信號與系統(tǒng)8.6-8.7-無動畫

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)信號x(n)=zn是系統(tǒng)的特征函數(shù)，H(z)是系統(tǒng)的特征值或稱系統(tǒng)函數(shù)。H

(z)

h(n)z

nn系統(tǒng)函數(shù)H(z)是系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的z變換。另一方面，由z變換的卷積定理y(n)

h(n)

x(n)

Y

(z)

H

(z)

X

(z)于是X

(z)Y

(z)H

(z)

即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z變換比上激勵的z變換。由系統(tǒng)方程的z變換設(shè)系統(tǒng)方程N

M

ak

y(n

k)

br

x(n

r)k

0

r

0于是rMkrNk

0kr

0a

z

Y

(z)

X

(z)b

zX

(z)Y

(z)H

(z)

rN

kM

rb

z

ak

zk

0

r

0

即由一常系數(shù)線性差分方程表示的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)完全由方程的系數(shù)所確定，是一個z的有理分式。系統(tǒng)函數(shù)極點分布對應(yīng)的時間特性⑴極點位于正實軸上：|pk|<1，對應(yīng)的時間函數(shù)是單調(diào)衰減的；例如：Re{

z}j

Im{z}112z

1IZT

nz

1H

(z)

h(n)

( ) u(n)2|

pk|=1，對應(yīng)的時間函數(shù)是等幅的；例如：nh(n)01

23H

(z)

z

IZT

h(n)

u(n)z

1|pk|>1，對應(yīng)的時間函數(shù)是單調(diào)增加的；例如：nh(n)01

2

3IZT

h(n)

(1.2)n

u(n)z

1.2H

(z)

znh(n)01

23⑵極點位于負實軸上：|pk|<1，對應(yīng)的時間函數(shù)是震蕩衰減的；例如：Re{

z}j

Im{z}12z

1IZT

nz

1H

(z)

h(n)

( ) u(n)2|pk|=1，對應(yīng)的時間函數(shù)是等幅震蕩的；例如：1H

(z)

z

IZT

h(n)

(1)n

u(n)z

1.2H

(z)

znh(n)z

1|pk|>1，對應(yīng)的時間函數(shù)是增幅震蕩的；例如：

0

123nh(n)0123

IZT

h(n)

(1.2)n

u(n)h(n)n0123

k⑶

極點位于單位圓上：p

=e±jω，對應(yīng)的時間函數(shù)是等幅變化的；當ω=0，對應(yīng)的時間函數(shù)相當于直流信號；例如：zRe{

z}j

Im{z}11zIZT

nH

(z)

h(n)

(1)

u(n)z

1z2IZTnH

(z)

h(n)

cos(

)u(n)z2

1

2n0123nh(n)01

2h(n)3H

(z)

IZT

h(n)

u(n)z

1當ω=±π，對應(yīng)的時間函數(shù)等幅震蕩，且頻率是最高的；例如：當ω=±π/2，對應(yīng)的時間函數(shù)等幅震蕩，但頻率介于以上兩者之間；例如：nh(n)01234k

k⑷極點位于z平面的其它地方：p

=|p

|e±jω，對應(yīng)的時間函數(shù)是變幅震蕩的；當|pk|<1，對應(yīng)的時間函數(shù)減幅震蕩；例如：Re{

z}j

Im{z}112

41422

)z

2n(

)

cos(n)u(n)2

z

1z(z

H

(z)

4

IZT

h(n)

當|pk|>1，對應(yīng)的時間函數(shù)增幅震蕩；例如：4H

(z)

z2IZT

h(n)

(2)n

cos(n

)u(n)

2

2z

4z(z

2)nh(n)01

23nh(n)03

4

51

2

6離散時間系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性對于穩(wěn)定系統(tǒng)為滿足收斂條件，應(yīng)該有|z|=1；或者說穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域，應(yīng)該包含單位圓。即穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其極點不應(yīng)分布在單位圓上！因果系統(tǒng)的極點分布因果系統(tǒng)的z域描述Re{

z}j

Im{z}11由z變換的收斂域知道，對于以上因果信號的z變換，即系統(tǒng)函數(shù)，其收斂域應(yīng)滿足|z|>R1。因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理分式時，分子多項式的階次不應(yīng)高于分母多項式的階次?！?-6

序列的一、離散時間變換----DTFT變換的定義設(shè)離散時間序列x(n)的z變換X

(z)

x(n)z

nn單位圓被包含在它的收斂域之內(nèi)。于是zeX

(e

j

)

X

(z)

|定義為序列x(n)的離散時間j

x(n)e

jnn變換（DTFT）。記為X

(e

j

)

DTFT{x(n)}

x(n)e

jnn由離散時間序列x(n)的反z變換x(n)

1

X

(z)zn1dz2j

C由于單位圓在X(z)的收斂域之內(nèi)，以上圍線積分可沿單位圓上進行。于是n12j

z

1

X

(z)z

dz

x(n)

11)dejj

j(n

X

(e

)e2j

12j

X

(e

j

)e

j(n1)

jejd

1

X

(e

j

)e

jnd2

1記為x(n)

IDTFT{X

(e

j

)}

X

(e

j

)e

jnd2

1于是， 得到一對變換關(guān)系：X

(e

j

)

DTFT{x(n)}

x(n)e

jnn-------DTFT變換式x(n)

IDTFT{X

(e

j

)}

X

(e

j

)e

jnd2

1-------DTFT反變換式記為x(n)

DTFT

X

(e

j)由以上反變換式可見，DTFT是將序列x(n)分解為不同角頻率ω的復(fù)指數(shù)序列ejωn的組合，X(ejω)是不同分量的復(fù)振幅的相對大小，上，稱X(ejω)是序列x(n)的頻譜。變換的舉例二、離散時間1、單邊指數(shù)序列于是x(n)

anu(n)a

1nX

(e

j

)

x(n)e

jn

n0ane

jn1

ae

j

1

以上序列的z變換為11

az

1X

(z)

z

aRe{

z}j

Im{z}1a當|a|<1，單位圓被包含在收斂域中，所以11

ae

jz

e

jX

(e

j

)

X

(z)

n02

41

3

5nx(n)01 2

3

4

5x(n)a

0a

0

1

1

ae

janu(n)

DTFT

即2、雙邊指數(shù)序列x(n)

a

na

1于是X

(e

j

)

x(n)e

jnn

ane

jnn01

ane

jnn其中1

ane

jn

ane

jnn

n1jaej1

ae所以aej1

aejX

(e

j

)

1

1

a21

ae

j

1

2a

cos

a23、矩形窗序列x(n)

RN

(n)

u(n)

u(n

N)nx(n)

R4

(n)01 2

3

4

51X

(e

j

)

x(n)e

jnnN

1

e

jnn01

e

j1

e

jNX

(e

j

)

(e

jN

/

2

e

jN

/

2

)e

jN

/

2(e

j/

2

e

j/

2

)e

j/

22N

12sin(

)

2

e

jsin(

N

)2sin(

)sin(

N

)X

(e

j

)

2

X

(e

j)

e

j()

2

sin

2

2

sin

N

()

N

1

argX

(e

j

)2N

40()204

334nx(n)

R4

(n)01 2

3

4

51三、離散時間 變換的基本性質(zhì)1、周期性X

(e

j)

X

(e

j(2)

)即序列是時域離散的，其離散時間變換是以2π為周期的周期信號。注意，連續(xù)時間周期信號，其連續(xù)時間變換是離散的。例如：單邊指數(shù)序列11

ae

jX

(e

j

)

DTFT{anu(n)}

1

ae

j11

11

ae

j

(

2)

1

ae

je

j

22、線性設(shè)e

j

)iix

()n

DTFT

X則ii

iDTFTii

iC

x

(n)

C

X

(e

)j例如：雙邊指數(shù)序列x(n)

anu(n

1)

anu(n)a

1則X

(e

j)

DTFT{anu(n

1)}

DTFT{anu(n)}aej1

aej

1

1

a21

ae

j

1

2a

cos

a23、時移與頻移性設(shè)則有x(n)

DTFT

X

(e

j)x(n

m)

DTFT

X

(e

j)e

jmx(n)ej0n

DTFT

X

(e

j(0

)

)例如：設(shè)矩形窗序列RN(n)的寬度N為奇數(shù)，22sin(

)DTFTNR

(n)

e

j

N

1N

2

sin(

)nx(n)

R5

(n)01 2

3

4

51X

(e

j

)2N

50()205

4

4

5已知則RN(n)左移(N-1)/2后，是一個偶對稱的序列,nx(n

N

1)21

2

31

3

21根據(jù)時移性2sin(

)22sin(

N

)DTFTN)

R

(n

N

1sin(

)22sin(

N

)DTFTNR

(n

N

1

)2因為，此時序列是一偶對稱信號，與連續(xù)時間傅氏變換相同，其變換應(yīng)是X

(e

j

)2N

50()20

X

(e

j

)2N

50純實函數(shù)。變換的波形

。離散時間信號的 變換是以2πn2x(n

N

1)1

2

31

3

21為周期的連續(xù)函數(shù)，其幅度函數(shù)的波形是以π偶對稱的，相位函數(shù)是奇對稱的。例如：設(shè)則由頻移性(1)n

x(n)

e

jn

x(n)

DTFT

X

(e

j()

)x(n)

DTFT

X

(e

j)x(n)n20

1 3

4X

(e

j

)02

21x

(n)n1

20

3

4)1X

(ej02

24、共軛與反褶設(shè)則有x(n)

DTFT

X

(e

j)x*(n)

DTFT

X

*(e

j)x(n)

DTFT

X

(e

j)所以有

[*()X(ejX

e)]2[(()*

xn)x]xnnDTFT

12(R)e}{

1jIm{x(n)}

1

[x(n)

x*(n)]DTFT

1

[

X

(e

j

)

X

*(e

j

)]2

j

2

j即序列實部的離散時間 變換是序列離散時間變換的共軛對稱分量，虛部的離散時間 變換是序列離散時間葉變換的共軛

稱分量。5、奇、偶、虛、實性設(shè)x(n)

x

(n)

jx

(n)

DTFT

X

(e

j

)

X

()

jX

()r

i

R

I

X

(e

j)

e

j()當x(n)是實序列，即

x(n)

x*(n)則X

(e

j

)

X

*(e

j)即實序列的離散時間 變換，實部是偶對稱的，虛部是奇對稱的，模是偶對稱的，相位是奇對稱的。當x(n)是實偶序列，即

x(n)

x*(n)

x(n))(e)()j(()R

jX(()I

)

j

XR

jX

I

X

e)(e

j()X

e

j

X則X

(e

j)

X

*(e

j)

X

(e

j)XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()即XI

()

0當x(n)是實奇序列，即

x(n)

x*(n)

x(n)則X

(e

j)

X

*(e

j)

X

(e

j)XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()

XR

()

jXI

()XR

()

0即實偶序列的離散時間 變換，是實偶對稱的；實奇序列，即其離散時間 變換是純虛且奇對稱的。

XR

()

Re{X

(e

j

)}同樣可求，其中的奇分量X

(e

)]2121

jjDTFT

[

X

(e

)

x(n)]

ex

(n)

[x(n)

2121j)]

j

Im{X

(e

)}DTFT

jox

(n)

[x(n)

x(n)]

[

X

(e

)

X

(e

j當x(n)是實序列，即則其中的偶分量x(n)

x*(n)

j12j[

X

(e

)

X

(e21II

RR)

jX

()])

jX

()

X

()]

[

X

(設(shè)

x(n)

DTFT

X

(e

j)則有ddX

(e

j

)DTFTnx(n)

j6、頻域微分性(序列線性

）例如：已知1

ae

janu(n)

DTFT

1則有]

[d

1d

1

ae

jna

nu(n)

DTFT

j(1

ae

j

)2ae

j7、卷積定理設(shè)

x

(n)

DTFT

X

(e

j)1

1x

(n)

DTFT

X

(e

j)2

2則有x

(n)

x

(n)

DTFT

X

(e

j)X

(e

j)1

2

1

2211 21 2j

jX

(e

)

X

(e

)DTFTx

(n)x

(n)

這里的卷積表示式X1

(e

)

X

2

(e

)

X1

(e

)

X

2

(e

)dj

j

j

j

()

X

2

(e

)

X1

(e

)dj

j

()稱為周期卷積。參加卷積的兩信號均是以2π為周期的周期信號，卷積的積分是在2π區(qū)間上的積分，卷積后的結(jié)果，仍然是以2π為周期的周期信號。有關(guān)它的運算，將在《數(shù)字信號處理》。設(shè)

x(n)

DTFT

X

(e

j)則有n

2

j2X

(e

)

d2

x(n)

18、 瓦爾定理與在連續(xù)時間變換相同，這里瓦爾定理表示信號在時域的總能量，等于頻域中不同頻率分量的能量|X(ejω)|2/2π在一個周期（2π）上的積分。這里|X(ejω)|2稱為序列x(n)的能量密度譜函數(shù)。§8-7

離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一、離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在連續(xù)時間系統(tǒng)地分析中知道，所謂頻率響應(yīng)是表示當正弦信號作用于系統(tǒng)時，輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅度和相位，隨輸入信號頻率變化而變化的特性。costh(t)y(t)

cost

h(t)y(t)

h(t)

cost

H

(

j)

cos[t

()]H

(

j)

h(t)e

jtdt

H

(

j)

e

j()與連續(xù)時間系統(tǒng)中一樣，這里頻率響應(yīng)也是表示當正弦序列作用于系統(tǒng)時，輸出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅度和相位，隨輸入序列角頻率變化而變化的特性。h(n)cosne

jny(n)

cosn

h(n)h(n)

e

jny(n)

h(n)

e

jn設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為h(n)，復(fù)指數(shù)序列作用于系統(tǒng)的響應(yīng)為

h(m)e

j(n

m)m

h(m)e

jme

jnm

H

(e

j

)e

jn

H(ej)

e

j[n()]nH

(e

j

)

h(n)e

jn

H

(e

j)

e

j()同樣可以證明，當系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h(n)為實序列，正弦序列作用于系統(tǒng)的響應(yīng)為y(n)

h(n)

cosn

H

(e

j)

cos[n

()]這里，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它的模|H(ejω)|是系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，相位φ(ω)是系統(tǒng)的相頻響應(yīng)。由前式可見，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系jH

(e

j

)

H

(z)z

eze

j

h(n)znn

h(n)e

jnn二、傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)與連續(xù)時間系統(tǒng)的情況一樣，傳統(tǒng)濾波器又叫選擇性濾波器。根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性將其劃分為：低通、高通、帶通與帶阻濾波器等。0C0CH

(

j)0L

HH

(

j)0L

HH

(j)

H

(j)

H

(e

j

)0

C2H

(e

j

)0C2H

(e

j

)20

L

H

H

(e

j

)20

L

H

三、離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線N

(z)D(z)H

(z)

N前面所示濾波器的幅頻特性均是理想情況。與連續(xù)時間系樣，理想濾波器是不能實現(xiàn)的，且是非因果的。與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，離散時間情況下，當系統(tǒng)函數(shù)是有理分式時，濾波器的頻率響應(yīng)曲線，也可以由其零極點在z平面上的分布，通過幾何的方法粗略地估計出來。Mk

1

r

1

(z

pk

)(z

zr

)式中，zr與pk分別是系z

e

jH

(e

j

)

H

(z)N統(tǒng)函數(shù)的零點與極點。于是Mk

1

r

1

(e

zr

)k(e

p

)jjz

e

jH

(e

j

)

H

(z)Nk(e

p

)jMrk

1

r

1

(e

z

)j式中的每一個因式，分別表示由零點或極點指向單位園的矢量。每個矢量有模與相角，于是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為Re{

z}j

Im{z}1jN

krkjrB

eA

ek

1jH

(e

j

)

r

1

Nk

1kM

Mr

r

1

e

B

AM

Nj

(r

k

)r1

k

1

H

(e

j)

e

j()NM

Bk

Ark

1H

(e

j

)

r

1

M

Nk

1r

1()

r

k例如：已知系統(tǒng)函數(shù)，試粗略地畫出它們的零極圖與頻響曲線。2z

1(1)

H

(z)

2z

1z

z2z

1(2)

H

(z)

2z

12

z

1H

(z)

z(z

1)

(3)z22z

2解：⑴12(1)

H

(z)

z

z2z

1Re{

z}j

Im{z}11201z

2(2)

H

(z)

z2z

1Re{

z}j

Im{z}1120H

(e

j

)2

2

320

(