第五章參數(shù)的最小二乘法估計課件

第五章

參數(shù)的最小二乘法估計第五章

參數(shù)的最小二乘法估計1主要內(nèi)容1最小二乘法原理2線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法3非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法4組合測量主要內(nèi)容1最小二乘法原理2數(shù)學(xué)工具關(guān)于最小二乘法數(shù)據(jù)處理↓參數(shù)估計↙回歸分析↘數(shù)學(xué)工具關(guān)于最小二乘法數(shù)據(jù)處理↓參數(shù)估計↙回歸分析↘3算術(shù)平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則組合測量的問題擬合經(jīng)驗公式等

最小二乘法典型應(yīng)用算術(shù)平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則最小二乘法典型應(yīng)用4最小二乘法發(fā)展200多年的歷史；天文和大地測量；近代矩陣?yán)碚撆c電子計算機(jī)經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測量的應(yīng)用深入的內(nèi)容可參閱專門的書籍和文獻(xiàn)最小二乘法發(fā)展200多年的歷史；5第一節(jié)

最小二乘法原理

第一節(jié)

最小二乘法原理6從一組測量值中尋找最可信賴值∝從一組測量值中尋找最可信賴值∝7第五章參數(shù)的最小二乘法估計課件8測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足

最可信賴值；P為最大；式中負(fù)指數(shù)中因子達(dá)最小微分法得最可信賴值測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足最可信賴值9（1）最小絕對殘差和法：小結(jié)

從一組測量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，還可使用其它原理。例如最可信賴值是在殘差平方和或加權(quán)殘差平方和為最小的意義下求得的，稱之為最小二乘法原理。（3）最小廣義極差法：（2）最小最大殘差法：（1）最小絕對殘差和法：小結(jié)從一組測量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，10主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量主要內(nèi)容最小二乘法原理11第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法12先舉一個實際遇到的測量問題，為精密測定三個電容值:

采用的測量方案是，分別等權(quán)、獨立測得

,列出待解的數(shù)學(xué)模型。這是一個組合測量的問題。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法先舉一個實際遇到的測量問題，為精密測定三個電容值:13如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學(xué)模型

待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計值。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學(xué)14這是一個超定方程組，即方程個數(shù)多于待求量個數(shù)，不存在唯一的確定解，事實上，考慮到測量有誤差，記它們的測量誤差分別為，按最小二乘法原理

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法這是一個超定方程組，即方程個數(shù)多于待求量個數(shù)，不存在唯一的確15分別對求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，得如下的確定性方程組。(x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0(x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0(x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0

x1=0.325,x2=-0.425,x3=0.150

可求出唯一解

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法分別對求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等16以下，一般地討論線性參數(shù)測量方程組的最小二乘解及其精度估計。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法以下，一般地討論線性參數(shù)測量方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘17第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一、正規(guī)方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一、正規(guī)方程組18設(shè)線性測量方程組的一般形式為：

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法設(shè)線性測量方程組的一般形式為：第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法19即式中，有n個直接測得值，t個待求量。n>t,各等權(quán)，無系統(tǒng)誤差和粗大誤差。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即式中，有n個直接測得值，t個待求量。第二節(jié)線性參數(shù)的最小20第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法21上式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，經(jīng)推導(dǎo)得應(yīng)當(dāng)滿足上式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，應(yīng)當(dāng)滿足22式中，，分別為如下列向量第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法式中，，分別為如下列向量第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘23第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法24

和

分別為如下兩列向量的內(nèi)積：==正規(guī)方程組有如下特點：第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法和分別為如下兩列向量的內(nèi)積：=25第五章參數(shù)的最小二乘法估計課件26測量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法測量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法27（1）主對角線系數(shù)是測量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。（2）其它系數(shù)關(guān)于主對角線對稱（3）方程個數(shù)等于待求量個數(shù)，有唯一解。由此可見，線性測量方程組的最小二乘解歸結(jié)為對線性正規(guī)方程組的求解。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法（1）主對角線系數(shù)是測量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。第28二、正規(guī)方程組的矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法二、正規(guī)方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法29為了便于進(jìn)一步討論問題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。記列向量和n×t階矩陣

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法為了便于進(jìn)一步討論問題，下面借助矩陣和n×t階矩陣第二節(jié)30第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法31則測量方程組可記為：測量殘差方程組記為

V=L-AX最小二乘原理記為

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法則測量方程組可記為：測量殘差方程組記為V=L-AX最小二乘32利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法33令，得正規(guī)方程組的矩陣形式。展開系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。當(dāng)滿秩的情形，可求出

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令，得正規(guī)方程組的矩陣形式。展開系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形34小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法35線性測量方程組的一般形式為

測量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組含有隨機(jī)誤差矩陣36最小二乘法原理式

求導(dǎo)正規(guī)方程組

正規(guī)方程組解

不等權(quán)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法最小二乘法原理式求導(dǎo)正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權(quán)第二節(jié)37三、精度估計第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法三、精度估計第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法38對測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可信賴值，還要確定其可信賴程度，即估計其精度。具體內(nèi)容包含有兩方面：一是估計直接測量結(jié)果的精度；二是估計待求量的精度。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法對測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可391．直接測量結(jié)果的精度估計對t個未知量的線性測量方程組進(jìn)行n次獨立的等精度測量，得其殘余誤差為；標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果服從正態(tài)分布，那么服從分布，其自由度n-t，有變量的數(shù)學(xué)期望。

即有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1．直接測量結(jié)果的精度估計對t個未知量的線性測量方程組40令t=1，由上式又導(dǎo)出了Bessel公式。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令t=1，由上式又導(dǎo)出了Bessel公式。第二節(jié)線性參數(shù)412．待求量的精度估計按照誤差傳播的觀點，估計量的精度取決于直接測量數(shù)據(jù)的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測量方程組。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法2．待求量的精度估計按照誤差傳播的觀點，估計量42可求待求量的協(xié)方差矩陣

各元素可由矩陣求逆得，也可由下列各方程組分別解得第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法可求待求量的協(xié)方差矩陣各元素可由矩陣求逆得，也可由43d11第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d11第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法44d21第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d21第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法45dt1第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法dt1第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法46是直接測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按估計待求量的方差矩陣中對角元素就是誤差傳播系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法是直接測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按估計待求量的方差矩陣中對角元47待求量與的相關(guān)系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法待求量與的相關(guān)系數(shù)第二節(jié)線性參48小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法491、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計（加權(quán)）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計

直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)差對角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關(guān)系數(shù)

元素第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計（加權(quán)）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差50例2為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【解】列出測量殘差方程組

代數(shù)求解過程第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法例2為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進(jìn)行了51代數(shù)法求解例.doc代數(shù)法求解例.doc52矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法53第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法54即第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法55代入殘差方程組，計算

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法代入殘差方程組，計算第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法56主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量主要內(nèi)容最小二乘法原理57第三節(jié)

非線性參數(shù)的最小二乘法第三節(jié)

非線性參數(shù)的最小二乘法58第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值

泰勒展開按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組非線性函數(shù)取59例3

在例2的基礎(chǔ)上，再增加一次測量串聯(lián)電容，測得。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差?！窘狻苛谐龇蔷€性測量方程組

第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法例3在例2的基礎(chǔ)上，再增加一次測量串聯(lián)電容，測60

對前４個線性測量方程組，按例2求出解，作為初次近似解

在附近，取泰勒展開的一階近似

對前４個線性測量方程組，按例2求出解，作為初次近似解在61寫出線性化殘差方程組

整理得正規(guī)方程組

解出

迭代寫出線性化殘差方程組整理得正規(guī)方程組解出迭代626次迭代結(jié)果迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.267第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法6次迭代結(jié)果迭代次數(shù)00000.325-0.4250.15063主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量主要內(nèi)容最小二乘法原理64第四節(jié)

組合測量應(yīng)用舉例第四節(jié)

組合測量應(yīng)用舉例65例4

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。

第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例例4要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已66計算步驟【解】列出測量殘差方程組

第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例計算步驟【解】列出測量殘差方程組第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例67解出即第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例解出即第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例68代入殘差方程組可得

估計的標(biāo)準(zhǔn)差

第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例代入殘差方程組可得估計的標(biāo)準(zhǔn)差第四節(jié)組合測量應(yīng)用舉例69第五章

參數(shù)的最小二乘法估計第五章

參數(shù)的最小二乘法估計70主要內(nèi)容1最小二乘法原理2線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法3非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法4組合測量主要內(nèi)容1最小二乘法原理71數(shù)學(xué)工具關(guān)于最小二乘法數(shù)據(jù)處理↓參數(shù)估計↙回歸分析↘數(shù)學(xué)工具關(guān)于最小二乘法數(shù)據(jù)處理↓參數(shù)估計↙回歸分析↘72算術(shù)平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則組合測量的問題擬合經(jīng)驗公式等

最小二乘法典型應(yīng)用算術(shù)平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則最小二乘法典型應(yīng)用73最小二乘法發(fā)展200多年的歷史；天文和大地測量；近代矩陣?yán)碚撆c電子計算機(jī)經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測量的應(yīng)用深入的內(nèi)容可參閱專門的書籍和文獻(xiàn)最小二乘法發(fā)展200多年的歷史；74第一節(jié)

最小二乘法原理

第一節(jié)

最小二乘法原理75從一組測量值中尋找最可信賴值∝從一組測量值中尋找最可信賴值∝76第五章參數(shù)的最小二乘法估計課件77測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足

最可信賴值；P為最大；式中負(fù)指數(shù)中因子達(dá)最小微分法得最可信賴值測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足最可信賴值78（1）最小絕對殘差和法：小結(jié)

從一組測量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，還可使用其它原理。例如最可信賴值是在殘差平方和或加權(quán)殘差平方和為最小的意義下求得的，稱之為最小二乘法原理。（3）最小廣義極差法：（2）最小最大殘差法：（1）最小絕對殘差和法：小結(jié)從一組測量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，79主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量主要內(nèi)容最小二乘法原理80第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法81先舉一個實際遇到的測量問題，為精密測定三個電容值:

采用的測量方案是，分別等權(quán)、獨立測得

,列出待解的數(shù)學(xué)模型。這是一個組合測量的問題。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法先舉一個實際遇到的測量問題，為精密測定三個電容值:82如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學(xué)模型

待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計值。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學(xué)83這是一個超定方程組，即方程個數(shù)多于待求量個數(shù)，不存在唯一的確定解，事實上，考慮到測量有誤差，記它們的測量誤差分別為，按最小二乘法原理

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法這是一個超定方程組，即方程個數(shù)多于待求量個數(shù)，不存在唯一的確84分別對求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，得如下的確定性方程組。(x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0(x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0(x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0

x1=0.325,x2=-0.425,x3=0.150

可求出唯一解

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法分別對求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等85以下，一般地討論線性參數(shù)測量方程組的最小二乘解及其精度估計。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法以下，一般地討論線性參數(shù)測量方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘86第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一、正規(guī)方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一、正規(guī)方程組87設(shè)線性測量方程組的一般形式為：

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法設(shè)線性測量方程組的一般形式為：第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法88即式中，有n個直接測得值，t個待求量。n>t,各等權(quán)，無系統(tǒng)誤差和粗大誤差。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即式中，有n個直接測得值，t個待求量。第二節(jié)線性參數(shù)的最小89第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法90上式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，經(jīng)推導(dǎo)得應(yīng)當(dāng)滿足上式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，應(yīng)當(dāng)滿足91式中，，分別為如下列向量第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法式中，，分別為如下列向量第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘92第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法93

和

分別為如下兩列向量的內(nèi)積：==正規(guī)方程組有如下特點：第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法和分別為如下兩列向量的內(nèi)積：=94第五章參數(shù)的最小二乘法估計課件95測量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法測量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法96（1）主對角線系數(shù)是測量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。（2）其它系數(shù)關(guān)于主對角線對稱（3）方程個數(shù)等于待求量個數(shù)，有唯一解。由此可見，線性測量方程組的最小二乘解歸結(jié)為對線性正規(guī)方程組的求解。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法（1）主對角線系數(shù)是測量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。第97二、正規(guī)方程組的矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法二、正規(guī)方程組第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法98為了便于進(jìn)一步討論問題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。記列向量和n×t階矩陣

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法為了便于進(jìn)一步討論問題，下面借助矩陣和n×t階矩陣第二節(jié)99第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法100則測量方程組可記為：測量殘差方程組記為

V=L-AX最小二乘原理記為

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法則測量方程組可記為：測量殘差方程組記為V=L-AX最小二乘101利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法102令，得正規(guī)方程組的矩陣形式。展開系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。當(dāng)滿秩的情形，可求出

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令，得正規(guī)方程組的矩陣形式。展開系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形103小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法104線性測量方程組的一般形式為

測量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組含有隨機(jī)誤差矩陣105最小二乘法原理式

求導(dǎo)正規(guī)方程組

正規(guī)方程組解

不等權(quán)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法最小二乘法原理式求導(dǎo)正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權(quán)第二節(jié)106三、精度估計第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法三、精度估計第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法107對測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可信賴值，還要確定其可信賴程度，即估計其精度。具體內(nèi)容包含有兩方面：一是估計直接測量結(jié)果的精度；二是估計待求量的精度。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法對測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可1081．直接測量結(jié)果的精度估計對t個未知量的線性測量方程組進(jìn)行n次獨立的等精度測量，得其殘余誤差為；標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果服從正態(tài)分布，那么服從分布，其自由度n-t，有變量的數(shù)學(xué)期望。

即有第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1．直接測量結(jié)果的精度估計對t個未知量的線性測量方程組109令t=1，由上式又導(dǎo)出了Bessel公式。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令t=1，由上式又導(dǎo)出了Bessel公式。第二節(jié)線性參數(shù)1102．待求量的精度估計按照誤差傳播的觀點，估計量的精度取決于直接測量數(shù)據(jù)的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測量方程組。

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法2．待求量的精度估計按照誤差傳播的觀點，估計量111可求待求量的協(xié)方差矩陣

各元素可由矩陣求逆得，也可由下列各方程組分別解得第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法可求待求量的協(xié)方差矩陣各元素可由矩陣求逆得，也可由112d11第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d11第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法113d21第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d21第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法114dt1第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法dt1第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法115是直接測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按估計待求量的方差矩陣中對角元素就是誤差傳播系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法是直接測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按估計待求量的方差矩陣中對角元116待求量與的相關(guān)系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法待求量與的相關(guān)系數(shù)第二節(jié)線性參117小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1181、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計（加權(quán)）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計

直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)差對角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關(guān)系數(shù)

元素第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計（加權(quán)）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差119例2為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【解】列出測量殘差方程組

代數(shù)求解過程第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法例2為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進(jìn)行了120代數(shù)法求解例.doc代數(shù)法求解例.doc121矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法122第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法123即第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法124代入殘差方程組，計算

第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法代入殘差方程組，計算第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法125主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測量主要內(nèi)容最小二乘法原理126第三節(jié)

非線性參數(shù)的最小二乘法第三節(jié)

非線性參數(shù)的最小二