2016年北大優(yōu)秀中學(xué)生體驗(yàn)營暑期課堂數(shù)學(xué)試題及詳解

年北京大學(xué)全國優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂數(shù)學(xué)試題文科生做前5題，理科生做后5題，每題20分.111、b一c.c丁,.；a.a、b111、b一c.c丁,.；a.a、b設(shè)a,b,c均為正數(shù)且a,b,c成等差數(shù)列，判斷是否成等差數(shù)列，并說明理由.222設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有(x-a)+(x-b)?c當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)?2c.已知復(fù)數(shù)Z1,z2滿足Z1與Z1+Z2有相同的模且Zz2二a(1-i)，其中a為非零實(shí)數(shù)，求Z2的值.—條直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，與此雙曲線的漸近線交于C,D兩點(diǎn)，證明：線段AC與BD的長(zhǎng)度相等.設(shè)a,3均為銳角，滿足sina+sin3=sin(a+3)，求a+3的值.已知△ABC的面積為1,D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE上的一點(diǎn)，設(shè)AD:AB=x,AE:AC=y,DF:DE=z且y+z-x=1.求△BDF的面積的最大值并求出此時(shí)x,y,z的值.2016年北大全國優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂數(shù)學(xué)試題參考答案2題中方程有解即a=-sinx-cosx有解，從而有2a二2a二cosx-cosx-15-丄2I2丿由題意知b-a=c-b=(c-a)/2，所以11.c-.b?.bija.cYa.ca2+——='===;b、ca?,bc-bb-ab-a1c,a2(c_a丿從而得1'一從而得1'一c亠-.:a—一-是等差數(shù)列.、a亠、b對(duì)題中不等式整理得2222x-2(a+b)x+(a+b-c)?0,此不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)判別式22.22、小△=4(a+b)-8(a+b-c)=4[2c-(a-b)]?0,等價(jià)于2c?(a-b)2,命題得證.由題意知：2_I2__Z1=乙石=憶+乙2=(Z1+Z2)(N+爲(wèi)),化簡(jiǎn)得z2Z2z2Z|Z|Z2=0因?yàn)閆,z2=a(1-i)，所以z,Z2=a(1■i)，代入上面的式子得z2Z2=-2a.于是有z2互z2-2a-1iz,z2互z2-2a-1iz,z,z2a(1i)5.以雙曲線的中心為原點(diǎn)，以實(shí)軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則雙曲線與它的漸近線方程可以表示為其中入=1時(shí)為雙曲線，入=0時(shí)為漸近線.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，則有廠2x_2a2x22la2b212b21兩式相減得(為—X2)(x「X2)(%-y2)(wy2)_0a2b2同樣有(X3-X4)(X3X4)2a因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共線，當(dāng)此直線斜率不存在或者斜率為零時(shí),因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共線，當(dāng)此直線斜率不存在或者斜率為零時(shí),由雙曲線的對(duì)稱性得AC=BD當(dāng)此直線的斜率k存在且不為零時(shí)，有yiyiy2x冷y3y4_b2~x3x4ak即AB的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的同一條直線上，所以它們重合，從而有AC=BD事實(shí)上，此結(jié)論可以直接由雙曲線的“垂徑定理”得到.6.顯然當(dāng)a+3=n/2時(shí)，等式成立；由已知條件知22sina+sin3=sinacos3+cosasin3,整理得sina(sina-cos3)=sin3(cosa-sin3).若a+3工冗/2，則有sina-cos3與cosa-sin3同號(hào).若它們同為正，則有sina>cos3=sin(n/2-3),cosa=sin(n/2-a)>sin3,從而有a>n/2-3,n/2-a>3,無解；若它們同為負(fù)，用類似的方式也可以推導(dǎo)出矛盾.綜上，a+3=n12.7.如圖，連結(jié)BE:■B由三角形的面積公式1S=absinC可以得到2ADE=xyS^AB(=xy,S^bce=(i-y)S△ABC=1-y,所以有S^BDE=l-xy-(1-y)=y(1-x).從而有z+