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文檔簡介
第二章矩陣§2.2可逆矩陣
一.行列式的乘法定理
二.可逆矩陣
三.可逆矩陣性質(zhì)
上一節(jié)介紹了矩陣的一些基本運算。其中矩陣加法和減法可以看作互逆運算;如何規(guī)定矩陣乘法的逆運算呢?逆矩陣就是我們尋找的。
一.行列式的乘法定理
定理2.1(乘法定理):假設(shè)A、B都是n階矩陣,則|AB|=|A|·|B|
二.可逆矩陣
在數(shù)的運算中,當數(shù)a
0時,有其中為a的倒數(shù),或稱為a的逆。分塊初行變列對換所以|A|·|B|=|AB|證:則矩陣A-1稱為A的可逆矩陣或逆陣。
在矩陣的運算中,單位陣E相當于數(shù)的乘法運算中的1。對于矩陣A,如果存在一個矩陣A-1,使得1.逆矩陣定義
定義:對于n階矩陣A,若存在n階矩陣B,使則稱矩陣A是可逆的,并稱滿足上式的矩陣B為A的逆矩陣。記作A-1(A-1=B)
說明(1).在定義中矩陣A與B地位相同,如果B是A的逆矩陣;則A也是B的逆矩陣;(互逆的)
說明(2).可逆矩陣A與的逆矩陣是唯一的;事實上,若AB=BA=E,AC=CA=E,則
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。逆矩陣唯一例如
說明(3).不是所有的矩陣都有逆矩陣。
例如與任意的2階矩陣相乘,都不可能等于單位矩陣E例1.解:設(shè)A的逆矩陣為利用待定系數(shù)法求矩陣A的逆矩陣則又因為所以
問題:在什么條件下,n階矩陣A是可逆的;如果可逆,如何求出它的逆矩陣?
分析:
將行列式展開定理1.2和推論1.3結(jié)合,得行展開列展開該矩陣與逆矩陣有關(guān)系2.伴隨矩陣
定義:設(shè)n階矩陣在A中的代數(shù)余子式稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。
說明(1).伴隨矩陣的第i行元素是A的第i列元素的代數(shù)余子式;第j列元素是A的第j行元素的代數(shù)余子式。
說明(2).伴隨矩陣A*的第i行、第j列元素是Aji,注意兩點——代數(shù)余子式和轉(zhuǎn)置。
例2.計算下列矩陣的伴隨矩陣
解:(1)根據(jù)定義,有“主換位,負變號”(2)計算代數(shù)余子式
根據(jù)前面的分析和伴隨矩陣的定義,可得
引理2.1:設(shè)n
2,A*是矩陣A=(aij
)的伴隨矩陣,則
3、定理2.2:n階矩陣A可逆的充要條件是,且此時
證:(必要性)若可逆,(充分性)
說明(4).稱A是非奇異的、或非退化的稱A是奇異矩陣、或退化的
定理2.2等價形式:A可逆A是非奇異的
說明(3).定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件,也給出了求逆矩陣的公式。4.推論2.3:矩陣A、B均是n階矩陣,且滿足:AB=E(或BA=E),則A、B互為逆矩陣。
說明(5).推論表明,判別B是否為A的逆矩陣,只需驗證AB=E(或BA=E)即可。
解:
例3.
判別下列矩陣是否可逆,并求出逆矩陣。
例4.
n階矩陣A、B滿足A+B=AB。證明(A–E)可逆,并求逆矩陣。
解:由A+B=AB,得:AB–A–B+E=E
即(A–E)(B–E)=E
所以A–E
可逆,且(A–E)-1=B–E
說明(6).伴隨矩陣法最多求3階逆矩陣。
三、可逆矩陣的性質(zhì)
說明(1).性質(zhì)4可以推廣到有限個矩陣相乘求逆。
練習1:求下列行列式、伴隨矩陣或逆矩陣。
提示:利用關(guān)系式
練習2:設(shè)A是3階方陣,且|A|=3,計算:
例5.
n階矩陣A滿足A2-2A+3E=0。求(A+E)-1,(A-E)-1
例6.
n階矩陣A、B、C滿足ABC=E,問A、B、C是否可逆,求它們的逆矩陣。
例7.
矩陣A、B、A+B均可逆,則A-1+B-1也可逆,且(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A
說明(2).矩陣乘法的消去律,當A是可逆矩陣時成立,即
利用逆矩陣概念,Cramer法則簡單表示為:
如果n階矩陣A
可逆,則線性方程組Ax=b有唯一解x=A-1b
2.Cramer法則簡潔形式3.矩陣方程
如果線性方程組的
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