人教B版(2019)數(shù)學必修(第三冊)：7.3.1正弦函數(shù)的性質與圖像教案

/6正弦函數(shù)的性質與圖像教學目標核心素養(yǎng).能正確使用“五點法”、“幾何法”做出正弦函數(shù)的圖像。(難點).理解正弦函數(shù)的性質，會求正弦函數(shù)的最小正周期、奇偶性、單調區(qū)間及最值。(重點).通過正弦函數(shù)圖像和性質的學習，培養(yǎng)學生的直觀想象核心素養(yǎng)。.借助正弦函數(shù)圖像和性質的應用，培養(yǎng)學生的直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算核心素養(yǎng)。【教學過程】、問題導入以摩天輪轉輪中心為原點O,以水平線為橫軸，建立平面直角坐標系。設。到地面的高OT為1m,P點為轉輪邊緣上任意一點，轉輪半徑OP為rm。記以OP為終邊的角為xrad,點P離地面的高度為ym,那么y是x的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)有什么性質？、新知探究1.正弦函數(shù)的性質與圖像【例1】用五點法做出函數(shù)y=1—2sinx,xC1冗，nt的簡圖，并回答下列問題:(1)觀察函數(shù)圖像，寫出滿足下列條件的x的區(qū)間。①y>1;②y<1.(2)若直線y=a與y=1—2sinx有兩個交點，求a的取值范圍；(3)求函數(shù)y=1—2sinx的最大值，最小值及相應的自變量的值?！窘狻堪次鍌€關鍵點列表x—九jt-20Jt2冗sinx0-10101—2sinx131-11描點連線得:-2eina*u*ir］-2eina*u*ir］(1)由圖像可知圖像在y=l上方部分y>l，在y=1下方部分y<l,e當xe(一&0)時，y>1,當x€(0,施時，y<1.(2)如圖，當直線丫=2與丫=1—2sinx有兩個交點時，1<a<3或一1<a<1,Ca的取值范圍是｛a|1<a<3或—1<a<1｝。.. .一一., ... 兀 ... 兀(3)由圖像可知ymax=3,止匕時x=—2；ymin=—1,止匕時X=/。［教師小結］(1)正弦函數(shù)圖像的關鍵是要抓住五個關鍵點，使函數(shù)中x取0,，，&y,2冗，然后相應求出y值，做出圖像。(2)五點法作圖是畫三角函數(shù)的簡圖的常用方法，這五點主要指函數(shù)的零點及最大值、最小值點，連線要保持光滑，注意凸凹方向。(3)仔細觀察圖像，找出函數(shù)圖像v=1與y=a的交點及最大值，最小值點正確解答問題。2.正弦函數(shù)的單調性及應用【例2】比較下列各組數(shù)的大小。(1)(3)sin194和cos160°;(1)(3)sin7和cos5；4 3.3Tt 37tsinsin—和sincos萬。［思路探究］先化為同一單調區(qū)間上的同名函數(shù)，然后利用單調性來比較函數(shù)值的大小。解：(1)sin194°=sin(180°+14°)=—sin14：cos160=cos(180-20)=—cos20=-sin70:€0°<14°<70°<90°Csin140<sin700從而一sin140>sin70°,即sin1940>cos160°(2)Ccog=sin2+5,

°兀7兀53乂2<4<九<2+3<2幾,,九3 ,1,、一、,,，y=sinx在5,2冗上是減函數(shù),「 7九5 5€sin4>sin3+3=cos3,7、 5sin4>cos3。冗8,冗8,8￡0<cos|^sin7t不<￡0<cos|^sin7t不<1<2?！? -江，而y=sinx在0,2內遞增,3Tt3TtSsincosg<sinsin3f0［教師小結］(1)求出正弦函數(shù)的單調區(qū)間和最值時要聯(lián)系正弦函數(shù)的圖像，同時注意三角函數(shù)的周期性。(2)比較三角函數(shù)值的大小時，需要把角化為同一單調區(qū)間上的同名三角函數(shù)，然后用三角函數(shù)的單調性即可，如果角不在同一單調區(qū)間上，一般用誘導公式進行轉化，然后再比較。3.正弦函數(shù)的值域與最值問題［探究問題］一 兀， ?一 (1)函數(shù)y=sinx+4在xC［0,nt上取小值能否為一1?… … 萬冗5冗^ 【提示】不能。因為x€［0,兀］所以x+.e4,-,由正弦函數(shù)圖像可知函數(shù)的最小值為—容(2)函數(shù)y=A?sxn+b,x€R的最大值一定是A+b嗎？【提示】不是。因為A>0時最大值為A+b,若A<0時最大值應為—A+B.【例3】求下列函數(shù)的值域。冗y=3+2sin2x—3;y=1—2sin2x+sinx。［思路探究］(1)用|sinW0構建關于y的不等式，從而求得y的取值范圍。(2)用t代替sinx,然后寫出關于t的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質及|t|0即可求出y的取值范圍― _冗解：(1)C—10sin2x一弓3L 八 八.C 九€-2<2sin2x-7&工3冗€102si2x—e+30》3 兀一一 €1乎0》即函數(shù)y=3+2sin2x—3的值域為［1,5］。y=1—2sin2x+sinx,令sinx=t,則一1401c 1c9y=-2t2+t+1=-2t-42+8。由二次函數(shù)y=—2t2+t+1的圖像可知一2對微，9即函數(shù)y=1—2sin2x+sinx的值域為一2,g。［教師小結］(1)換元法，旨在三角問題代數(shù)化，要防止破壞等價性。(2)轉化成同一函數(shù)，要注意不要一見sinx就有一1Wsirx&l要根據x的范圍確定。三、課堂總結.“幾何法”和“五點法”畫正弦函數(shù)圖像的優(yōu)缺點“幾何法”就是利用單位圓中正弦線做出弦函數(shù)圖像的方法。該方法作圖較精確，但較為繁瑣?！拔妩c法”是畫三角函數(shù)圖像的基本方法，在要求精度不高的情況下常用此法。.正弦函數(shù)周期性的釋疑由正弦函數(shù)的圖像和周期函數(shù)的定義可得：正弦函數(shù)是周期函數(shù)， 2k冗(kCZ且kw。都是它的周期，最小正周期為2冗。.正弦函數(shù)的奇偶性(1)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，反映在圖像上，正弦曲線關于原點 O對稱。(2)正弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。.正弦函數(shù)單調性的說明(1)正弦函數(shù)在定義域R上不是單調函數(shù)，但存在單調區(qū)間。(2)求解(或判斷)正弦函數(shù)的單調區(qū)問(或單調性)是求值域(或最值)的關鍵一步。(3)確定含有正弦函數(shù)的較復雜的函數(shù)單調性時，要注意使用復合函數(shù)的判斷方法來判斷。.正弦函數(shù)最值的釋疑（1）明確正弦函數(shù)的有界性，即|sinx|<!（2）對有些正弦函數(shù)，其最值不一定是1或-1,要依賴函數(shù)定義域來決定。（3）形如y=Asin（cox+小）（A>0,⑴>0）的函數(shù)的最值通常利用“整體代換”，即令cox+-z,將函數(shù)轉化為y=A-siz的形式求最值。四、課堂檢測.以下對于正弦函數(shù)y=sinx的圖像描述不正確的是（ ）。A.在xC[2ktt,2k冗+2nt]kCZ上的圖像形狀相同，只是位置不同B.關于x軸對稱C.介于直線y=1和y=—1之間D.與y軸僅有一個交點【答案】B【解析】觀察y=sinx圖像可知A,C,D項正確，且關于原點中心對稱，故選B..函數(shù)y=-sinx,x€—2,32t的簡圖是（ ）?！敬鸢浮緿【解析】可以用特殊點來驗證。當x=0時，y=—sin0=0,排除A,C;當x：3^寸,y=—sin32a=1,排除B..若sinx=2m+1且xCR,則m的取值范圍