概率論的基本概念歷屆試題

年秋《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題及參照答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1．設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且P(A)0，則P(AUBA)【A】A．1；B．P(A)；C．P(B)；D．P(AB)。2．設(shè)A,B互相獨(dú)立，且P(AB)0，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是【C】A．P(AB)P(A)；B．P(BA)P(B)；C．P(AUB)P(A)P(B)；D．P(AB)P(A)P(B)。x,若x0,1．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax,若x1,2，則常數(shù)a【】3B0,若x0,2A．1；B．2；C．3；D．4。4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率散布函數(shù)為F(x)1100x1,若x100【D】0,若x，則P(X150)100A．12；B．14；C．13；D．23。5．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合散布函數(shù)為F(x,y)，則Y的邊沿散布函數(shù)為F2(y)【C】A．F(x,)；B．F(x,)；C．F(,y)；D．F(,y)。6．設(shè)D(X)25,D(Y)4,Cov(X,Y)4，則XY【C】A．0.004；B．0.04；C．0.4；D．4。7．設(shè)隨機(jī)變量X:N(1,12),Y:N(2,22)，且它們互相獨(dú)立，則XY:【D】A．N(C．N(

12,1222)；B．N(12,1222)；D．N(

12,1222)；12,1222)。8．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1e(x1)24，則D(X)【B】2A．2；B．2；C．4；D．1。9．設(shè)X1,X2,...,XN與Y1,Y2,...,YN分別為來自兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)母體N(1,5)與N(2,6)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S12與S22分別為其樣本方差，則統(tǒng)計(jì)量6S12聽從【D】5S22A．正態(tài)散布；B．2散布；C．t散布；D．F散布。10．設(shè)X1,X2,...,XN為來自正態(tài)母體N(,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X與S2分別為其樣本均值與樣本方差，則用來查驗(yàn)假定H0:0,H1:0的統(tǒng)計(jì)量為【A】A．N(X0)；B．X0；C．X0；D．N1(X0)。SNSN1二、填空題（每題2分，共16分）1．設(shè)P(A)13,P(AUB)12，且A,B互斥，則P(B)P(AUB)P(A)16。2．某射手獨(dú)立地向目標(biāo)射擊4次，每次的命中率為23，則起碼命中一次的概率為8081。3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1F(x)1arctanx。，則散布函數(shù)2(1x2)1若x0,4X:U0,2，則YX2f(x),4．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為4x。0,若x0,45．設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為f(x,y)a,若(x,y)1,11,1，則常數(shù)a14。0,若(x,y)1,11,16．設(shè)隨機(jī)變量X:U0,，則未知參數(shù)的矩預(yù)計(jì)為?2X。7．設(shè)X1,X2,...,X10為X:N(0,0.25)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且aXk2:2(10)，則常數(shù)a4。1k108．設(shè)X1,X2,...,XN為X:N(1,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X為樣本均值，則E(X)1。三、計(jì)算題（每題8分，共64分）1．由統(tǒng)計(jì)資料知某地域病人中A,B,C三種疾病的生病率分別為4000,5000,1000，且A,B,C三種疾病的患者之化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率分別為0.7,0.4,0.2，假定每個(gè)病人只可能患此中的一種。求⑴．病人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率；⑵．病人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性時(shí)，這人為A病患者的概率。解:用A1,A2,A3分別表示病人患A病、患B病、患C病，D表示這人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則由題設(shè)知A1,A2,A3兩兩互斥，且A1A2A3，而0.4,若k10.7,若k1P(Ak)0.5,若k2,P(DAk)0.4,若k2，故0.1,若k30.2,若k3⑴．病人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為:P(D)P(Ak)P(DAk)0.40.70.50.40.10.20.5；1k3⑵．病人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性時(shí)，這人為A,B,C病患者的概率為:P(Ak)P(DAk)0.56,若k1P(AkD)0.40,若k2。P(D)0.04,若k32．設(shè)袋中有4只紅球、2只白球，從中不放回地任取2只球，用X表示取到的紅球之個(gè)數(shù)，求X的概率散布及其數(shù)字特點(diǎn)。解:由題設(shè)知，X的概率散布及其數(shù)字特點(diǎn)分別為:k2k115,若k02P(Xk)C4C2815,若k1，E(X)1864，kP(Xk)012C62615,若k2k01515153D(X)2kE(X)P(Xk)(04)21(14)28(24)2616。2k0315315315453．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax2,若(x,y)2,2若(，求常數(shù)a、數(shù)字特點(diǎn)E(X),D(X)及0,2,2x,y)PXE(X)D(X)。16a，故參數(shù)a解:a0且知足1f(x)dxa2x2dx3，而其數(shù)字特點(diǎn)為：2316E(X)xf(x)dx3x3dx0,D(X)xE(X)f(x)dx32x4dx2.4，22162162PXE(X)D(X)P(X2.4)1。4．一箱產(chǎn)品共有100件，此中一、二、三等品分別有70,20,10件，從中任取一件產(chǎn)品，令Xk1,若取到的產(chǎn)品是k等品,k1,2，求(X1,X2)及X1的概率散布率。0,若取到的產(chǎn)品非k等品解:由題設(shè)知，(X1,X2)及X1的概率散布率分別為:P(X10,X20)P(取到的一件產(chǎn)品是等品)100.13100P(X11,X20)P(取到的一件產(chǎn)品是1等品)700.7100，20P(X10,X21)P(取到的一件產(chǎn)品是等品)0.22100P(X11,X21)P(取到的一件產(chǎn)品既是1等品又是2等品)00100P(X10)P(X10,X20)P(X10,X21)0.10.20.3P(X11)P(X11,X20)P(X11,X21)0.700.7。5．設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)2的Poisson散布，Y聽從0,6上的均勻散布，且有關(guān)系數(shù)為XY16，求ZX2Y的數(shù)字特點(diǎn)E(Z),D(Z)。解:因?yàn)閄聽從參數(shù)2的Poisson散布，Y聽從0,6上的均勻散布，故E(X)D(X)2,E(Y)(06)23,D(Y)(60)2123，進(jìn)而E(Z)E(X2Y)E(X)2E(Y)31，(Z)D(2)(X)4()4XYD(X)(Y)12410。DXYDDYD6．設(shè)母體X的均值為，方差為2，分別抽取容量為n1,n2的兩個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值分別為X1,X2，則aR，統(tǒng)計(jì)量YaX1(1a)X2都是的無偏預(yù)計(jì)，求aR，使D(Y)最小。解:因E(Y)aE(X1)(1a)E(X2)a(1a)，故YaX1(1a)X2是的無偏預(yù)計(jì)，222222na2n(1a)22又D(Y)aD(X1)(1a)D(X2)an1(1a)n212，n1n2令dD22n1an2(1a)0，得an1n2，即此時(shí)D(Y)最小。dan1n2n27．對(duì)某型號(hào)飛機(jī)的飛翔速度進(jìn)行了n16次試驗(yàn)，測(cè)得最大飛翔速度的均勻值為X425ms，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S8.4ms，依據(jù)長(zhǎng)久經(jīng)驗(yàn)，能夠以為飛機(jī)的最大飛翔速度聽從正態(tài)散布N(,2)，在0.95的置信水平下，求之置信區(qū)間。解:因?yàn)閠X1)，故PX2(n1)1，t2(n1)t0.025(15)2.1315，:t(ntSnSn故在0.951的置信水平下，之置信區(qū)間為:XSt2(n1),XSt2(n1)423.8810,426.1190。nn8．在正常生產(chǎn)條件下，某產(chǎn)品的測(cè)試指標(biāo)聽從正態(tài)散布N(,02),00.3，以后改變了生產(chǎn)工藝，出了新產(chǎn)品，假定新產(chǎn)品的同一測(cè)試指標(biāo)聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布，重新產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取了n10件，測(cè)得樣本標(biāo)準(zhǔn)差S0.4，問在明顯性水平0.05下，新產(chǎn)品的測(cè)試指標(biāo)之方差2有無明顯變化解:問題即查驗(yàn)H0:22:222(n1)S2:2(n1)，而0，在H00為真時(shí)，202(n1)S216(2.700,19.0223)22H0:2220.975(9),0.025(9)，應(yīng)接受0，即0在明顯性水平0.05下，新產(chǎn)品的測(cè)試指標(biāo)之方差2無明顯變化。年春《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試題及參照答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1．設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且P(AB)0，則【D】A．A,B互斥；B．A,B獨(dú)立；C．P(A)0或P(B)0；D．P(AB)P(A)。2．設(shè)A,B對(duì)峙，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是【B】A．P(AB)0；B．P(BA)；C．P(AB)1；D．P(AUB)1。3．設(shè)隨機(jī)變量，則【C】X:N(1,1)A．P(X0)P(X0)0.5；B．f(x)f(x)；C．P(X1)P(X1)0.5；D．F(x)1F(x)。3(2xx2),若x0,2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)4，則P(X1)【】40,若x0,2AA．12；B．14；C．13；D．34。5．設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且X:(2),Y:N(1,1)，則D(2X3Y)【A】A．17；B．7；C．1；D．1。6．設(shè)(X,Y)的概率散布如右圖所示，則P(XY1)【C】XY101A．0.2；B．0.3；C．0.4；D．0.5。00.10.30.27．設(shè)隨機(jī)變量X,Y知足D(X),D(Y)0,且E(XY)E(X)E(Y)，10.20.20則必有【B】A．X,Y獨(dú)立；B．X,Y不有關(guān)；C．D(XY)D(X)D(Y)；D．D(XY)D(X)D(Y)。8．設(shè)X1,X2,...,Xn是X:N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X與S2分別為其樣本均值與樣本方差，則【C】nA．X:N(0,1)；B．nX:N(0,1)；C．Xk2:2(n)；D．XS:t(n1)。k19．設(shè)X1,X2,...,Xn是整體X的樣本，且D(X)21n(XkX)2，則E(Y)【B】，令Ynk1A．2；B．n12；C．2；D．n2。nnn110．在假定查驗(yàn)中，明顯性水平表示【B】A．P(接受H0H0為假)；B．P(拒絕H0H0為真)；C．1000；D．置信度為(1)。二、填空題（每題2分，共16分）．設(shè)A,B獨(dú)立，且P(B)0.4,P(AUB)0.6，則P(A)P(AUB)P(B)1P(B)13。12．某射手獨(dú)立地向目標(biāo)射擊3次，每次的命中率為23，則起碼命中一次的概率為2627。(1e3x)(1e4y),若x,y03e3x,若x03．設(shè)(X,Y):F(x,y)0,其他，則X的邊沿密度f1(x)0,若x0。．設(shè)D(X)1,D(Y)9,(X,Y)1，則Cov(X,Y)(X,Y)D(X)D(Y)3。45．設(shè)X:e(),12，利用切比雪夫不等式預(yù)計(jì)P(X24)P(X4)0.25。6．設(shè)X1,X2,...,Xn為X:N(,2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則D(X)2n。7．設(shè)01，則F1(m,n)1F(n,m)。8．設(shè)X1,X2,...,Xn為X:()的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則的矩預(yù)計(jì)為?X。三、計(jì)算題（每題8分，共64分）1．已知男子中有500是色盲患者，女子中有0.2500是色盲患者，現(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地選一人，問這人是色盲患者的概率為多少若已知這人是色盲患者，求這人是男性的概率。解:用A表示所選人為男性，B表示所選人為色盲患者，則P(A)P(A)0.5，P(BA)500，P(BA)0.2500，故P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)0.5500002.62500，P(A)P(BA)0.550020P(AB)2.62500.95238。P(B)0212．袋中有5個(gè)相同大小的球，分別給其編號(hào)為1,2,...,5，從中同時(shí)拿出3個(gè)球，用X表示所取的3個(gè)球上號(hào)碼的最大值，求其概率散布及散布函數(shù)。解:Xk發(fā)生所取的3個(gè)球中有一個(gè)的號(hào)碼是k，其他2個(gè)的號(hào)碼是從1,2,...,k1中取到的，故P(Xk)C11Ck21C531(k1)(k2)，k3,4,5，即32045XP110310610其散布函數(shù)及其圖形以下：0,若x3F(x)P(Xx)P(Xk)0.1,若3x4。0.4,若4x5kx1,若x53．設(shè)(X,Y)的結(jié)合密度函數(shù)為f(x,y)Ae(xy),若0x1,y00,其他，求常數(shù)A、(X,Y)的邊沿密度并判斷X,Y能否獨(dú)立。1xdxeydyA(1e1)，故A11,解:由密度函數(shù)的性質(zhì)有1f(x,y)dxdyAe001eex且X:f1(x)f(x,y)dy1e1,若x(0,1)，0,若x(0,1)Y:f2(y)f(x,y)dxey,若y00,若y，0因?yàn)閒(x,y)f1(x)f2(y)，故X,Y互相獨(dú)立。4．設(shè)(X,Y)的結(jié)合散布律以下，求(X,Y)的數(shù)字特點(diǎn)。XY12P(X)11828382481858P(Y)58381解:其邊沿散布如上表所示，故E(X)E(X2)E(XY)

132513,E(Y)188812322523,E(Y2)888111122214888

52311，88812522317，88822117，88D(X)E(X2)(EX)215,D(Y)E(Y2)(EY)215，6464Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)7,(X,Y)Cov(X,Y)7。64D(X)D(Y)155．設(shè)(X,Y)聽從正態(tài)散布，且X:N(1,9),Y:N(0,16),(X,Y)0.5，求XYZ的數(shù)字特32征及(X,Z)。解:E(Z)1E(X)1E(Y)11101，32323D(Z)111(X,Y)D(X)D(Y)1911612D(X)22D(Y)3220.59163，3323Cov(X,Z)11(X,Y)