電力系統(tǒng)分析：CHAPTER 2 Basic Principles

CHAPTER2

BasicPrinciplesOUTLINE2.1概述2.2單相交流電路的功率

2.3復(fù)功率2.4復(fù)功率平衡

2.5功率因數(shù)校正

2.6復(fù)功率潮流

2.7平衡三相電路

2.8Y－連接負載

2.9△－連接負載

2.10△-Y變換

2.11單相分析

2.12對稱三相功率

2.1INTRODUCTIONCONTENTSOFTHISCHAPTER:1.平均功率和無功功率的定義2.復(fù)功率在兩個電壓源之間的傳輸3.平衡三相電路及其單相等效電路2.2POWERINSINGLE-PHASEACCIRCUITS

單相交流電路的功率

正弦電壓源給負載供電設(shè)瞬時電壓則瞬時電流為(2.1)(2.2)傳送給負載的瞬時功率p(t)為電壓v(t)與電流i(t)之積，即(2.2)利用三角恒等式，把式（2.3）表示成另一種形式

由上式得出(2.4)令上述公式簡化為Energyflowintothecircuit流進電路的能量Energyborrowed&returnedbythecircuit電路借還能量式中，是電壓和電流間的相角差，或稱阻抗角。如果負載是感性的，則為正值，（即電流滯后于電壓），如果負載是容性的，則為負值（即電流超前于電壓）。瞬時功率被分解為兩部分。式（2.5）的第一部分為(2.6)式（2.6）中第二部分的頻率是電源頻率的二倍，說明了負載電阻功率吸收過程中的正弦變化。因為這個正弦函數(shù)的平均值為零，所以傳送給負載的平均功率為負載中電阻性元件吸收的功率，也稱為有功功率activepowerorrealpower。電壓有效值和電流有效值的乘積被稱為視在功率，單位是伏安。

(2.7)視在功率和電壓電流相角差余弦的乘積構(gòu)成了有功功率。因為在決定平均功率時扮演著重要角色，所以被稱為功率因數(shù)。當(dāng)電流滯后于電壓時功率因數(shù)是滯后的。當(dāng)電流超前于電壓時，功率因數(shù)是超前的。式（2.5）的第二部分(2.8)以二倍的頻率波動，其平均值為零。說明這部分是由電抗性負載（感性或容性）引起的功率振蕩。這種波動功率的幅值稱為無功功率，以Q表示(2.9)Characteristicsoftheinstantaneouspower:1.對于純電阻，阻抗角為零，功率因數(shù)是1，因此視在功率和有功功率相等。電能全部轉(zhuǎn)化為熱能。

2.如果電路是純電感性的，電流滯后于電壓，平均功率為零，因此，在純電感電路中沒有從電能到非電能形式的能量轉(zhuǎn)換。在純電感電路中，瞬時功率在電路和電源間振蕩。當(dāng)p(t)為正時，能量被儲存在電感元件的磁場中，當(dāng)p(t)為負時，能量從電感元件的磁場中釋放出來。3.如果負載是純電容性的，電流超前于電壓90°,平均功率為零，所以沒有從電能到非電能形式的能量轉(zhuǎn)換。在純電容電路中，功率在電源和電容元件的電場間振蕩。例2.1（chp2ex1，chp2ex1gui）圖2.1中的電源電壓為，感性負載，阻抗。求瞬時電流i(t)和瞬時功率p(t)的表達式。用MATLAB繪制i(t)

、v(t)、p(t)

、和從0到區(qū)間的圖形。圖2.2瞬時電流，電壓，功率，公式2.6和2.8因此下面的表述用來繪制上述瞬時量和式(2.6)、式（2.8）給出的瞬時值。Vm=100;thetav=0;%電壓幅值和相角Z=1.25;gama=60;%阻抗幅值和相角thetai=thetav-gama;%電流相角（角度）theta=(thetav-thetai)*pi/180;%角度轉(zhuǎn)弧度Im=Vm/Z;%電流幅值wt=0:.05:2*pi;%wt從0到2*piv=Vm*cos(wt);%瞬時電壓i=Im*cos(wt+thetai*pi/180);%瞬時電流p=v.*i;%瞬時功率V=Vm/sqrt(2);I=Im/sqrt(2);%電壓電流有效值P=V*I*cos(theta);%平均功率Q=V*I*sin(theta);%無功功率S=P+j*Q%復(fù)功率pr=P*(1+cos(2*(wt+thetav)));%方程(2.6)px=Q*sin(2*(wt+thetav));%方程(2.8)PP=P*ones(1,length(wt));%畫長度wt的平均功率xline=zeros(1,length(wt));%畫零的橫線wt=180/pi*wt;%弧度轉(zhuǎn)角度subplot(2,2,1),plot(wt,v,wt,i,wt,xline),gridtitle(['v(t)=V_m

cos\omegat,i(t)=I_m

cos(\omegat+',num2str(thetai),')'])xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,2),plot(wt,p,wt,xline),gridtitle('p(t)=v(t)i(t)'),xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,3),plot(wt,pr,wt,PP,wt,xline),gridtitle('pr(t)Eq.2.6'),xlabel('\omegat,degree')subplot(2,2,4),plot(wt,px,wt,xline),gridtitle('px(t)Eq.2.8'),xlabel('\omegat,degree')subplot(111)運行新的GUI程序（chp2ex1gui）。能看到負載從感性變?yōu)樽栊院腿菪詴r，瞬時功率的結(jié)果2.3COMPLEXPOWER

復(fù)功率圖2.3感性負載的相量圖和功率三角形（PF滯后）如圖2.3所示，式（2.1）的電壓有效值相量和式（2.2）的電流有效值相量分別為and則的結(jié)果為用表示復(fù)功率(2.10)S的幅值為視在功率當(dāng)電壓電流的相角差(阻抗角)是正值時（即負載阻抗為感性，I滯后于V

），無功功率Q是正的。當(dāng)電壓電流的相角差(阻抗角)是負值時（即負載阻抗為容性，I超前于V)，無功功率是負的，如圖2.4所示。圖2.4容性負載的相量圖和功率三角形（超前PF）如果負載阻抗為Z，那么(2.11)將V代入式（2.10）中得(2.12)功率三角形和阻抗三角形是相似三角形，所以阻抗角有時被稱為功率角powerangle

。類似地，把式（2.11）中的I代入式（2.10）得(2.13)由式（2.13）得，用復(fù)功率S表示的阻抗為(2.14)2.4THECOMPLEXPOWERBALANCE

復(fù)功率平衡

從功率守恒的角度看，顯然電源提供的有功功率等于各負載吸收的有功功率之和。同時，無功功率也必須保持平衡。這樣，傳遞給并聯(lián)負載的總復(fù)功率就是傳遞給每個負載的復(fù)功率之和。證明如下圖2.5

并聯(lián)的三個負載圖2.5中所示三個負載的總復(fù)功率如下例2.2（chp2ex2）上圖電路中。求每個負載吸收的功率及總的復(fù)功率?？倧?fù)功率為另外，可以先求出總電流進而求得傳遞給負載的復(fù)功率之和。(2.15)最后看圖2.6，它是電流相量圖和復(fù)功率的矢量表示。圖2.6電流相量圖和功率平面圖復(fù)功率也可直接由式（2.14）得到2.5POWERFACTORCORRECTION

功率因數(shù)校正

由式（2.7）可以看出，如果功率因數(shù)小于1，視在功率會比大。當(dāng)時供電電流會比時大，盡管兩種情況下提供的平均功率是相同的，但是供電公司要付出額外的成本。供電公司和用戶都非常希望系統(tǒng)中主要負載的功率因數(shù)盡可能的接近于1。為了保持功率因數(shù)接近于1，供電公司會在全網(wǎng)中安裝電容器組，并且會向低功率因數(shù)運行的工業(yè)用戶征收額外費用。因為工業(yè)負載大多是感性的，具有滯后的低功率因數(shù)，所以安裝電容器來改善功率因數(shù)是有利的。這種考慮對于居民和小商業(yè)用戶并不重要，因為它們的功率因數(shù)接近于1。例2.3（chp2ex3）兩個負載接在一個200V、60Hz的電源上，如圖2.7所示。圖2.7例2.3的電路圖和功率三角形(a)求總的有功和無功功率，電源的功率因數(shù)和總電流?？傄曉诠β屎碗娏鳛殡娫吹墓β室驍?shù)為（滯后）（b）把功率因數(shù)改善至0.8（滯后）時，求與負載相聯(lián)的電容器的電容。新功率因數(shù)為0.8（滯后）時，總有功功率P=1200W。因此總功率和新的電流為注意供電電流由10A縮小到了7.5A。例2.4（chp2ex4）三個負載并聯(lián)在一個1400V、60Hz的單相電源上，如圖2.8所示。負載1：感性負載，功率因數(shù)為0.28時，視在功率為125kVA。負載2：容性負載，10kW，40kvar負載3：電阻負載，15kW。（a）求總的有功、無功、視在功率和電源功率因數(shù)。圖2.8例2.4的電路圖感性負載具有滯后的功率因數(shù)，容性負載具有超前的功率因數(shù)，電阻負載具有整功率因數(shù)。對于負載1：（滯后）復(fù)功率為總視在功率為總電流為電源功率因數(shù)為（滯后）（b）純電容與上述負載并聯(lián)，將功率因數(shù)提高至0.8（滯后）。試確定這個電容器的額定無功功率（kvar）和電容值()。功率因數(shù)為0.8(滯后)時，總有功功率P=60kW，得出新的無功功率Q’。因此，要求的電容無功功率為并且新的電流為注意電源電流從71.43A減小到了53.57A。2.6COMPLEXPOWERFLOW

復(fù)功率潮流

如圖2.9所示，兩個理想電源由阻抗為的導(dǎo)線連接圖2.9

兩個互連的電壓源設(shè)電壓相量。按照電流的假定方向復(fù)功率于是，始端的有功和無功功率為(2.16)(2.17)電力系統(tǒng)輸電線的電阻與電抗相比較小。假設(shè)(即)，上述公式變?yōu)?2.18)(2.19)因為R=0，所以輸電線沒有損耗，發(fā)出的有功功率等于吸收的有功功率。從以上結(jié)果可以看出，對于具有小比值的典型電力系統(tǒng)，需要注意以下幾點：1．式（2.18）顯示出或的微小變化會對有功功率潮流產(chǎn)生重要的影響，而電壓幅值的微小變化則不會對有功功率潮流產(chǎn)生明顯的影響。因此，輸電線上的有功潮流主要是由兩端電壓的相角差決定的（即），此處如果超前于，則是正的，有功功率從節(jié)點1流向節(jié)點2。如果滯后于，則是負的，有功功率從節(jié)點2流向節(jié)點1。2．假設(shè)R=0，則當(dāng)時功率達到理論最大值（靜態(tài)傳輸容量），最大傳輸功率如下式（2.20）3.為了保持暫態(tài)穩(wěn)定，電力系統(tǒng)通常運行在小負載角下。而且，由式（2.19）可知無功功率潮流是由端電壓的幅值差決定的（即）。例2.5（chp2ex5）兩個電壓源的短線路相連，如圖2.9所示。確定始端發(fā)出的和末端吸收的有功功率和無功功率，以及線路的功率損耗。線路損耗為由上述結(jié)果可知，是負的，是正的，電源1吸收功率97.5W，電源2發(fā)出功率107.3W，線路的有功功率損耗為9.8W。線路的有功功率損耗可由下式檢驗并且，是正的，是負的，電源1發(fā)出363.3var的無功，電源2吸收194.5var的無功，線路的無功功率損耗為68.8var。線路的無功功率損耗可由下式檢驗例2.6（chp2ex6），（chp2ex6gui）本例題涉及兩個電壓源間的功率潮流方向。為例2.5系統(tǒng)寫出一個MATLAB程序，讓電源1的相角從初值開始以5°為步長變化±30°。兩個電源的電壓幅值和電源2的電壓相角保持不變。計算每個電源的復(fù)功率和線路損耗。列表顯示有功功率，畫出相對于電壓相角的圖形。命令如下E1=input('Source#1VoltageMag.=');a1=input('Source#1PhaseAngle=');E2=input('Source#2VoltageMag.=');a2=input('Source#2PhaseAngle=');R=input('LineResistance=');X=input('LineReactance=');Z=R+j*X;%線路阻抗a1=(-30+a1:5:30+a1)';%a1變化+/-30度a1r=a1*pi/180;%角度轉(zhuǎn)弧度k=length(a1);a2=ones(k,1)*a2;%創(chuàng)建列a2a2r=a2*pi/180;%角度轉(zhuǎn)弧度V1=E1.*cos(a1r)+j*E1.*sin(a1r);V2=E2.*cos(a2r)+j*E2.*sin(a2r);I12=(V1-V2)./Z;I21=-I12;S1=V1.*conj(I12);P1=real(S1);Q1=imag(S1);S2=V2.*conj(I21);P2=real(S2);Q2=imag(S2);SL=S1+S2;PL=real(SL);QL=imag(SL);Result1=[a1,P1,P2,PL];disp('')disp('Delta1P－1P－2P－L')disp(Result1)plot(a1,P1,a1,P2,a1,PL)xlabel('Source#1VoltagePhaseAngle')ylabel('P,Watts')text(-26,-550,'P1'),text(-26,600,'P2'),text(-26,100,'PL')得出Source#1VoltageMag.=120Source#2VoltageMag.=100Source#2PhaseAngle=0LineResistance=1LineReactance=7Delta1P-1P-2P-L-35.0000-872.2049967.011994.8070-30.0000-759.8461832.15372.3078-25.0000-639.5125692.484852.9723-20.0000-512.1201549.067636.9475-15.0000-378.6382402.993824.3556-100000-240.0828255.375115.2923-5.0000-97.5084107.33499.8265048.0000-40.00008.00005.0000195.3349-185.50849.826510.0000343.3751-328.082815.292315.0000490.9938-466.638224.355620.0000637.0676-600.120136.947525.0000780.4848-727.512552.9723觀察圖2.10可以看出，互聯(lián)時的有功功率潮流取決于端電壓的相角差。2.7BALANCEDTHREE-PHASECIRCUITS

平衡三相電路

電力系統(tǒng)的發(fā)電、輸電、配電是通過三相電路完成的。發(fā)電廠發(fā)出幅值相等但相角彼此相差120°的三相正弦電壓，這就是對稱電源（balancedsource)。如果發(fā)出的電壓以相序ABC相繼達到峰值，則發(fā)電機具有正相序，如圖2.11（a）所示。如果相序為ACB，則發(fā)電機具有負相序，如圖2.11（b）。圖2.11（a）正相序或ABC相序（b）負相序或ACB相序三相系統(tǒng)傳遞給外部負載的瞬時功率是恒定的，而單相電路的瞬時功率卻是脈動的。并且，三相電機具有恒定的轉(zhuǎn)距，能更好的啟動和運行。三相功率的這種特點，加之較高的傳輸效率，即傳遞相同的功率需要更少的導(dǎo)線，使它得到了廣泛的使用。電力系統(tǒng)中的發(fā)電機采用Y－連接，負載采用Y－連接或△－連接。發(fā)電機很少采用△－連接，因為如果電壓不是十分對稱，會有凈余電壓，必然會在中產(chǎn)生環(huán)流。并且，Y－連接的相電壓較低，絕緣水平也要求較低。圖2.12說明了一個Y－連接的發(fā)電機通過一個三相線路與對稱Y－連接的負載相連。假設(shè)相序為正序（ABC），發(fā)出的電壓為：(2.21)在電力系統(tǒng)中，需要確保傳輸線的負載對稱。對于對稱負載，發(fā)電機的端電壓和負載端相電壓是對稱的。對A相，它們由下式給出(2.22)(2.23)2.8Y-CONNECTEDLOADS

Y－連接負載

為了找出線電壓和相電壓間的關(guān)系，我們假設(shè)相序為正（ABC）時，任意選擇一相的相電壓作為參考，這樣(2.24)式中，表示相電壓的大?。ㄏ鄬τ谥行渣c）。由基爾霍夫定律求得負載端的線電壓(2.25)圖2.12Y－連接發(fā)電機給Y－連接的負載供電圖2.13相電壓和線電壓相量圖如果任一個線電壓的有效值用表示，那么Y－連接三相負載的一個重要特性可由下式表示(2.26)即對于Y－連接的負載而言，線電壓的大小是相電壓大小的倍，并且在正相序中，線電壓超前相電壓。圖2.12的三相電流也保持三相對稱，如下式(2.27)式中，是阻抗角。導(dǎo)線中的線電流也是相電流(經(jīng)過相阻抗的電流)。即(2.28)2.9△-CONNECTEDLOADS

△－連接負載

圖2.14－連接的負載顯然，線電壓等于相電壓。(2.29)慮相量圖2.15，任意選擇相電流作為參考。我們得出(2.30)圖2.15相電流和線電流相量圖說明了線電流和相電流之間的關(guān)系。利用基爾霍夫電流定律，得出相電流和線電流之間的關(guān)系(2.31)如果以表示任一線電流，那么△－連接三相負載的一個重要特點可以表示為(2.32)對于△－連接的負載而言，線電流的大小是相電流的倍，并且在正相序中，線電流滯后相電流30°2.10△-YTRANSFORMATION

△-Y變換

(圖2.16(a)to(b)Y－connection)為了簡化網(wǎng)絡(luò)，有時需要把△－連接電路變換成等效的Y－連接電路。假設(shè)虛構(gòu)的Y－連接電路，每相阻抗為，它等效于每相阻抗為的△－連接電路，如圖2.16所示。對于△－連接的電路，相電流為(2.33)圖2.17相電壓和線電壓的相量圖說明了對稱相和線電壓之間的關(guān)系。由這個相量圖，我們發(fā)現(xiàn)(2.34)(2.35)代入式（2.33），得或者（2.36）（2.37）（2.38）對于Y－連接電路，我們可以得出這樣，由式(2.36)和(2.37)，我們得出2.11PER-PHASEANALYSIS

單相分析

圖2.12中對稱Y－連接負載的中性線電流為（2.39）因為中性線上沒有電流，所以中性線的阻抗可以是任意阻抗值，可以是短路阻抗，也可以是開路阻抗。中性線可能不實際存在，但不管怎樣，兩個中性點之間可以是零阻抗，對稱三相問題能在每相的基礎(chǔ)上解決，其余兩相電流大小和這一相相等，相位互差120°?？紤]一相，如A相圖2.18用于每相分析的單相電路如果三相電路中的負載采用△－連接，它能通過變換轉(zhuǎn)換為Y－連接。當(dāng)負載對稱時，Y－連接的每一條邊的阻抗是△－連接每一條邊阻抗的1/3，如式（2.38）所示，電路可由單相等效電路來模擬。2.12BLANCEDTHREE-PHASEPOWER

對稱三相功率

考慮一個對稱三相電源，連接一個對稱Y－連接或△－連接負載，瞬時功率如下（2.40）（2.41）對于對稱負載，相電流為式中和分別為相電壓、相電流有效值的大小?？偹矔r功率是每一相瞬時功率的和，即（2.42）（2.43)將式(2.14)和式(2.41)中的瞬時電壓、電流代入式(2.42)利用三角恒等式(2.4)得式（2.43）中三個倍頻的余弦項彼此相差，加起來等于0，所以三相瞬時功率為是相電壓和相電流間的相角差或阻抗角。注意雖然每相功率是變化的，但總瞬時功率是恒定的，等于單相有功功率的三倍。事實上，恒定的功率是三相系統(tǒng)的主要優(yōu)點。因為每一相功率是變化的，所以功率由有功功率和無功功率組成。為了保持有功和無功功率公式上對應(yīng)，通過定義三相無功功率延伸了復(fù)功率和視在功率的概念。這樣，三相復(fù)功率為或（2.45）（2.46）（2.47）（24.8)(2.49)式（2.44）和（2.45）有時用線電壓和線電流的有效值表示。Y－連接負載的相電壓，相電流?！鳎B接時，，。把相電壓、相電流代入式（2.44）和式（2.45）中，兩種連接的有功功率和無功功率都為和對比最后兩個表達式與式（2.44）、式（2.45），可知當(dāng)功率以線電壓線電流表示時