剩余定理問題

剩余定理問題剩余定理問題剩余定理問題xxx公司剩余定理問題文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度愛上數(shù)學(xué)剩余定理問題——基礎(chǔ)學(xué)習(xí)一、解答題1、剩余定理基礎(chǔ)知識(shí)【答案】2、余數(shù)特性的基本應(yīng)用例1：5122除以一個(gè)兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個(gè)兩位數(shù)【答案】79【解題關(guān)鍵點(diǎn)】由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)。5122-66=5056，5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到5056=64×79。由性質(zhì)1知，除數(shù)應(yīng)大于66，再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67～99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79，所以這個(gè)兩位數(shù)是79。【結(jié)束】4、多個(gè)余數(shù)的問題例1（余同）：五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操，如果9人一排，多出一人；如果10人排一行，同樣多出一個(gè)人。這兩個(gè)班最少共有多少人（ ）A．51 B．71 C．91 D．101【答案】C【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題為剩余定理問題中余同的情況，即人數(shù)減去一人的話就是9和10的公倍數(shù)，9和10的最小公倍數(shù)是90，因此兩個(gè)班最少共有90+1=91人。余同取余：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)相同，此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，加上這個(gè)相同的余數(shù)，稱為：“余同取余”。例：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因?yàn)橛鄶?shù)都是1，所以取+1，表示為60n+1。【結(jié)束】5、多個(gè)余數(shù)的問題例2（和同）：袋子里有一百多個(gè)小球，五個(gè)五個(gè)取出來剩余4個(gè)，六個(gè)六個(gè)取出來剩余3個(gè)，八個(gè)八個(gè)取出來剩余一個(gè)，問袋子里面有多少個(gè)球（ ）A．109 B．119 C．129 D．139【答案】C【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題為剩余定理問題中典型的和同的情形，份容易得出9是滿足以上兩個(gè)條件的最小自然數(shù)，由于袋子里面有一百多個(gè)球，因此只需要加上5、6和8的最小公倍數(shù)120即可，即袋子里面有9+120=129個(gè)小球。和同加和：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)，與除數(shù)的和相同，此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，加上這個(gè)相同的和數(shù)，稱為：“和同加和”。例：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因?yàn)?+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7?！窘Y(jié)束】6、多個(gè)余數(shù)的問題例3（差同）：:把幾百個(gè)蘋果平均分成若干份，每份9個(gè)余8個(gè)，每份8個(gè)余7個(gè)，每份7個(gè)余6個(gè)。這堆蘋果共有多少個(gè)（ ）A．111 B．143 C．251 D．503【答案】D【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題為剩余定理問題中差同的情況，即蘋果數(shù)加上一個(gè)，就是7、8和9的公倍數(shù)，而7、8和9的最小公倍數(shù)數(shù)504，正好在幾百的范圍內(nèi)，因此這堆蘋果有504-1=503個(gè)?！窘Y(jié)束】7、多個(gè)余數(shù)的問題例4：一個(gè)自然數(shù)被6除余4，被8除余6被10除余8，那么這個(gè)數(shù)最小為多少（ ）A．58 B．66 C．118 D．126【答案】C【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題為剩余定理問題中典型的差同的情況，這個(gè)自然數(shù)加上2后，就能夠被6、8和10整除，而6、8和10的最小公倍數(shù)是120，因此，這個(gè)數(shù)最小為120-2=118.【例】一個(gè)數(shù)被4除余1，被5除余2，被6除余3，這個(gè)數(shù)最小是幾（ ）A．10 B．33 C．37 D．57【答案】D【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題為剩余定理問題中典型的差同的情況，這個(gè)數(shù)加上3后，為4、5、6的倍數(shù)，而4、5、6的最小公倍數(shù)為60，因此這個(gè)數(shù)最小為60-3=57。10、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用例1：兩個(gè)整數(shù)相除，商是5，余數(shù)是11，被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是99，求被除數(shù)是多少（

）

【答案】選D?！窘忸}關(guān)鍵點(diǎn)】余數(shù)是11，因此，根據(jù)余數(shù)的范圍（0≤余數(shù)＜除數(shù)），我們能夠確定除數(shù)＞11。除數(shù)為整數(shù)，所以除數(shù)≥12，根據(jù)余數(shù)的基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)≥12×商＋余數(shù)=12×5＋11=71，因此被除數(shù)最小為71，選D?！窘Y(jié)束】11、余數(shù)關(guān)系式和恒等式的應(yīng)用例2：有四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個(gè)自然數(shù)的和是A.216

B.108

C.314

D.348【答案】選C。【解題關(guān)鍵點(diǎn)】利用余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，有A=B×5+5=(B+1)×5。由于A、B均是自然數(shù)，于是A可以被5整除，同理，