教師要腳踏實地也要仰望星空

本文格式為Word版，下載可任意編輯——教師要腳踏實地，也要仰望星空

常靜鋒

筆者最近加入了靖江市初中數(shù)學青年教師教學基本功大賽。在筆試環(huán)節(jié)，有這樣一道幾何證明題：請用直接證明的方法求證對角互補的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形。即：

已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓。

筆者由于經(jīng)常加入所在市初中數(shù)學試卷的調(diào)研、命題，所以，對于初中數(shù)學解題，還是對比自信的?？吹竭@樣的問題，筆者首先想到了反證法。

如圖2，過A、B、C三點作⊙O，假設(shè)點D不在⊙O上，則點D可能在⊙O內(nèi)或在⊙O外。

假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，連接并延長BD必與⊙O相交。設(shè)交點為D′，連接AD′、BD′，則必有∠AD′C+∠ABC=180°，由于∠AD′B∠ADB，∠CD′B∠CDB，所以∠AD′C∠ADC，所以∠ADC+∠ABC180°，這與“∠A+∠C=180°〞矛盾，說明點D不可能在⊙O內(nèi)。同樣可證明點D不可能在⊙O外，故點D只能在⊙O上，即四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓。

我們知道，一個命題的逆否命題與原命題等價，而反證法的本質(zhì)就是證明原命題的逆否命題。尋常在直接證明對比困難的狀況下，用反證法更簡單。這道題也可用直接證明的方法，但是，加入比賽的教師中竟然沒有一位教師能夠直接證明出來?？荚嚱K止后，數(shù)學教研員給我們進行了講解：

由于∠A+∠C=180°，而四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，所以∠A+∠C=∠B+∠D。

（1）若∠A=∠B，則∠C=∠D，有四邊形ABCD是等腰梯形，且AB∥CD（如圖3）。作AB的垂直平分線l1，l1必然垂直平分CD，作AD的垂直平分線l2，l2交直線l1于點O，連接AO、BO、CO、DO，則有AO=BO=CO=DO，所以四邊形ABCD一定有外接圓。

（2）若∠A≠∠B，不妨設(shè)∠A∠B，由∠A+∠C=∠B+∠D，有∠A-∠D=∠B-∠C。

如圖4，分別在∠A、∠B內(nèi)作射線AG、BG，使得∠1=∠D、∠2=∠C，兩條射線相交于點G，且分別與CD相交于點E、點F。

假如點G恰好在CD邊上（即E、F、G三點重合），則有GA=GB=GC=GD，那么四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓。

假如點G不在CD邊上，分別作AD、BC的垂直平分線l3、l4相交于點O，所以O(shè)A=OD，OB=OC。

由于∠1=∠D、∠2=∠C，所以EA=ED、FB=FC，故OE平分∠GEF，OF平分∠EFG，所以在△EFG中，點O必在∠G的角平分線上。

而∠A-∠D=∠B-∠C，即∠3=∠4，所以AG=BG，所以直線GO垂直平分AB，即OA=OB，所以O(shè)A=OB=OC=OD。故以O(shè)點為圓心、OA長為半徑的圓經(jīng)過B、C、D三點，即四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓。

筆者驚嘆道：“原來這道題還可以這樣證明啊！〞顯然，直接證明的方法仍舊基于初中幾何知識。筆者在享受這道題直接證明方法的同時，也產(chǎn)生了一種深深的自責，不禁想起裴光亞先生在《青年教師的專業(yè)成長》中的一段話：“不管你具備什么樣的學歷，畢業(yè)于哪個院校，假如沒有進取的愿望，沒有人生意義的追求，沒有理想，沒有對教師使命的崇高理解，你的水平都將向同一個層次聚焦，這個層次便是中學。沿著阻力最小的方向，這是一個極限的過程。若以中學水平為極限，當你以高學歷為起點時，這將是一個單調(diào)下降的過程。〞這段文字好像就是筆者的自畫像。

筆者反思自己的教學生涯，無非就是備課、上課、批改作業(yè)、輔導(dǎo)學生應(yīng)試，有時還會為自己擅長解中考題，教的學生考高分而沾沾自喜。殊不知，長期下去，自己的專業(yè)水平漸漸下降，學科素養(yǎng)明顯減弱。通過一段時間的閱讀、實踐與反思，筆者體會到，要想成為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學教師，既要腳踏實地，也要仰望星空;既要有大知識觀、數(shù)學哲學觀，還要有素質(zhì)教育觀。

數(shù)學教師要有大知識觀。例如，在平面幾何中，有大量教材中沒有出現(xiàn)的經(jīng)典定理或結(jié)論，如托勒密定理、梅涅勞斯定理、笛沙格定理、塞瓦定理等，這些定理在教學中不要求學生了解，但作為初中數(shù)學教師，必需了然于心。只有這樣，教學時才能胸有成竹。

數(shù)學教師要有數(shù)學哲學觀。我們都有這樣的體會：學生學習了高中、大學內(nèi)容后，總感覺初中教師是不是講錯了？以“平行線的定義〞為例，初中教材上是這樣描述的：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。這是基于歐氏幾何的結(jié)論。事實上，非歐幾何認為：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點（交點）。這是由“改進〞的球面模型得出的基本公設(shè)。我們可以設(shè)想：教師假如有數(shù)學的高觀點，上課就不會對學生說出“過頭〞的話，學生也不會認為初中教師講錯了。數(shù)學教師不能只研究教材，研究學生，研究教法，還應(yīng)當多閱讀，與名家對話，與大師對話。如了解數(shù)學的起源在哪里，數(shù)學是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的，數(shù)學的對立與統(tǒng)一等。數(shù)學教師只有通過閱讀，才能感悟數(shù)學的哲學意蘊，使自己有數(shù)學哲學的高觀點。

數(shù)學教師要有素質(zhì)教育觀。教育不只在于傳授知識，還應(yīng)當熏陶學生的精神和情感。譬如，本文中的第一個案例，