一起學(xué)奧數(shù)有趣的數(shù)陣圖課件

有趣的數(shù)陣圖風(fēng)子編輯有趣的數(shù)陣圖風(fēng)子編輯1教育目標(biāo)觀察圖形，找出規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)耐评?，通過觀察、嘗試、驗(yàn)證等對(duì)問題進(jìn)行思考將問題簡(jiǎn)單化，找出解決問題的最佳途徑教育重點(diǎn)觀察發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，及數(shù)的規(guī)律。教育難點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合、容斥原理解決數(shù)陣圖問題教育目標(biāo)觀察圖形，找出規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)耐评恚?第一課橫式數(shù)字謎第一課橫式數(shù)字謎3例1、把1-6這六個(gè)數(shù)填在下圖六個(gè)○中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于9。【分析】左圖是一個(gè)三角形形狀，每條邊上有三個(gè)圓圈。三角形中的六個(gè)圓圈可以分成兩類。一類是兩條邊的公共點(diǎn)，另一類是獨(dú)立存在的。設(shè)三條邊的和相加為S，則有：S=3×9=27，即頂角的三個(gè)數(shù)被加了兩次把1-6這6個(gè)數(shù)填到6個(gè)圓圈中，則圓圈中的六個(gè)數(shù)字之和設(shè)為A：A=1+2+3+4+5+6=21則頂角三個(gè)數(shù)的和為：S-A=6，而在1-6中，三個(gè)數(shù)之和為6的只有1+2+3，所以把1、2、3分別填入三個(gè)頂角。123剩下4、5、6分別填在中間的圓圈中，使直線上三個(gè)數(shù)的和為9.654小結(jié)：1、觀察圖形的特征；2、找出公共點(diǎn)及被重復(fù)使用的次數(shù)；3、通過不同方式，計(jì)算出公共點(diǎn)的和；4、根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)確定公共點(diǎn)的數(shù)。例1、把1-6這六個(gè)數(shù)填在下圖六個(gè)○中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之4例2、將1-6填在下圖中的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等，有幾個(gè)基本解？共有多少種填法？【分析】與上一題的區(qū)別在于條件變成了三個(gè)數(shù)之和相等。即受限條件減少。圖形特征：三角形每邊三個(gè)數(shù)，頂點(diǎn)三個(gè)為公共點(diǎn)，中間點(diǎn)為獨(dú)立點(diǎn)。數(shù)字特點(diǎn)：1-6為連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。因此，需要把1-6這6個(gè)數(shù)分成兩組，每組都是等差數(shù)列。即（123和456，135和246）。4組數(shù)列分別填在三個(gè)頂角，構(gòu)建成的直線的和不同，所以基本解有4個(gè)。而每組三個(gè)數(shù)在三個(gè)頂點(diǎn)的位置又有6種方式。所以合計(jì)填法為：4×6=24種。本題可以通過確定直線最小值和最大值，計(jì)算出公共點(diǎn)的和，再分類討論，剔除不合適的組。方法相對(duì)原始，但不容易漏掉。例2、將1-6填在下圖中的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等，5例3、把1~12這十二個(gè)數(shù)，分別填在下圖中正方形四條邊上的十二個(gè)○內(nèi)，使每條邊上四個(gè)○內(nèi)數(shù)的和都等于22，試求出一個(gè)基本解?！痉治觥繄D形特征：正方形的四條邊上有四個(gè)數(shù)字，四個(gè)頂角被重復(fù)使用。數(shù)的特征：四條邊上的數(shù)字和都為22，邊上的數(shù)字為1~1212個(gè)數(shù)字之和為：

（1+12）×12÷2=784條邊數(shù)字和的相加為：22×4=88重復(fù)四個(gè)角的數(shù)字和為：88-72=10因?yàn)?+2+3+4=10，所以1-4放在四個(gè)頂角。1234因?yàn)?-12是一個(gè)等差數(shù)列，確定1-4為四個(gè)頂角，且按逆時(shí)針方向排列后，可以把剩下的分成5-8，9-12兩組，分別填在直線上對(duì)應(yīng)的位置。56789101112最后一步的規(guī)律必須讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)。可以把和都為22的條件去掉做講解例3、把1~12這十二個(gè)數(shù)，分別填在下圖中正方形四條邊上的十6例4、把1~7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)圓圈內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等?！痉治觥繄D形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用三次。

數(shù)字特征：1-7為七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。每條線段上的數(shù)字和沒有受到制約，因此只要考慮除中間數(shù)字之外，其它6個(gè)數(shù)兩兩相加和相等。把1-7個(gè)數(shù)寫出來：1、2、3、4、5、6、7，可以發(fā)現(xiàn)擦掉1、4、7（留意這三個(gè)數(shù)的位置），剩下的數(shù)首尾相加，和相等。隨便挑選一組，填到左圖圓圈內(nèi)。1273645例4、把1~7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)圓圈內(nèi)，使每條線段7例5、將1~9這九個(gè)數(shù)，分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等?！痉治觥繄D形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用四次。

數(shù)字特征：1-9為九個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。與上題相比較，在圖形特征與數(shù)字特征中，存在雷同性。把1-9個(gè)數(shù)寫出來：1、2、3、4、5、6、7、8、9，可以發(fā)現(xiàn)擦掉1、5、9（留意這三個(gè)數(shù)的位置），剩下的數(shù)首尾相加，和相等。隨便挑選一組，填到左圖圓圈內(nèi)。129384756分析例4、5，圖形特征與數(shù)字特征相同的情況下，填數(shù)的方式雷同。例5、將1~9這九個(gè)數(shù)，分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段8例6、把1~11這十一個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和都等于22。【分析】圖形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用五次。

數(shù)字特征：1-11為11個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。與上兩題相比較，圖形特征與數(shù)字特征存在雷同性，但每條線上三個(gè)數(shù)字和受限制。因此需要確定公共圓圈的值。五條線段上的數(shù)字和相加為：22×5=11011個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字和為：11×12÷2=66則公共圓圈的數(shù)字為：（110-66）÷（5-1）=1111剩余圓圈上的填法，與之前題目相同。對(duì)剩下的10個(gè)數(shù)首尾取數(shù)即可。11029384756觀察內(nèi)圈與外圈的數(shù)字，這10個(gè)數(shù)按大小分了兩組，并填寫規(guī)則例6、把1~11這十一個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線9

第二講提高篇第二講提高篇10例：將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都是等于21。【分析】圖形特征：兩個(gè)大圓構(gòu)成復(fù)合圖形

數(shù)字特征：中間兩個(gè)為重疊數(shù)，重疊次數(shù)1次重疊數(shù)之和為：21×2-（1+2+3+…+8）=6八個(gè)數(shù)中可以使兩個(gè)數(shù)之和為6的有1+5和2+4，剩下的數(shù)再平分為兩組和為15的數(shù)。如果重疊數(shù)為1和5，則剩下數(shù)為2、3、4、6、7、8，因?yàn)?個(gè)數(shù)中2奇4偶，使和為15，則應(yīng)該為1奇2偶，所以3、7為不同組，即為3、4、8和2、6、7。如果重疊數(shù)為2和4，則剩下數(shù)為1、3、5、6、7、8，因?yàn)?個(gè)數(shù)中4奇2偶，使和為15，則應(yīng)該為1奇2偶或者3奇，1+6+8=15，而3+5+7=15。例：將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)11例：將1~16分別填入下圖中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間正方形的四個(gè)數(shù)之和都是34，圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完。915510141178【分析】圖形特征：左圖中有16個(gè)圓圈，要填的數(shù)字為16個(gè)，且16個(gè)圓圈可以在大圓上組成4個(gè)扇形，4個(gè)扇形上的數(shù)字之和都為34則可以將16個(gè)數(shù)字分成4組，分別填入4個(gè)扇形。分組16個(gè)數(shù)字，可以先把16個(gè)數(shù)字按如下排列：2345678910111213141516四個(gè)扇形中所填數(shù)必定是每一行挑選一個(gè)數(shù)。（原因分析）左上角圓圈中空著的數(shù)應(yīng)該在第1、2行中選，而第2行中的5、7、8已經(jīng)出現(xiàn)過，所以為（4、6）；同理，右上為（1、12）、右下為（2、13）、左下（3、16）接著從這八個(gè)數(shù)中找出4個(gè)和為34的數(shù)的組合，放在正方形中。（1、4、13、16）、（2、4、12、16）沒有條件四個(gè)數(shù)之和為34，是否可以解答本題？例：將1~16分別填入下圖中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和12例：把數(shù)字1~9分別填入下圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)數(shù)字之和都等于18.下圖中D、E、F的三個(gè)圈中所填數(shù)之和為什么？ABCDEGHIF【分析】首先得明白這個(gè)題目只要求我們能夠求出D+E+F的值，而不一定要知道每個(gè)圓圈中填的數(shù)字。根據(jù)圖形特征，D、E、F處于大小三角形的重疊部分。再分析圓圈在計(jì)算過程用到的次數(shù)特點(diǎn)，ABC三個(gè)位置被用到2次，DEF被用到3次，GHI被用到1次。因此可以有如下計(jì)算：2（A+B+C）+3（D+E+F）+（G+H+I）=6×18=108而A+B+C+D+E+F+G+H+I=45對(duì)上面等式進(jìn)行簡(jiǎn)化，則：(D+E+F)-(G+H+I)=18對(duì)1~9這9個(gè)數(shù)進(jìn)行分析，最大三個(gè)數(shù)的和為：7+8+9=24；最小為：1+2+3=6兩者差為18。所以D+E+F=18試試枚舉法解這個(gè)題目（對(duì)枚舉法也可以做初步分析）例：把數(shù)字1~9分別填入下圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三13例：將1~10這十個(gè)數(shù)填入下圖的圓圈內(nèi)，使每個(gè)正方形的四個(gè)數(shù)字之和都等于23，應(yīng)怎樣填？9193【分析】首先分析圖形特征，我們可以把他分為兩部分。每個(gè)圖存在一個(gè)重疊數(shù)。設(shè)左圖重疊數(shù)為a，右圖為b四個(gè)正方形的數(shù)字之和為：1+9+9+3+1+2+…+10+a+b=4×23，即a+b=15，所以重疊數(shù)的組合為（10、5）、（6、9）、（7、8）以（10、5）為例，左圖自左至右，可填4、8、1、3（23-19=4確定1、3），右圖可以填2、7、6、9（23-5-3=15確定6、9）在把其它的集中方式天出來。共6種。例：將1~10這十個(gè)數(shù)填入下圖的圓圈內(nèi)，使每個(gè)正方形的四個(gè)數(shù)14

知識(shí)點(diǎn)小結(jié)知識(shí)點(diǎn)小結(jié)15仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

觀察圖形，尋找突破

嘗試填數(shù)，驗(yàn)證答案

解答數(shù)陣圖的一般步驟仔細(xì)審題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

觀察圖形，尋找突破

嘗試填數(shù)，驗(yàn)證答案16有趣的數(shù)陣圖風(fēng)子編輯有趣的數(shù)陣圖風(fēng)子編輯17教育目標(biāo)觀察圖形，找出規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)耐评恚ㄟ^觀察、嘗試、驗(yàn)證等對(duì)問題進(jìn)行思考將問題簡(jiǎn)單化，找出解決問題的最佳途徑教育重點(diǎn)觀察發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，及數(shù)的規(guī)律。教育難點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合、容斥原理解決數(shù)陣圖問題教育目標(biāo)觀察圖形，找出規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)耐评恚?8第一課橫式數(shù)字謎第一課橫式數(shù)字謎19例1、把1-6這六個(gè)數(shù)填在下圖六個(gè)○中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于9。【分析】左圖是一個(gè)三角形形狀，每條邊上有三個(gè)圓圈。三角形中的六個(gè)圓圈可以分成兩類。一類是兩條邊的公共點(diǎn)，另一類是獨(dú)立存在的。設(shè)三條邊的和相加為S，則有：S=3×9=27，即頂角的三個(gè)數(shù)被加了兩次把1-6這6個(gè)數(shù)填到6個(gè)圓圈中，則圓圈中的六個(gè)數(shù)字之和設(shè)為A：A=1+2+3+4+5+6=21則頂角三個(gè)數(shù)的和為：S-A=6，而在1-6中，三個(gè)數(shù)之和為6的只有1+2+3，所以把1、2、3分別填入三個(gè)頂角。123剩下4、5、6分別填在中間的圓圈中，使直線上三個(gè)數(shù)的和為9.654小結(jié)：1、觀察圖形的特征；2、找出公共點(diǎn)及被重復(fù)使用的次數(shù)；3、通過不同方式，計(jì)算出公共點(diǎn)的和；4、根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)確定公共點(diǎn)的數(shù)。例1、把1-6這六個(gè)數(shù)填在下圖六個(gè)○中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之20例2、將1-6填在下圖中的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等，有幾個(gè)基本解？共有多少種填法？【分析】與上一題的區(qū)別在于條件變成了三個(gè)數(shù)之和相等。即受限條件減少。圖形特征：三角形每邊三個(gè)數(shù)，頂點(diǎn)三個(gè)為公共點(diǎn)，中間點(diǎn)為獨(dú)立點(diǎn)。數(shù)字特點(diǎn)：1-6為連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。因此，需要把1-6這6個(gè)數(shù)分成兩組，每組都是等差數(shù)列。即（123和456，135和246）。4組數(shù)列分別填在三個(gè)頂角，構(gòu)建成的直線的和不同，所以基本解有4個(gè)。而每組三個(gè)數(shù)在三個(gè)頂點(diǎn)的位置又有6種方式。所以合計(jì)填法為：4×6=24種。本題可以通過確定直線最小值和最大值，計(jì)算出公共點(diǎn)的和，再分類討論，剔除不合適的組。方法相對(duì)原始，但不容易漏掉。例2、將1-6填在下圖中的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等，21例3、把1~12這十二個(gè)數(shù)，分別填在下圖中正方形四條邊上的十二個(gè)○內(nèi)，使每條邊上四個(gè)○內(nèi)數(shù)的和都等于22，試求出一個(gè)基本解?！痉治觥繄D形特征：正方形的四條邊上有四個(gè)數(shù)字，四個(gè)頂角被重復(fù)使用。數(shù)的特征：四條邊上的數(shù)字和都為22，邊上的數(shù)字為1~1212個(gè)數(shù)字之和為：

（1+12）×12÷2=784條邊數(shù)字和的相加為：22×4=88重復(fù)四個(gè)角的數(shù)字和為：88-72=10因?yàn)?+2+3+4=10，所以1-4放在四個(gè)頂角。1234因?yàn)?-12是一個(gè)等差數(shù)列，確定1-4為四個(gè)頂角，且按逆時(shí)針方向排列后，可以把剩下的分成5-8，9-12兩組，分別填在直線上對(duì)應(yīng)的位置。56789101112最后一步的規(guī)律必須讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)?？梢园押投紴?2的條件去掉做講解例3、把1~12這十二個(gè)數(shù)，分別填在下圖中正方形四條邊上的十22例4、把1~7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)圓圈內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等?！痉治觥繄D形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用三次。

數(shù)字特征：1-7為七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。每條線段上的數(shù)字和沒有受到制約，因此只要考慮除中間數(shù)字之外，其它6個(gè)數(shù)兩兩相加和相等。把1-7個(gè)數(shù)寫出來：1、2、3、4、5、6、7，可以發(fā)現(xiàn)擦掉1、4、7（留意這三個(gè)數(shù)的位置），剩下的數(shù)首尾相加，和相等。隨便挑選一組，填到左圖圓圈內(nèi)。1273645例4、把1~7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)圓圈內(nèi)，使每條線段23例5、將1~9這九個(gè)數(shù)，分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等?！痉治觥繄D形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用四次。

數(shù)字特征：1-9為九個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。與上題相比較，在圖形特征與數(shù)字特征中，存在雷同性。把1-9個(gè)數(shù)寫出來：1、2、3、4、5、6、7、8、9，可以發(fā)現(xiàn)擦掉1、5、9（留意這三個(gè)數(shù)的位置），剩下的數(shù)首尾相加，和相等。隨便挑選一組，填到左圖圓圈內(nèi)。129384756分析例4、5，圖形特征與數(shù)字特征相同的情況下，填數(shù)的方式雷同。例5、將1~9這九個(gè)數(shù)，分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段24例6、把1~11這十一個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和都等于22?！痉治觥繄D形特征：這是中心輻射型，中間圓圈重復(fù)使用五次。

數(shù)字特征：1-11為11個(gè)連續(xù)自然數(shù)，呈等差數(shù)列。與上兩題相比較，圖形特征與數(shù)字特征存在雷同性，但每條線上三個(gè)數(shù)字和受限制。因此需要確定公共圓圈的值。五條線段上的數(shù)字和相加為：22×5=11011個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字和為：11×12÷2=66則公共圓圈的數(shù)字為：（110-66）÷（5-1）=1111剩余圓圈上的填法，與之前題目相同。對(duì)剩下的10個(gè)數(shù)首尾取數(shù)即可。11029384756觀察內(nèi)圈與外圈的數(shù)字，這10個(gè)數(shù)按大小分了兩組，并填寫規(guī)則例6、把1~11這十一個(gè)數(shù)分別填入下圖中的各個(gè)○內(nèi)，使每條線25

第二講提高篇第二講提高篇26例：將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都是等于21?！痉治觥繄D形特征：兩個(gè)大圓構(gòu)成復(fù)合圖形

數(shù)字特征：中間兩個(gè)為重疊數(shù)，重疊次數(shù)1次重疊數(shù)之和為：21×2-（1+2+3+…+8）=6八個(gè)數(shù)中可以使兩個(gè)數(shù)之和為6的有1+5和2+4，剩下的數(shù)再平分為兩組和為15的數(shù)。如果重疊數(shù)為1和5，則剩下數(shù)為2、3、4、6、7、8，因?yàn)?個(gè)數(shù)中2奇4偶，使和為15，則應(yīng)該為1奇2偶，所以3、7為不同組，即為3、4、8和2、6、7。如果重疊數(shù)為2和4，則剩下數(shù)為1、3、5、6、7、8，因?yàn)?個(gè)數(shù)中4奇2偶，使和為15，則應(yīng)該為1奇2偶或者3奇，1+6+8=15，而3+5+7=15。例：將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)27例：將1~16分別填入下圖中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間正方形的四個(gè)數(shù)之和都是34，圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完。915510141178【分析】圖形特征：左圖中有16個(gè)圓圈，要填的數(shù)字為16個(gè)，且16個(gè)圓圈可以在大圓上組成4個(gè)扇形，4個(gè)扇形上的數(shù)字之和都為34則可以將16個(gè)數(shù)字分成4組，分別填入4個(gè)扇形。分組16個(gè)數(shù)字，可以先把16個(gè)數(shù)字按如下排列：2345678910111213141516四個(gè)扇形中所填數(shù)必定是每一行挑選一個(gè)數(shù)。（原因分析）左上角圓圈中空著的數(shù)應(yīng)該在第1、2行中選，而第2行中的5、7、8已經(jīng)出現(xiàn)過，所以為（4、6）；同理，右上為（1、12）、右下為（2、13）、左下（3、16）接著從這八個(gè)數(shù)中找出4個(gè)和為34的數(shù)的組合，放在正方形中。（1、4、13、16）、（2、4、12、16）沒有條件四個(gè)數(shù)之和為34，是否可以解答本題？例：將1~16分別填入下圖中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和28例：把數(shù)字1~9分別填入下圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)數(shù)字之和都等于18.下圖中D