幾何與代數(shù)：第五章 特征值與特征向量

第五章

特征值與特征向量

第一節(jié)

矩陣的特征值與特征向量

第二節(jié)

相似矩陣第三節(jié)

實對稱矩陣的相似對角化

第四節(jié)

矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

第五節(jié)

用Matlab解題

柯西[法]A.L.Cauchy(1789.8-1857.5)凱萊[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)克萊伯施[德]R.F.A.Clebsch

(1833.1-1872.11)約當(dāng)[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量

075057075

156100.21

x

y

x

y

505057570707

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量100.21

x

y

=

x

y

=

x

y

1001=

x

y

00

x

y

00

100.21=00

x

y

1

00.2

1=00(1)2=0=01

00.2

1=1

x

y

000.2000=

x

y

=(kR)0

k00.2x

=0

0

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量075057075

156100.210

k

0

k

=1(kR)0

k

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=2

A=0.5

2000.5A=/6cossin

sincos

B=

一.特征值與特征向量的概念第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=

n階方陣

非零向量

特征值

特征向量

對應(yīng)

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=

(EA)=0|EA|=0

特征方程

|EA|=

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n…………

an1

an2…ann

特征多項式

特征值

特征向量

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于1=2的特征向量為對于1=2,(2EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(kR).kk(0kR).

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于2=4的特征向量為對于2=4,(4EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(kR).kk(0kR).

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=1.

對于1=2,

求得(2EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p1=(0,0,1)T.

對應(yīng)于1=2的特征向量為kp1(0kR).

對于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p2=(1,2,1)T.

對應(yīng)于2=3=1的特征向量為kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.110430102

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值為1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基礎(chǔ)解系:p1=(1,0,1)T.

對應(yīng)于1=1的特征向量為kp1(0kR).

(2E–A)x=0的基礎(chǔ)解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

對應(yīng)于2=3=2的特征向量為k2p2+k3p3

(k2,k3不同時為零).例3.求A=的特征值和特征向量.211020413

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量二.特征值的性質(zhì)a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann(a11)(a22)…(ann)f(0)=|A|=(1)n|A|.A的跡,記為tr(A)

f()=

|E

A|==n(a11+a22+…+ann)n1+…

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量定理5.1.|E

Ann|是的n次首1多項式.|E

Ann|的n1次項的系數(shù)為tr(A).|E

Ann|的常數(shù)項為(1)n|A|.

推論1.若|EAnn|=(1)(2)…(n),則1+2+…+n=tr(A),

12…n=|A|.

推論2.Ann可逆A的特征值均不為零.例4.若3階方陣EA,E+A,2E3A都不可逆,

則|1EA|=|1EA|=|EA|=0,23

tr(A)=1

1+=,232323|A|=.

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=

特征值

特征向量

A2=A(A)=

=A()=A

=2

An=n

(anAn+…+a1A

+a0E)

=anAn

+…+a1A

+a0

=ann

+…+a1

+a0

=(ann

+…+a1

+a0)

(A)==()

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

()=

O=

()=0(A)

=O

=

A1

A1

=1

A可逆

An

=n

A*A=

A*

0|A|E=|A|=A*=1|A|

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

(A)

=O

()=0A可逆

An

=n

0A*=1|A|

例5.若A33的特征值為1,1,2,則|A|=2.

A*的特征值為2,2,1.

§5.2相似矩陣

一.矩陣的相似

§5.2相似矩陣第五章特征值與特征向量Ps.t.P1AP=B

1.A與B相似(記為A~B):

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.E1AE=A

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣P1AP=B

2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.(2)對稱性:A~BB~A.PBP

1=

A

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣P1AP=B

2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.(2)對稱性:A~BB~A.(3)傳遞性:A~B,

B~CA~C.Q1BQ=CQ1(P1AP)Q=(PQ)1A(PQ)

=

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣P1AP=B

2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.(2)對稱性:A~BB~A.(3)傳遞性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).P1A2P

=P1APP

1AP

=B2

P1AnP

=Bn

P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP

=P1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B)

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.(2)對稱性:A~BB~A.(3)傳遞性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).(5)P1AP=BA與B等價,r(A)=r(B).

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣P1AP=B

2.性質(zhì)(1)反身性:A~A.(2)對稱性:A~BB~A.(3)傳遞性:A~B,

B~CA~C.(4)A~Bf(A)~f(B).(5)P1AP=BA與B等價,r(A)=r(B).(6)可逆矩陣A~BA1

~B1.(P1AP)1=

B1

P1A1P

=

B1

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣二.矩陣相似的必要條件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B||P|1|E

A||P|=|P1||E

A||P|=|P1(E

A)P|=|(P1E

P1A)P|=|P1EP

P1AP|=|P1P

B|=|E

B|.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣二.矩陣相似的必要條件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.1+2+…+n

12…n

(1)(2)…(n)=tr(A)==tr(B)|A|==|B|

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣二.矩陣相似的必要條件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.推論.A~BA與B有相同的特征值tr(A)=tr(B),|A|=|B|.P1AP=B

A=

B(P1)=P1APP1

=P1A=P1=(P1)

|B|=|P1AP|=|P1||A||P|=|P|1|A||P|=|A|.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣二.矩陣相似的必要條件定理5.2.P1AP=B|E

A|=|E

B|.推論.A~BA與B有相同的特征值tr(A)=tr(B),|A|=|B|.例6.01x3~250y

0+3=2+y

x=2y

x=2,y=1.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣注:特征多項式相同的矩陣未必相似.例如A=1011,B=1001,假若P

–1AP=B,則A=PBP

–1=B.矛盾!|E

A|=|E

B|==(1)2.11

01=(1)2.10

01

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣三.相似對角化問題求A11.設(shè)P1AP=,P=,=14111002,A=PP1

A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)

11=100211=P11P1

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣A~==P1AP10…002…0…………00…nP=(1,…,n)可逆1,…,n線性無關(guān)P1AP=AP=P

(A1,…,An)

=(11,…,nn)

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣定理5.3.Ann相似于對角矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于1=2的特征向量為對于1=2,(2EA)x=0

即3113|EA|=3113=(2)(4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(kR).kk(0kR).

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于2=4的特征向量為對于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(kR).kk(0kR).[評注]令P=

1

1

1

1

,

則P1AP

=

2004

.

令Q=

1

1

1

1

,

則Q1AQ

=

4002

.

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=1.

對于1=2,

求得(2EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p1=(0,0,1)T.

對應(yīng)于1=2的特征向量為kp1(0kR).

對于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p2=(1,2,1)T.

對應(yīng)于2=3=1的特征向量為kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.[問]A相似于對角矩陣嗎?110430102

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值為1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基礎(chǔ)解系:p1=(1,0,1)T.

對應(yīng)于1=1的特征向量為kp1(0kR).

(2EA)x=0的基礎(chǔ)解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

對應(yīng)于2=3=2的特征向量為k2p2+k3p3

(k2,k3不同時為零).例3.求A=的特征值和特征向量.211020413

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣1

——A的特征向量1

——A的特征值結(jié)論:條件:1線性無關(guān)

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣1,2——A的特征向量1,2——A的互異的特征值結(jié)論:條件:1,2線性無關(guān)k11+k22=

A(k11+k22)=

k1A1+k2A2=

k121+k222=

k111+k222=

k1(12)1

=

k1(12)

=0k1

=0k22=

k2

=0

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣1,2,3——A的特征向量1,2,3——A的互異的特征值結(jié)論:條件:1,2,3線性無關(guān)k11+k22+k33=

A(k11+k22+k33)=

k1A1+k2A2+k3A3=

k131+k232+k333=

k111+k222+k333=

k1(13)1+k2(23)2=

k1(12)=k2(23)=0k1

=k2

=0k33=

k3

=0

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣1,2,…,s——A的特征向量1,2,…,s——A的互異的特征值結(jié)論:條件:1,2,…,s線性無關(guān)k11

+k22

+…+ks1s1+kss=

A(k11+k22+…+ks1s1+kss)=

k1A1+k2A2+…+ks1As1+ksAs=

k1s1+k2s2+…+ks1ss1+ksss=

k111+k222+…+ks1s1s1+ksss=

k1(1s)1+k2(2s)2+…+ks1(s1s)s1=

k1(12)=k2(23)=…=ks1(s1s)=0k1

=k2

=…=ks1=0kss=

ks

=0

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣定理5.4.1,2,…,s

——A的特征向量1,2,…,s

——A的互異的特征值1,2,…,s線性無關(guān)1

2

A,線性無關(guān)

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣定理5.4.1,2,…,s

——A的特征向量1,2,…,s

——A的互異的特征值1,2,…,s線性無關(guān)推論.Ann有n個互異的特征值1,2,…,n

A~.n

1

2

…

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?.123045006~100040006例8.若A=相似于對角矩陣,a

x

y

0a

z

00a|EA|=a

x

y

0a

z

00a=(a)3

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?.123045006~100040006例8.若A=相似于對角矩陣,a

x

y

0a

z

00a則(aEA)x=有3個線性無關(guān)的解,故3r(aEA)=3,即r(aEA)=0,可見aEA=0

x

y

00

z

000=O,即x=y=z=0.Asnx=有nr(A)個線性無關(guān)的解

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?.123045006~100040006例8.若A=相似于對角矩陣,a

x

y

0a

z

00a則有P1AP=于是A=P(aE)P1

a000a000a=aE.=aPP1=aE.即x=y=z=0.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣定理5.5.1,2,…,s

A11,…,1t

,1線性無關(guān)11,…,1t

,21,…,2t

,

…,

s1,…,sr

線性無關(guān)12

s

2

線性無關(guān)21,…,2t

,

…,

s

線性無關(guān)s1,…,st

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣s=2的情形:1

1,…,s1,…,r2

線性無關(guān)線性無關(guān){1,…,s,1,…,r}線性無關(guān)k11+…+kss+l11+…+lrr=0證明:k11+…+kss=l11+…+lrr=0

k1=…=ks=l1=…=lr=0Ak11+…+kss+l11+…+lrr=0k11+…+kss=l11+…+lrr=0假若k11

+…+kss0,則

②l11

+…+lrr0A(k11

+…+kss)①

k11

+…+kss是A的對應(yīng)于1的特征向量=k1A1

+…+ksAs

=k111

+…+ks1s

=1(k11

+…+kss)③l11

+…+lrr是A的對應(yīng)于2的特征向量

而k11

+…+kss與l11

+…+lrr線性相關(guān)矛盾!

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣1

1,…,s1,…,r2

A線性無關(guān)線性無關(guān){1,…,s,1,…,r}線性無關(guān)k11+…+kss+l11+…+lrr=0證明:k11+…+kss=l11+…+lrr=0

k1=…=ks=l1=…=lr=0

s=2的情形:

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(2)(1)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=1.

對于1=2,

求得(2EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p1=(0,0,1)T.

對應(yīng)于1=2的特征向量為kp1(0kR).

對于2=3=1,

求得(EA)x=0

的基礎(chǔ)解系:p2=(1,2,1)T.

對應(yīng)于2=3=1的特征向量為kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.二重一重一個一個110430102

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量解:|EA|=(+1)(2)2.

所以A的特征值為1=1,2=3=2.

(EA)x=0的基礎(chǔ)解系:p1=(1,0,1)T.

對應(yīng)于1=1的特征向量為kp1(0kR).

(2EA)x=0的基礎(chǔ)解系:

p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.

對應(yīng)于2=3=2的特征向量為k2p2+k3p3

(k2,k3不同時為零).例3.求A=的特征值和特征向量.二重一重一個二個211020413

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?.

若A55的特征值為特征向量:,,1,2,3(線性無關(guān))1(一重),2(一重),1,1,1(三重),令P=(,,1,2,3),則P1AP=1000002000001000001000001

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣反之,若則P1(1EA)P

=P1AP=1000002000001000001000001

(1EP1AP)0

3

2

2

2

=1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

=

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣反之,若則r(1EA)=r(P1(1EA)P)=4,P1AP=1000002000001000001000001

0

3

2

2

2

=1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

54=1,因而(1EA)x=有1個線性無關(guān)的解,即A有1個線性無關(guān)的特征向量與1對應(yīng).Asnx=有nr(A)個線性無關(guān)的解

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣反之,若r(2EA)=r(P1(2EA)P)=4,P1AP=1000002000001000001000001

A有1個線性無關(guān)的特征向量與2對應(yīng).則P1(2EA)P

=(2EP1AP)3

0

2

2

2

=1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

=

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣反之,若則P1(1EA)P

=P1AP=1000002000001000001000001

(1EP1AP)2

1

0

0

0

=1

2

1

1

1

1

1111=r(1EA)=r(P1(1EA)P)=2,52=3,因而A有3個線性無關(guān)的特征向量與1對應(yīng).

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣定理5.6.A相似于對角矩陣k重特征值對應(yīng)k個線性無關(guān)的特征向量.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?0.若2是A=111a4b

335r(2EA)=1,可見a=2,b=2.A相似于對角矩陣,的二重特征值,且則3

r(2EA)=2,而2EA=111a

2b

33

31110a2ab

00

0a(3)此時(2EA)x=的一個基礎(chǔ)解系為:(1,0,1)T,(0,1,1)T.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?0.若2是A=111a4b

335又因為tr(A)=10,(6EA)x=的一個基礎(chǔ)解系為:A相似于對角矩陣,的二重特征值,且則a=2,b=2.所以A的另一個特征值為1022=6.此時(2EA)x=的一個基礎(chǔ)解系為:(1,0,1)T,(0,1,1)T.(1,2,3)T.

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?0.若2是A=111a4b

335A相似于對角矩陣,的二重特征值,且則a=2,b=2.令P=,1010121

13則P1AP=.22

6

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣?yán)?1.5400萬A公司B公司26002800一周后10%12%ak+1=0.9ak+0.12bk

bk+1=0.1ak+0.88bk

ak+1

bk+1ak

bk=A

26002800a0

b0=0.90.120.10.88A=

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣26002800a0

b0=ak+1

bk+1ak1

bk1=A2

0.90.120.10.88A=,,ak

bk=A

=…=a0

b0Ak+1

>>A=[0.9,0.12;0.1,0.88];[P,D]=eig(A)>>

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣>>A=[0.9,0.12;0.1,0.88];[P,D]=eig(A)>>P=0.7682-0.70710.64020.7071D=1.0000000.7800P1AP=D,A=PDP1,Ak+1=(PDP1)(PDP1)(PDP1)…(PDP1)(PDP1)PDk+1P1.

>>

第五章特征值與特征向量§5.2相似矩陣P*[1,0;0,0.78^(k+1)]*P^(-1)*[2600;2800]symsk%定義符號變量>>ans=[32400/11-3800/11*(39/50)^(k+1)][27000/11+3800/11*(39/50)^(k+1)]ak+1

bk+1a0

b0=Ak+1

a0

b0=PDk+1P1

ak+1

bk+1=2945.52454.5§5.3實對稱矩陣的相似對角化

一.實對稱矩陣的性質(zhì)

§5.3實對稱矩陣的相似對角化第五章特征值與特征向量AT=A

Mn(R),A=,=(a1,…,an)TCn.()T=0

TAT=T==TAT=(A)T=T=(A)TT=a1a1+…+anan>0

=0性質(zhì)5.1.實對稱矩陣的特征值均為實數(shù).

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化11T(1–2)1T2=011T2AT=A

Mn(R),1,2Rn,A1=11,A2=22,1

2R,=1TA

=(A1)T

=1TAT

=21T2,=1TA2

=1T(22)1T2=0.性質(zhì)5.2.實對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交.

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化定理5.7.AT=A

Mn(R)正交矩陣Q使得

Q1AQ=QTAQ是對角矩陣.二.實對稱矩陣正交相似對角化的計算(EA)x=

|EA|=0特征值特征向量正交化單位化Q

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化例11.把A=正交相似對角化.解:|E–A|=(–2)(–4)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=4.

(2E–A)x=的基礎(chǔ)解系:1=(0,1,–1)T.(4E–A)x=的基礎(chǔ)解系:

2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.

1,2,3已經(jīng)兩兩正交,將它們單位化可得400031013Q=,Q1AQ=QTAQ=.200040004

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化例12.把A=正交相似對角化.解:|EA|=2(3).

所以A的特征值為1=2=0,3=3.(0EA)x=的基礎(chǔ)解系:

1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T.

(3EA)x=的基礎(chǔ)解系:3=(1,1,1)T.111111111

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,

3=(1,1,1)T.令p2=22,11,11

.

=1/2

1/2

11

1012=1

01再令q1=1

||1||,

=1/2

1/2

0q2=p2

||p2||,

=1/6

1/6

2/6q3=3

||3||,

=1/3

1/3

1/3Q=(q1,q2,q3),則Q1AQ=QTAQ=.000000003

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化例11.把A=正交相似對角化.另解:由于A是3階實對稱矩陣,111111111又因為r(A)=1,所以1,2,3中有兩個為零,一個非零.根據(jù)1+2+3=tr(A)=3,可設(shè)1=3,2=3=0.100020003

.故A~(3EA)x=的基礎(chǔ)解系:1=(1,1,1)T.

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化(0EA)x=的一個非零解為:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基礎(chǔ)解系:1=(1,1,1)T.x1+x2+x3=0x1+x2=0的一個非零解為:3=(1,1,2)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q2,q3),則Q1AQ=QTAQ=.300000000

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化(0EA)x=的一個非零解為:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基礎(chǔ)解系:1=(1,1,1)T.,

1/2

1/2

0q2=,

1/6

1/6

2/6q3=令q1=,

1/3

1/3

1/3Q=(q1,q2,q2),則Q1AQ=QTAQ=.300000000令3=12

=(1,1,2)T.1110,1101,1111=T

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(–10),3=(1,2,2)T,A3=103.(1)由性質(zhì)5.2可知:A

=()3;因而

=k11+k22是對應(yīng)于1的特征向量.反之,設(shè)3,(1,2是A的對應(yīng)于1的線性無關(guān)的特征向量).且

=k11+k22+k33

則=0.,3k3||3||2=k11,3+k22,3+k33,3=綜上所述,A

=()3.故k3=0,

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化(2)對應(yīng)于1兩個線性無關(guān)的特征向量可取為將正交向量組1,2,3單位化得正交矩陣x1+2x22x3=0的正交的基礎(chǔ)解系:1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(–10),3=(1,2,2)T,A3=103.(1)A

=()3;Q=,2/32/31/31/32/32/32/31/32/3

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化A=QQT=例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(–10),3=(1,2,2)T,A3=103.Q=,2/32/31/31/32/32/32/31/32/3QTAQ=Q1AQ==,1000100010

222254245.

第五章特征值與特征向量§5.3實對稱矩陣的相似對角化(2)對應(yīng)于1兩個線性無關(guān)的特征向量可取為令P=(1,2,3),x1+2x22x3=0的基礎(chǔ)解系:1=(2,1,0)T,2=(2,0,1)T.例12.AT=A

M3(R),|E–A|=(–1)2(–10),3=(1,2,2)T,A3=103.(1)A

=()3;則P1AP=.A=PP1=222254245.§5.4矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型一.Cayley-Hamilton定理

§5.4矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型第五章特征值與特征向量凱萊[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密爾頓[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)

第五章特征值與特征向量§5.4矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理5.8.c()=|E–Ann|則c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–Ann|=a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0

=ntr(A)n1+…+(1)n|A|.

第五章特征值與特征向量§5.4矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型c()=n

+an1n1+…+a1+a0

c(A)=An

+an1An1+…+a1A+a0E

c(A)=OAn

+an1An1+…+a1A=a0E

=A(An1

+an1An2+…+a1E)當(dāng)A可逆時,a0=(1)n|A|0,

于是A1=1a0

(An1

+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…

第五章特征值與特征向量§5.4矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型例13.已知A=122103112,求A100.解:c()=|E–A|=(+1)2(1).分別將

=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,設(shè)100=c()g()+a2+b+c,1=ab