高等數(shù)學(xué)d123冪級數(shù)課件

第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)第十二章第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)

，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級數(shù).對若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收

為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域

.一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)在收斂域上,對應(yīng)于任意x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為一收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，有一確定的和稱它為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有：表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前n

項(xiàng)的和,即是

x

的函數(shù)，在收斂域上,對應(yīng)于任意x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為一例如,

等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.其收斂域與發(fā)散域,即稱常數(shù)乘冪函數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

，冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散

.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)若冪級數(shù)則對滿足不證:

設(shè)x0，是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，即收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使則有級數(shù)一般項(xiàng)的絕對值：當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,證:設(shè)x0，是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，即收斂,則必有于是存在常數(shù)反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=+

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出推論：

若冪級數(shù)也不是在整個數(shù)軸上都收斂，那么必有一個確定的正數(shù)R存在

，使得：(-R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R稱為收斂半徑，(-R,R)稱為收斂區(qū)間.推論：若冪級數(shù)也不是在整個數(shù)軸上都收斂，那么必有一個確定定理2.

若的系數(shù)滿足證:考察冪級數(shù)各項(xiàng)取絕對值所成的級數(shù)，這級數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比：1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝+∞時,則這冪級數(shù)的收斂半徑：定理2.若的系數(shù)滿足證:考察冪級數(shù)各項(xiàng)取絕對值所成的級數(shù)，2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級數(shù)發(fā)對任意

x原級數(shù)因此散,因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,當(dāng)原級數(shù)收斂;即時,2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除對端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=1,收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級數(shù)

級數(shù)為交錯級數(shù)對端點(diǎn)x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=例2.

求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2例3.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理例4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)榧蠢?.的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有下列四則運(yùn)算:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是例如,

設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是例如,設(shè)性質(zhì)1

若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù).性質(zhì)2：冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:

逐項(xiàng)積分時,運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.多次用上次結(jié)論，則冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù).性質(zhì)1若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù).性質(zhì)2：解:

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)解:由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得例6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,例6.的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±例7.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散,例7.求級數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及例8.解:

設(shè)則例8.解:設(shè)則而故而故內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.例3例4內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.例63.求和函數(shù)的常用方法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)例72)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間P2811(5),(7),(8)2(1),(3)作業(yè)P2811(5),(7),(8)作業(yè)思考與練習(xí)1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為思考與練習(xí)1.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少2.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因?yàn)楫?dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立2.在冪級數(shù)中,n為奇數(shù)n為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的備用題

求極限其中解:

令作冪級數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為1,則備用題求極限其中解:令作冪級數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)第十二章第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)

，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級數(shù).對若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收

為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域

.一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)在收斂域上,對應(yīng)于任意x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為一收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，有一確定的和稱它為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有：表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前n

項(xiàng)的和,即是

x

的函數(shù)，在收斂域上,對應(yīng)于任意x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為一例如,

等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.其收斂域與發(fā)散域,即稱常數(shù)乘冪函數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

，冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散

.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)若冪級數(shù)則對滿足不證:

設(shè)x0，是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，即收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使則有級數(shù)一般項(xiàng)的絕對值：當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,證:設(shè)x0，是冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，即收斂,則必有于是存在常數(shù)反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=+

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出推論：

若冪級數(shù)也不是在整個數(shù)軸上都收斂，那么必有一個確定的正數(shù)R存在

，使得：(-R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R稱為收斂半徑，(-R,R)稱為收斂區(qū)間.推論：若冪級數(shù)也不是在整個數(shù)軸上都收斂，那么必有一個確定定理2.

若的系數(shù)滿足證:考察冪級數(shù)各項(xiàng)取絕對值所成的級數(shù)，這級數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比：1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝+∞時,則這冪級數(shù)的收斂半徑：定理2.若的系數(shù)滿足證:考察冪級數(shù)各項(xiàng)取絕對值所成的級數(shù)，2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級數(shù)發(fā)對任意

x原級數(shù)因此散,因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,當(dāng)原級數(shù)收斂;即時,2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除對端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=1,收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級數(shù)

級數(shù)為交錯級數(shù)對端點(diǎn)x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=例2.

求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2例3.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理例4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)榧蠢?.的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有下列四則運(yùn)算:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理3.設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是例如,

設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是例如,設(shè)性質(zhì)1

若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù).性質(zhì)2：冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:

逐項(xiàng)積分時,運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.多次用上次結(jié)論，則冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù).性質(zhì)1若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù).性質(zhì)2：解:

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)解:由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得例6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,例6.的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±例7.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散,例7.求級數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及例8.解:

設(shè)則例8.解:設(shè)則而故而故內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.