優(yōu)秀課件23 等腰三角形的性質(zhì)定理

新浙教版數(shù)學八年級（上）2.3等腰三角形的性質(zhì)定理(2)新浙教版數(shù)學八年級（上）2.3等腰三角形的性質(zhì)定理(2)1（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，求其余各角。（2）等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，求其余各角。（3）等腰三角形的一個內(nèi)角為60°，求其余各角。40°和40°40°和100°或70°和70°60°和60°回顧舊知、掌握新知（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，（2）等腰2ACB腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.有兩邊相等的三角形叫等腰三角形！ACB腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，3等腰三角形的性質(zhì):ACB121.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫“等邊對等角”）回顧舊知、掌握新知等腰三角形的性質(zhì):ACB121.等腰三角形的兩個底角相等4ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩5ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰6ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰7ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰8ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰9ABC（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合10ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰11ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰12ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰13AC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？腰腰底角回顧舊知、掌握新知AC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒14性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。（通常說成等腰三角形的“三線合一”）性質(zhì)2可分解成下面三個方面來理解：1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。應用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACBD＝DC

（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）ABCD21性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相15等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊（簡稱三線合一）①∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CD你掌握了嗎？②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2，BD=CD③∵AB=AC，BD=CD∴∠1=∠2，AD⊥BC等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱16初步嘗試初步嘗試17例1求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB(已知),∴∠1=∠2(等式性質(zhì)).在△BDC與△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,

BC=CB（公共邊）,∠1=∠2（已證）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分線.求證:BD=CE.ACBD●1E●2例1求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.證明:∵AB=AC18求證:等腰三角形兩腰上的中線相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵CM=AC,BN=

AB(已知),∴CN=BM(等式性質(zhì)).在△BMC與△CNB中∵BC=CB（公共邊）,∠MCB=∠NBC（已知）,

CM=BN（已證）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC兩腰上的中線.求證:BM=CN.ACBMN求證:等腰三角形兩腰上的中線相等.證明:∵AB=AC(已知)19求證:等腰三角形兩腰上的高相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).

又∵BP,CQ是△ABC兩腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=900(高的意義).

在△BPC與△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已證）,∠PCB=∠QBC（已證）,BC=CB（公共邊）,∴△BPC≌△CQB（AAS）.∴BP=CQ(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC兩腰上的高.求證:BP=CQ.ACBPQ求證:等腰三角形兩腰上的高相等.證明:∵AB=AC(已知),20△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，

DF⊥AC于FDE⊥AB于E.求證：DE＝DF。ABCDEF方法一：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠BED＝∠CFD

又∵D是BC中點（已知）∴BD＝DC∵AB＝AC（已知）∴∠B＝∠C（等邊對等角）在△DBE與△DCF中∠DEB＝∠DFC（已證）∠B＝∠C（已證）BD＝DC（已證）∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DE＝DF

方法二：連AD?！逜B＝AC，BD＝DC（已知）∴AD是∠BAC的平分線。（等腰三角形三線合一）又∵DE⊥ABDF⊥AC

∴DE＝DF

（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，ABCDEF方法215、已知線段a,h(如圖),用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高為h.作法5、已知線段a,h(如圖),用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC22等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊（簡稱三線合一）①∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CD你清楚了嗎？②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2，BD=CD③∵AB=AC，BD=CD∴∠1=∠2，AD⊥BC等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱23當堂鞏固當堂鞏固24練一練判斷下列語句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線和高線互相重合。（）（2）有一個角是60°的等腰三角形，其它兩個內(nèi)角也為60°.（）（3）等腰三角形的底角都是銳角.（）（4）鈍角三角形不可能是等腰三角形.（）××練一練判斷下列語句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線25填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，1、如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠______,BD=______2、如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥___,BD=____3、如果BD=CD,那么∠BAD=∠_____，AD⊥___,

∠ADB=∠_____=___°DCADCDBCCDCADBCADC90填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，DCADCD26如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30。.求∠１和∠ADC的度數(shù)．∵AB=AC，D是BC邊上的中點∠ADC＝90°∵∠BAC=180°-30°-30°=120°（三線合一）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=327

如圖：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE。求證：AH=2BDABCDEH證明：∵AB=AC,AD是高(已知)∴BC=2BD（三線合一）⌒1⌒2又∵BE是高（已知）∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°（垂直的定義）在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2（同角的余角相等）

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴AH=BC（全等三角形的性質(zhì)）∴AH=2BD（等量代換）鞏固挑戰(zhàn)如圖：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于28D作△ABC的中線AD，交底邊BC于D。

D┌作△ABC的高AD，垂直底邊BC于D。D作頂角的平分線AD.ABCABCABC等腰三角形常見輔助線12D作△ABC的中線AD，交底邊BC于D。D┌作△ABC的高29自我挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)301.如圖：在三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)？ACBD討論：2、∠A與哪些角相等？1、∠C與哪些角相等？（∠3、∠ABC）123（∠1、∠2）3、∠C與∠A是什么關(guān)系？（∠C=2∠A）解：∵BD=AD,∴∠1=∠A∵∠3=∠1+∠A,∴∠3=2∠A∵BD=BC,∴∠3=∠C,∴∠C=2∠A∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A∵∠A+∠ABC+∠C=1800,∴5∠A=1800,∴∠A=360,∴∠ABC=∠C=2∠A=720拓展提高1.如圖：在三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且31∵AB=AC，∠1=∠2∴________________AD⊥BC或BD=CD∵AB=AC，AD⊥BC∴________________∠1=∠2

或BD=CD∵AB=AC，∴∠1=∠2或AD⊥BC

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)幾何語言：__________BD=CD∵AB=AC，∠1=∠2AD⊥BC或BD=CD∵AB=AC，32思考題：如圖所示，已知下列兩個三角形，思考怎樣把每個三角形只剪一次，將它分成兩個等腰三角形？試一試，你一定會成功的。120°20

°40

°100°20

°60

°120°20

°40

°20

°100°20

°60

°20

°思考題：如圖所示，已知下列兩個120°20°4033課堂小結(jié)等腰三角形概念性質(zhì)等邊對等角三線合一有兩邊相等的三角形腰、底、頂角、底角課堂小結(jié)等腰三角形概念性質(zhì)等邊對等角三線合一有兩邊相等的三角34謝謝大家！謝謝大家！35新浙教版數(shù)學八年級（上）2.3等腰三角形的性質(zhì)定理(2)新浙教版數(shù)學八年級（上）2.3等腰三角形的性質(zhì)定理(2)36（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，求其余各角。（2）等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，求其余各角。（3）等腰三角形的一個內(nèi)角為60°，求其余各角。40°和40°40°和100°或70°和70°60°和60°回顧舊知、掌握新知（1）等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，（2）等腰37ACB腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.有兩邊相等的三角形叫等腰三角形！ACB腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，38等腰三角形的性質(zhì):ACB121.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫“等邊對等角”）回顧舊知、掌握新知等腰三角形的性質(zhì):ACB121.等腰三角形的兩個底角相等39ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩40ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰41ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰42ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰43ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰44ABC（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合45ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰46ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰47ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？回顧舊知、掌握新知ABC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰48AC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒有重合的部分？并指出重合的部分是什么？腰腰底角回顧舊知、掌握新知AC把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕對折，除兩腰重合外還有沒49性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。（通常說成等腰三角形的“三線合一”）性質(zhì)2可分解成下面三個方面來理解：1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。應用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACBD＝DC

（已知）∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。應用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）ABCD21性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相50等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊（簡稱三線合一）①∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CD你掌握了嗎？②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2，BD=CD③∵AB=AC，BD=CD∴∠1=∠2，AD⊥BC等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱51初步嘗試初步嘗試52例1求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB(已知),∴∠1=∠2(等式性質(zhì)).在△BDC與△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,

BC=CB（公共邊）,∠1=∠2（已證）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分線.求證:BD=CE.ACBD●1E●2例1求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.證明:∵AB=AC53求證:等腰三角形兩腰上的中線相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵CM=AC,BN=

AB(已知),∴CN=BM(等式性質(zhì)).在△BMC與△CNB中∵BC=CB（公共邊）,∠MCB=∠NBC（已知）,

CM=BN（已證）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC兩腰上的中線.求證:BM=CN.ACBMN求證:等腰三角形兩腰上的中線相等.證明:∵AB=AC(已知)54求證:等腰三角形兩腰上的高相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).

又∵BP,CQ是△ABC兩腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=900(高的意義).

在△BPC與△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已證）,∠PCB=∠QBC（已證）,BC=CB（公共邊）,∴△BPC≌△CQB（AAS）.∴BP=CQ(全等三角形的對應邊相等)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC兩腰上的高.求證:BP=CQ.ACBPQ求證:等腰三角形兩腰上的高相等.證明:∵AB=AC(已知),55△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，

DF⊥AC于FDE⊥AB于E.求證：DE＝DF。ABCDEF方法一：證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠BED＝∠CFD

又∵D是BC中點（已知）∴BD＝DC∵AB＝AC（已知）∴∠B＝∠C（等邊對等角）在△DBE與△DCF中∠DEB＝∠DFC（已證）∠B＝∠C（已證）BD＝DC（已證）∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DE＝DF

方法二：連AD?！逜B＝AC，BD＝DC（已知）∴AD是∠BAC的平分線。（等腰三角形三線合一）又∵DE⊥ABDF⊥AC

∴DE＝DF

（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，ABCDEF方法565、已知線段a,h(如圖),用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高為h.作法5、已知線段a,h(如圖),用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC57等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊（簡稱三線合一）①∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CD你清楚了嗎？②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2，BD=CD③∵AB=AC，BD=CD∴∠1=∠2，AD⊥BC等腰三角形的性質(zhì)文字敘述幾何語言等腰三角形的兩底角相等（簡稱58當堂鞏固當堂鞏固59練一練判斷下列語句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線和高線互相重合。（）（2）有一個角是60°的等腰三角形，其它兩個內(nèi)角也為60°.（）（3）等腰三角形的底角都是銳角.（）（4）鈍角三角形不可能是等腰三角形.（）××練一練判斷下列語句是否正確。（1）等腰三角形的角平分線、中線60填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，1、如果AD⊥BC，那么∠BAD=∠______,BD=______2、如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥___,BD=____3、如果BD=CD,那么∠BAD=∠_____，AD⊥___,

∠ADB=∠_____=___°DCADCDBCCDCADBCADC90填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，DCADCD61如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30。.求∠１和∠ADC的度數(shù)．∵AB=AC，D是BC邊上的中點∠ADC＝90°∵∠BAC=180°-30°-30°=120°（三線合一）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=362

如圖：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE。求證：AH=2BDABCDEH證明：∵AB