數(shù)值分析作業(yè)思考題匯總

數(shù)值分析作業(yè)思考題匯總數(shù)值分析作業(yè)思考題匯總數(shù)值分析作業(yè)思考題匯總數(shù)值分析作業(yè)思考題匯總編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:數(shù)值分析思考題11、討論絕對(duì)誤差（限）、相對(duì)誤差（限）與有效數(shù)字之間的關(guān)系。2、相對(duì)誤差在什么情況下可以用下式代替？3、查閱何謂問題的“病態(tài)性”，并區(qū)分與“數(shù)值穩(wěn)定性”的不同點(diǎn)。4、取，計(jì)算，下列方法中哪種最好為什么，（2），（3），（4），（5）數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)綜述：線性代數(shù)方程組的解法是一切科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)與核心問題。求解方法大致可分為直接法和迭代法兩大類。直接法——指在沒有舍入誤差的情況下經(jīng)過有限次運(yùn)算可求得方程組的精確解的方法，因此也稱為精確法。當(dāng)系數(shù)矩陣是方的、稠密的、無任何特殊結(jié)構(gòu)的中小規(guī)模線性方程組時(shí)，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系數(shù)矩陣具有某種特殊形式，則為了盡可能地減少計(jì)算量與存儲(chǔ)量，需采用其他專門的方法來求解。Gauss消去等同于矩陣的三角分解，但它存在潛在的不穩(wěn)定性，故需要選主元素。對(duì)正定對(duì)稱矩陣，采用平方根方法無需選主元。方程組的性態(tài)與方程組的條件數(shù)有關(guān)，對(duì)于病態(tài)的方程組必須采用特殊的方法進(jìn)行求解。數(shù)值計(jì)算方法上機(jī)題目11、實(shí)驗(yàn)1.病態(tài)問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”和“壞”之別。所謂壞問題就是問題本身的解對(duì)數(shù)據(jù)變化的比較敏感，反之屬于好問題。希望讀者通過本實(shí)驗(yàn)對(duì)此有一個(gè)初步的體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題。病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)（如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、占用更多的存儲(chǔ)空間等）。問題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式（E1-1）顯然該多項(xiàng)式的全部根為l，2，…，20，共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的（也稱為簡單的）?，F(xiàn)考慮該多項(xiàng)式方程的一個(gè)擾動(dòng)(E1-2)

其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對(duì)（E1-1）中的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。我們希望比較（E1-1）和（E1-2）根的差別，從而分析方程（E1-1）的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便，我們先介紹兩個(gè)Matlab函數(shù)：“roots”和“poly”，輸入函數(shù)u＝roots（a）

其中若變量存儲(chǔ)維的向量，則該函數(shù)的輸出為一個(gè)維的向量。設(shè)a的元素依次為，則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程的全部根，而函數(shù)b=poly(v)的輸出b是一個(gè)n＋1維變量，它是以n維變量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)。可見“roots”和“Poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù).ve=zeros(1,21);ve(2)=ess;roots(poly(1:20))+ve)上述簡單的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的。實(shí)驗(yàn)要求：（1）選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)很小，我們自然感覺（E1-1）和(E1-2)的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計(jì)算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)表明有些解關(guān)于如此的擾動(dòng)敏感性如何（2）將方程（E1-2）中的擾動(dòng)項(xiàng)改成或其他形式，實(shí)驗(yàn)中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？

（3）請(qǐng)從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源。注意我們可以將方程(E1-2）寫成展開的形式，同時(shí)將方程的解看成是系數(shù)的函數(shù)，考察方程的某個(gè)解關(guān)于的擾動(dòng)是否敏感，與研究它關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的大小有何關(guān)系為什么你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關(guān)于的變化更敏感？

2、實(shí)驗(yàn)2。多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象，即插值的龍格（Runge）現(xiàn)象問題提出：考慮在一個(gè)固定的區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)。顯然，拉格朗日插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高、自然關(guān)心插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí)，是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格給出的一個(gè)例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間上函數(shù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮區(qū)間的一個(gè)等距劃分，分點(diǎn)為則拉格朗日插值多項(xiàng)式為其中的，是n次拉格朗日插值基函數(shù)。實(shí)驗(yàn)要求：（l）選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)目，畫出原函數(shù)及插值多項(xiàng)式函數(shù)在上的圖像，比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（2）選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)看其結(jié)果如何。（3）區(qū)間上切比雪夫點(diǎn)的定義為以為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述各函數(shù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式，比較其結(jié)果。3、實(shí)驗(yàn)3。樣條插值的收斂性問題提出：一般的多項(xiàng)式插值不能保證收斂性，即插值的節(jié)點(diǎn)多，效果不一定就好。對(duì)樣條函數(shù)插值又如何呢？理論上證明樣條插值的收斂性是比較困難的，也超出了本課程的內(nèi)容。通過本實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證這一理論結(jié)果。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：請(qǐng)按一定的規(guī)則分別選擇等距或者非等距的插值節(jié)點(diǎn)，并不斷增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。考慮實(shí)驗(yàn)2.中的函數(shù)或選擇其它你有興趣的函數(shù)，可以用Matab的函數(shù)“spline”作此函數(shù)的三次樣條插值。在較新版本的Matlab中，還提供有spline工具箱，你可以找到極豐富的樣條工具，包括B-樣條。實(shí)驗(yàn)要求：（1）隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，比較被逼近函數(shù)和樣條插值函數(shù)誤差變化情況。分析所得結(jié)果并與拉格朗目多項(xiàng)式插值比較。（2）樣條插值的思想最早產(chǎn)生于工業(yè)部門。作為工業(yè)應(yīng)用的例子，考慮如下問題：某汽車制造商用三次樣條插值設(shè)計(jì)車門的曲線，其中一段的數(shù)據(jù)如下：012345678910（3）計(jì)算此實(shí)驗(yàn)的B-樣條插值（選做）。數(shù)值計(jì)算方法（二）1、利用Newton方法和Muller(拋物線)方法計(jì)算下列方程在區(qū)間上的實(shí)根，要求精度為，并比較迭代次數(shù)。2、用Gauss列主元消去法求解下列方程組3、用改進(jìn)的平方根（分解）法求解下列方程組實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)名稱：矩陣的LU分解.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河貌贿x主元的LU分解和列主元LU分解求解線性方程組Ax=b,并比較這兩種方法.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求（1）用所熟悉的計(jì)算機(jī)語言將不選主元和列主元LU分解編成通用的子程序，然后用編寫的程序求解下面的84階方程組將計(jì)算結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較，并就此談?wù)勀銓?duì)Gauss消去法的看法。（2）寫出追趕法求解三對(duì)角方程組的過程，并編寫程序求該實(shí)驗(yàn)中的方程組實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)名稱：實(shí)對(duì)稱正定矩陣的的Cholesky分解.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河闷椒礁ê透倪M(jìn)的平方根方法求解線性方程組Ax=b.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求用所熟悉的計(jì)算機(jī)語言將Cholesky分解和改進(jìn)的Cholesky分解編成通用的子程序，然后用編寫的程序求解對(duì)稱正定方程組Ax=b，其中b隨機(jī)的選取，系數(shù)矩陣為100階矩陣系數(shù)矩陣為40階Hilbert矩陣，即系數(shù)矩陣A的第i行第j列元素為，向量b的第i個(gè)分量為用實(shí)驗(yàn)一的程序求解這兩個(gè)方程組，并比較所有的計(jì)算結(jié)果，然后評(píng)價(jià)各個(gè)方法的優(yōu)劣。實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)名稱：直接法的時(shí)間復(fù)雜性試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模悍謩e用三種不同方法求解線性方程組Ax=b，不同工作量得出不同時(shí)間。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求：生成方程組中矩陣和右端項(xiàng)，分別用，和三角分解法計(jì)算，并分別記錄所花費(fèi)的CPU時(shí)間，進(jìn)行分析比較。實(shí)驗(yàn)要求：（1）取，隨機(jī)生成的一條主對(duì)角線元素和二條次對(duì)角線元素，使為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角陣和；其中三條對(duì)角線元素分別用三個(gè)一維數(shù)組存儲(chǔ)；（2）用Matlab語言自編M文件分別用，和追趕法計(jì)算這三對(duì)角方程組；并分別記錄所花費(fèi)的CPU時(shí)間；(3)分析結(jié)果，得出你的結(jié)論。數(shù)值分析思考題41、Gauss消去法和LU三角分解法解線性方程組的工作量相同嗎工作量為多少平方根方法的工作量為多少2、求解一個(gè)線性方程的LU分解法什么條件下可以保障成功選主元的目的是什么分別用列主元和全主元Gauss消去法求解下列方程組：3、用平方根方法（Cholesky分解法）求解下列方程組，并用緊湊格式存儲(chǔ)。4、已知線性方程組 （1）求系數(shù)矩陣的逆和條件數(shù)；（2）若方程組右端有微小擾動(dòng)，不用求解方程組，試?yán)媒馀c系數(shù)擾動(dòng)之間的關(guān)系式來估計(jì)解的相對(duì)變化率。數(shù)值分析思考題51、插值與擬合的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分別是什么？

2、寫出n次多項(xiàng)式擬合的一般形式，奇函數(shù)和偶函數(shù)的多項(xiàng)式擬合的一般形式。3、詳述你所知道的矩陣分解，它們的意義如何？4、超定（矛盾）線性方程組的最小二乘解有哪些情況？說明它與廣義逆的關(guān)系。5、給出各種正交化方法的優(yōu)劣比較。6、用Householder變換求解下列線性方程組的極小最小二乘解 實(shí)驗(yàn)一1．根據(jù)Matlab語言特點(diǎn)，描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2．編寫Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。3．給定為五對(duì)角矩陣(1)選取不同的初始向量及右端面項(xiàng)向量b，給定迭代誤差要求，分別用編寫的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，觀察得到的序列是否收斂？若收斂，通過迭代次數(shù)分析計(jì)算結(jié)果并得出你的結(jié)論。

(2)用編寫的SOR迭代法程序，對(duì)于(1)所選取的初始向量及右端面項(xiàng)向量b進(jìn)行求解，松馳系數(shù)ω取1<ω<2的不同值，在時(shí)停止迭代，通過迭代次數(shù)分析計(jì)算結(jié)果并得出你的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)二題目：多項(xiàng)式最小二乘法摘要：對(duì)于具體實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常不是先給出函數(shù)的解析式，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而是通過實(shí)驗(yàn)的觀察和測(cè)量給出離散的一些點(diǎn)，再來求出具體的函數(shù)解析式。又因?yàn)闇y(cè)量誤差的存在，實(shí)際真實(shí)的解析式曲線并不一定通過測(cè)量給出的所有點(diǎn)。最小二乘法是求解這一問題的很好的方法，本實(shí)驗(yàn)運(yùn)用這一方法實(shí)現(xiàn)對(duì)給定數(shù)據(jù)的擬合。數(shù)學(xué)原理：對(duì)于給定的測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,fi)(i=1,2,…，n)，設(shè)函數(shù)分布為特別的，取為多項(xiàng)式(j=0,1,…，m)則根據(jù)最小二乘法原理，可以構(gòu)造泛函令(k=0,1,…，m)則可以得到法方程求該解方程組，則可以得到解，因此可得到數(shù)據(jù)的最小二乘解程序設(shè)計(jì)：編寫求解多項(xiàng)式擬合的Matlab函數(shù)子程序?qū)嶒?yàn)要求：用最小二乘法處理下面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).xi3456789fi并作出的近似分布圖。分別采用一次，二次、五次和偶數(shù)次多項(xiàng)式來擬合數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的擬合多項(xiàng)式，并分別作出它們的曲線圖。實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)名稱：非線性方程組數(shù)值求解的Newton類方法試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河肗ewton類方法求解線性方程組F(x)=0，理解其解的復(fù)雜性、初始點(diǎn)選擇策略、減少算法工作量的方法等。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求：分別用Newton法用Broyden秩1校正法求解下面非線性方程組