2022-2023學(xué)年福建省泉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年福建省泉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則A.38

B.20

C.10

D.9參考答案：C2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則（

）（A）38

（B）20

（C）10

（D）9參考答案：C3.若是偶函數(shù)，則p是q的A．充要條件

B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D． 既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知為的三個(gè)內(nèi)角的對邊，向量．若，且，則角的大小分別為（

）A． B．

C．

D．參考答案：【解析】本小題主要考查解三角形問題。，，.選C.本題在求角B時(shí),也可用驗(yàn)證法.答案：C5.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：分鐘）如圖所示：若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B6.已知一個(gè)三棱錐的主視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是

(

)A.命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B.若命題P：，則：C.若為真命題，則，均為真命題D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C略8.已知表示直線,表示平面.若,則的一個(gè)充分條件是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.某校共有500名高二學(xué)生，在一次考試中全校高二學(xué)生的語文成績服從正態(tài)分布，若，則該校高二學(xué)生語文成績在120分以上的人數(shù)大約為A．70

B．80

C．90

D．100參考答案：D10.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為________.參考答案：10【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】根據(jù)題意畫出可行域，如圖所示：由圖可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值10.故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.12.若P，Q為y=1﹣x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，則過P，Q點(diǎn)的切線與x軸圍成的三角形的面積的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】IE：直線的截距式方程．【分析】由P，Q為y=1﹣x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，設(shè)P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），曲線y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）處的切線為l1：y=﹣2ax+a2+1，曲線y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）處的切線為l2：y=﹣2bx+b2+1，所求圖形為△EFG，其面積S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），由此能求出所求面積最小值．【解答】解：∵P，Q為y=1﹣x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn)，∴設(shè)P（a，1﹣a2），Q（b，1﹣b2），（a＞0＞b），又曲線y=1﹣x2在點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y′=﹣2x，∴曲線y=1﹣x2在P（a，1﹣a2）處的切線為l1：y=﹣2a（x﹣a）+1﹣a2，即y=﹣2ax+a2+1，曲線y=1﹣x2在Q（b，1﹣b2）處的切線為l2：y=﹣2b（x﹣b）+1﹣b2，即y=﹣2bx+b2+1，直線l1與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E（，0），直線l2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F（，0），直線l1與l2的交點(diǎn)為點(diǎn)G（，1﹣ab），∴所求圖形為△EFG，其面積S△EFG=（﹣）?，化簡得：S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），令f（a，b）=S△EFG=（a﹣b）（2﹣ab﹣），假設(shè)b=b0＜0時(shí)，f（a，b）才能取得最小值，則令f（a）=（a﹣b0）（2﹣ab0﹣），則f′（a）=﹣2+2ab0﹣+，令f′（a0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0，b=b0時(shí)，f（a，b）取得最小值f（a，b）min=f（a0，b0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），即a=a0＞0時(shí)，f（a，b）才能取得最小值，則令f（b）=（a0﹣b）（2﹣a0b﹣），則f′（b）=﹣2+2a0b﹣a02+，令f′（b0）=0，得：﹣2+2a0b0﹣a02+，得f（a）min=f（a0）=（a0﹣b0）（2﹣a0b0﹣），∴﹣2+2a0b0﹣b02+，﹣2+2a0b0﹣a02+=0，（a0＞0＞b0），解得a0=，b0=﹣，f（a，b）min=f（a0，b0）=，∴所求面積最小值為（S△EFG）min=．13.函數(shù)且的最小值等于則正數(shù)的值為_____________.參考答案：1略14.已知盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片，從中隨機(jī)地抽取一張，記下數(shù)字后再放回，再隨機(jī)地抽取一張，記下數(shù)字，則兩次抽得的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的概率為．參考答案：．【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9種等可能的結(jié)果，兩次記下的數(shù)字之和為2的有3種，所以概率是．故答案為．15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△ABC的面積為，則A=____▲____，b+c=___▲_____．參考答案：由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得

16.如圖，在等腰直角中，OA=OB=1，C為AB上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，過C作AB的垂線，P為垂線上任一點(diǎn)，則等于

.參考答案：-17.已知函數(shù)若對于任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知拋物線，過點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）證明：動(dòng)點(diǎn)在定直線上；（2）作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值.

參考答案：（1）解：根據(jù)題意可設(shè)AB方程為y=kx+2,代入，得，

即，設(shè)A，B，則有：=-8，（2分）

直線AO的方程為；BD的方程為，解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4分）

，注意到=-8及，則有y===-2，（5分）

因此D點(diǎn)在定直線y=-2上（）（6分）（2）依據(jù)題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b

代入得,即，由=0得

化簡整理得，（8分）故切線l的方程可寫為.分別令y=2、y=-2得的坐標(biāo)為，（11分）則即為定值8.（13分）試題分析：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，對學(xué)生的分析和轉(zhuǎn)化能力要求較高，解決該類問題應(yīng)抓住問題的實(shí)質(zhì)，充分合理的運(yùn)用已知條件是解決該題的關(guān)鍵。

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)處取得極值2。（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增？

（3）若為圖象上任意一點(diǎn)，直線與的圖象切于點(diǎn)P，求直線的斜率的取值范圍。參考答案：（1）因?yàn)?/p>

····················2分

而函數(shù)在處取得極值2，

所以，

即

解得

所以即為所求

····················4分

（2）由（1）知

令得：

則的增減性如下表：（-∞，-1）（-1，1）（1，+∞）負(fù)正負(fù)

可知，的單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]，

所以

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

·········9分

（3）由條件知，過的圖象上一點(diǎn)P的切線的斜率為：

令，則，

此時(shí)，的圖象性質(zhì)知：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

所以，直線的斜率的取值范圍是

····················12分

略20.（12分）函數(shù)，、是其圖象上任意不同的兩點(diǎn)．（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）求函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線、直線距離之積的最大值．參考答案：解析：設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，于是，==∵且，∴.故直線斜率的取值范圍是.

…5分（2）設(shè)點(diǎn),其中，則到直線的距離到直線的距離則==，當(dāng)時(shí)，，遞增當(dāng)時(shí)，，遞減；∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

…12分21.（14分）（2014?黃岡模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn+an=1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log3（1﹣Sn+1）（n∈N*），求適合方程的正整數(shù)n的值．參考答案：【考點(diǎn)】：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）由S，得（n≥2），兩式相減得an與an﹣1的遞推式，由遞推式易判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列，從而可求an；（2）由（1）易求得1﹣Sn+1，進(jìn)而可求bn，利用裂項(xiàng)相消法可求得，從而可把方程變?yōu)殛P(guān)于n的方程，解出即可；解：（1）由S，得（n≥2），兩式相減得，an+﹣=0（n≥2），即（n≥2），由S得=1，即=1，解得，所以數(shù)列{an}各項(xiàng)均不為0，且是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以an==；（2）由（1）知，，即1﹣Sn+1==，所以b==﹣（n+1），則=，所以=++…+=，所以方程即=，解得n=100，故適合方程的正整數(shù)n的值為100．【點(diǎn)評】：本題考查由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列及用列項(xiàng)相消法進(jìn)行數(shù)列求和