型構(gòu)成。通常，一個(gè)模型要經(jīng)過如此多次反復(fù)修改才能得到滿意結(jié)果。

5、模型檢驗(yàn)

把模型在數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果與研究的實(shí)際問題做比較686、模型應(yīng)用利用建模中獲得的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問題給出預(yù)報(bào)或?qū)︻愃茖?shí)際問題進(jìn)行分析、解釋和預(yù)報(bào)，以供決策者參考稱為模型應(yīng)用。6、模型應(yīng)用利用建模中獲得的正確模型對(duì)研究的實(shí)際問題給出預(yù)報(bào)69關(guān)于微分方程模型的一些例子模型關(guān)于微分方程模型的一些例子模型70靜態(tài)模型參數(shù)常定模型指決定系統(tǒng)特性的因素不隨著時(shí)間的推移而變化的系統(tǒng)模型，靜態(tài)模型的假定本身是對(duì)系統(tǒng)的一種簡化，是相對(duì)比較簡單的參數(shù)時(shí)變模型指系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的推移而變化動(dòng)態(tài)模型

靜態(tài)模型參數(shù)常定模型參數(shù)時(shí)變模型動(dòng)態(tài)模型71背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長一、人口增長模型背景年1625183072指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口模型假設(shè)：

人口增長速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，比例系數(shù)為是常數(shù)r，r為相對(duì)人口增長率

今年人口x0,年增長率rk年后人口指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(73指數(shù)增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長。與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合應(yīng)用：可用于短期人口增長預(yù)測局限性：不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律，不能預(yù)測較長期的人口增長過程實(shí)際上人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：隨著時(shí)間增加，人口按指74阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增75dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x76參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)r=0.2557,xm=392.1參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最77模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為278阻滯增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：1、不管人口開始時(shí)處于什么狀態(tài)，隨著時(shí)間的增長，人口最終趨近于其人口最大容量；2、當(dāng)人口總數(shù)超過人口容量時(shí)，人口數(shù)量將減少；3、人口總數(shù)小于人口容量時(shí)，人口數(shù)量會(huì)增加。應(yīng)用：可用來做相對(duì)較長時(shí)期的人口預(yù)算局限性：它為單調(diào)曲線阻滯增長模型的結(jié)論、應(yīng)用及局限性結(jié)論：79二、經(jīng)濟(jì)增長模型1、建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系2、研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，投資效益最大3、調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長率，使經(jīng)濟(jì)（生長率）增長二、經(jīng)濟(jì)增長模型1、建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系801.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0F為待定函數(shù)1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值資金K(t81模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)0模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著y82-----------Douglas生產(chǎn)函數(shù)

這說明了產(chǎn)值隨著資金和勞動(dòng)力的增長而增長，但是增長速度在減慢。-----------Douglas生產(chǎn)函數(shù)這說明了產(chǎn)值隨83QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)Douglas生產(chǎn)函數(shù)QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值84求K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w

2、資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）這就是資金與勞動(dòng)力的最佳分配.可見，w,r,K/L這是符合常識(shí)的.求K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力853、經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)常用衡量經(jīng)濟(jì)增長指標(biāo)：Q(t)增長或Z(t)=Q(t)/L(t)增長

模型假設(shè)1.投資增長率與產(chǎn)值成正比2.勞動(dòng)力相對(duì)增長率為常數(shù)3、經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)常用衡量經(jīng)濟(jì)增長指86------Bernoulli方程------Bernoulli方程87數(shù)學(xué)建模競賽課件微分方程模型88產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>0a)經(jīng)濟(jì)增長的條件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>0a)經(jīng)濟(jì)增長的條件89這說明：如果勞動(dòng)力增加，產(chǎn)量增加；勞動(dòng)力減少，產(chǎn)量只能在有限的時(shí)間內(nèi)保持增加

這說明：如果勞動(dòng)力增加，產(chǎn)量增加；勞動(dòng)力減少，產(chǎn)量只能在有限90每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>0b)經(jīng)濟(jì)增長的條件每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt91勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率92結(jié)論道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的模型，在此基礎(chǔ)上討論的資金和勞動(dòng)力是一個(gè)靜態(tài)模型，而利用微分方程研究的勞動(dòng)生產(chǎn)率增長條件是一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，雖然推導(dǎo)過程繁瑣，但是結(jié)果簡明，并且能做出合理的解釋結(jié)論道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重93三、傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型三、傳染病模型問題描述傳染病的傳播過程分析受感染人數(shù)的變94已感染人數(shù)(病人)x(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)隨時(shí)間增加，病人人數(shù)一直增加，不符合實(shí)際必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模已感染人數(shù)(病人)x(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以95模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1.總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2.每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1.總?cè)藬?shù)96Logistic模型di/dti01/21Logistic模型di/dti01/2197ii010t1/2tmtm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tm這表示所有人最終將被傳染，全為病人，不合實(shí)際沒有考慮病人可以治愈！ii010t1/2tmtm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率98模型3病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3.病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS99i0i0接觸數(shù)=1~閾值1-1/idi/dt01>10ti>11-1/i0i0接觸數(shù)=1~閾值1-1/idi/dt01100i0t1i0di/dt<0idi/dt01

11-1/表明感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)局限：有些病治愈后具有很強(qiáng)的免疫力i0t1i0di/dt<0idi/dt01101模型4病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總102無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)無法求出在相平面上103消去dt相軌線相軌線的定義域消去dt相軌線相軌線的定義域104si101D傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0im1/

~閾值P3P4P2S0P1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至0相軌線及其分析si101D傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方105預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日106的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例107x<<s0i0P1i00,s01這說明：提高閾值1/或降低s0

降低