流體力學(xué) Char04 量綱分析與相似理論20110505課件

第四章 量綱分析與相似理論工程流體力學(xué)第四章 量綱分析與相似理論§4-1

量綱分析的概念和原理§4-2

量綱分析法§4-3

流動(dòng)相似的基本概念§4-4

流動(dòng)相似準(zhǔn)則§4-5

相似原理的應(yīng)用模型試驗(yàn)第四章 量綱分析與相似理論二、本章重點(diǎn)掌握:量綱分析方法相似理論及其應(yīng)用相似準(zhǔn)則：雷諾準(zhǔn)則、弗勞得準(zhǔn)則、歐拉準(zhǔn)則模型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法第四章量綱分析與相似理論(4學(xué)時(shí))§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位（unit）：表征物理量的大小.如長(zhǎng)度單位m、cm、mm；時(shí)間單位小時(shí)、分、秒等.量綱（dimension）：表征各物理量單位的種類(lèi).如m、cm、mm等同屬于長(zhǎng)度類(lèi)，用L表示；小時(shí)、分、秒等同屬于時(shí)間類(lèi)，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類(lèi)，用M表示.單位：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱(chēng)單位。如長(zhǎng)度單位為m或cm等。——“量”的表征。

量綱：是指撇開(kāi)單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類(lèi)別。如長(zhǎng)度量綱為[L]?！百|(zhì)”的表征。

基本量綱（fundamentaldimension）：具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱叫做基本量綱。一般取長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量，即[L-M-T]誘導(dǎo)量綱（deriveddimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

§4-1量綱分析的基本概念量綱公式（分類(lèi)）:

幾何學(xué)量綱：α≠0,β=0,γ=0，運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ=0動(dòng)力學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。特點(diǎn)：（1）無(wú)量綱單位，它的大小與所選單位無(wú)關(guān)；（2）具有客觀性；（3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無(wú)量綱數(shù)。

§4-1量綱分析的基本概念在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，通常取3個(gè)相互獨(dú)立的物理量作為基本物理量.2.基本物理量：具有獨(dú)立性，但不是唯一性如r（密度）、V（流速）、d（管徑）、F（力）、a（加速度）、l（長(zhǎng)度）等.§4-1量綱分析的基本概念滿(mǎn)足量綱齊次性的物理方程，可用任一項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，使其變?yōu)闊o(wú)量綱方程.

如流體靜力學(xué)基本方程：用除其余各項(xiàng)，可得無(wú)量綱方程：§4-1量綱分析的基本概念§4-2 量綱分析法一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間是指數(shù)形式的乘積組合.如：

瑞利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，瑞利法的計(jì)算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量；2.寫(xiě)出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個(gè)。

教材【例4－1】、【例4－2】§4-2 量綱分析法【例4.2】已知管流的特征流速Vc與流體的密度r、動(dòng)力粘度m和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結(jié)構(gòu).【解】式中k為無(wú)量綱常數(shù).其中，各物理量的量綱：假定例題講解代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有例題講解解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實(shí)驗(yàn)確定.瑞利法一般用于影響流動(dòng)的參數(shù)個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè)時(shí)較為方便.例題講解【例4.3】實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)所受阻力FD與球體直徑d、球體運(yùn)動(dòng)速度V、流體的密度r和動(dòng)力粘度m有關(guān)，試用p定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu).【解】選基本物理量r、V、d，根據(jù)p定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣ɡ}講解對(duì)p

1：解上述三元一次方程組得：其中例題講解【例4.6】試用瑞利法分析溢流堰過(guò)流時(shí)單寬流量q的表達(dá)式。已知q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關(guān)。課堂練習(xí)1.分析影響因素，列出函數(shù)方程解：根據(jù)題意可知，溢流堰過(guò)流時(shí)單寬流量q與堰頂水頭H、水的密度ρ和重力加速度g有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為【解題步驟】2.將q寫(xiě)成H，ρ，g的指數(shù)乘積形式，即課堂練習(xí)6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k1為無(wú)量綱系數(shù)，即流量系數(shù)m，由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。即課堂練習(xí)

【例4.7】求水泵輸出功率的表達(dá)式。已知水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚(yáng)程H有關(guān)。課堂練習(xí)1.分析影響因素，列出函數(shù)方程解：根據(jù)題意可知，水泵的輸出功率N與單位體積水的重量、流量Q、揚(yáng)程H

有關(guān),用函數(shù)關(guān)系式表示為【解題步驟】2.將N寫(xiě)成γ，Q，H的指數(shù)乘積形式，即課堂練習(xí)6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k為無(wú)量綱系數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。課堂練習(xí)§4-3流動(dòng)相似的基本概念對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題，直接應(yīng)用基本方程求解，在數(shù)學(xué)上極其困難，因此需有賴(lài)于實(shí)驗(yàn)研究來(lái)解決。本章主要闡述有關(guān)實(shí)驗(yàn)研究流動(dòng)相似原理。§4-3流動(dòng)相似的基本概念殲10艦載型模型照片汽車(chē)艦船模型三峽大壩模型§4-3流動(dòng)相似的基本概念原型（prototype）：天然水流和實(shí)際建筑物稱(chēng)為原型。模型（model）：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮小（或放大）的代表物，稱(chēng)為模型。

水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn)行觀測(cè)和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來(lái)模擬和研究原型水流問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。

§4-3流動(dòng)相似的基本概念幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件和邊界條件相似模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿(mǎn)足：§4-3流動(dòng)相似的基本概念一、幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線(xiàn)性變量的比值均相等。

長(zhǎng)度比尺：面積比尺：體積比尺：§4-3流動(dòng)相似的基本概念2.

運(yùn)動(dòng)相似

運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

流速比尺：加速度比尺：§4-3流動(dòng)相似的基本概念3.動(dòng)力相似

動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等。所謂同名力，是指具有同一物理性質(zhì)的力。例如重力G、壓力FP、彈性力FE等。

例如假定兩流動(dòng)具有相似，作用在流體任一質(zhì)點(diǎn)的力有重力G、壓力FP、粘性力Fμ和慣性力FI。§4-3流動(dòng)相似的基本概念§4-3流動(dòng)相似的基本概念說(shuō)明：幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提.動(dòng)力相似是決定流動(dòng)相似的主要因素.運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn).§4-3流動(dòng)相似的基本概念4.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流（即在非恒定流中是必須的，在恒定流中則無(wú)需初始條件的相似）。邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線(xiàn)流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

?！?-3流動(dòng)相似的基本概念【想一想】?jī)珊愣髁鲃?dòng)相似應(yīng)滿(mǎn)足哪些條件？

答：應(yīng)滿(mǎn)足幾何相似，動(dòng)力相似，運(yùn)動(dòng)相似及邊界條件相似。

§4-3流動(dòng)相似的基本概念§4-4流動(dòng)相似準(zhǔn)則流動(dòng)相似的本質(zhì)：原型和模型被同一物理方程所描述.這個(gè)物理方程即相似準(zhǔn)則.相似準(zhǔn)則：兩流動(dòng)相似時(shí)，長(zhǎng)度比尺、速度比尺、力的比尺等應(yīng)遵循一定的約束關(guān)系，這種表達(dá)流動(dòng)相似的約束關(guān)系稱(chēng)為相似準(zhǔn)則。流動(dòng)相似的含義：幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)；動(dòng)力相似是決定二個(gè)液流運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)；凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。

因此，在幾何相似的前提下，要保證流動(dòng)相似，主要看動(dòng)力相似。

動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。§4-4流動(dòng)相似準(zhǔn)則前面提到：例如假定兩流動(dòng)具有相似，作用在流體任一質(zhì)點(diǎn)的力有重力G、壓力FP、粘性力Fμ和慣性力FI。流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。所以，上式可以變?yōu)椋荷鲜浇o出了兩流動(dòng)相似時(shí)，重力G、壓力FP、粘性力Fμ應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式。以下將推導(dǎo)出工程流體力學(xué)中常見(jiàn)的相似準(zhǔn)則和相似準(zhǔn)數(shù)。1、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似如果原、模型任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的流體重力相似，則根據(jù)動(dòng)力相似性的要求，有：慣性力和重力的表達(dá)式為：將式（b）、（c）代入式（a）得：（a）（c）（b）（d）由上式可得：上式等號(hào)兩邊均為量綱一的量，稱(chēng)為弗勞德相似準(zhǔn)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)弗勞德準(zhǔn)數(shù)（Froudenumber）。它為慣性力與重力德比值，令：那么原型與模型流動(dòng)滿(mǎn)足重力相似時(shí)，其關(guān)系式可表示為：OR即原型流動(dòng)與模型流動(dòng)的弗勞德準(zhǔn)數(shù)相等，這就是弗勞德（重力）準(zhǔn)則。（d）弗勞德準(zhǔn)則適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變動(dòng)的各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng)等。

OR1、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似一、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似（推導(dǎo)方法2）要保證原型和模型任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的流體重力相似，則據(jù)動(dòng)力相似要求有1、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似重力比尺：式中：慣性力比尺：1、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似故得弗勞德準(zhǔn)則方程：即要保證原型流動(dòng)和模型流動(dòng)的重力相似，則要求兩者對(duì)應(yīng)的弗勞德數(shù)必須相等.1、弗勞德準(zhǔn)則:重力相似2、雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則

當(dāng)粘滯力起主要作用時(shí)，如果原、模型任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的粘性力相似，則根據(jù)動(dòng)力相似性的要求，有：由第一章結(jié)論，流體粘性力可表達(dá)為：慣性力的表達(dá)式為：（c）（a）（b）將式（b）、（c）代入式（a）得：（d）上式等式兩邊的量綱一的量就是雷諾數(shù)：式中：l——為流場(chǎng)中的特征線(xiàn)性長(zhǎng)度；Re——雷諾數(shù)。Re為慣性力與粘性力的比值，式（e）說(shuō)明原型流動(dòng)與模型流動(dòng)粘性力相似，要求原型流動(dòng)與模型流動(dòng)的雷諾數(shù)相等，即：（d）（e）以上結(jié)論即為雷諾準(zhǔn)則。OR（f）2、雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則適用范圍：

主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類(lèi)液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動(dòng)力相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。

OR2、雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則3、歐拉準(zhǔn)則

流體流動(dòng)以動(dòng)水總壓力為主要作用力的情況：

慣性力的表達(dá)式為：壓力的表達(dá)式為：（c）（a）（b）將式（b）、（c）代入式（a）得：（d）上式等式兩邊為量綱一的量，稱(chēng)為歐拉相似準(zhǔn)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)歐拉數(shù)（Eulernumber），即：（e）歐拉數(shù)Eu是流動(dòng)壓力與慣性力的比值。因?yàn)閴簭?qiáng)p和壓差Δp的量綱相同，上式中的壓差Δp也可換成壓強(qiáng)p。（e）由式（d）、（e）可以得到流動(dòng)壓力相似關(guān)系為：由式（f）說(shuō)明：流動(dòng)壓力相似時(shí)，原型流動(dòng)與模型流動(dòng)的歐拉數(shù)相等，這就是歐拉準(zhǔn)則。OR（f）一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來(lái)保證液流相似。

3、歐拉準(zhǔn)則幾點(diǎn)說(shuō)明：弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則和歐拉準(zhǔn)則是工程流體力學(xué)的常用準(zhǔn)則.一般弗勞德準(zhǔn)則、雷諾準(zhǔn)則為獨(dú)立準(zhǔn)則，而歐拉準(zhǔn)則為導(dǎo)出準(zhǔn)則.§4-4流動(dòng)相似準(zhǔn)則4、其他相似準(zhǔn)則韋伯準(zhǔn)則：表面張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則。

當(dāng)表面張力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：

馬赫數(shù)：彈性力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）斯特哈羅數(shù)（時(shí)間準(zhǔn)則）：斯特哈羅數(shù)：非恒定流體流動(dòng)中，當(dāng)?shù)丶铀俣龋@個(gè)加速度所產(chǎn)生的慣性作用與遷移加速度的慣性作用之比。

【例4.3】進(jìn)行水力模型實(shí)驗(yàn)，要實(shí)現(xiàn)明渠水流的動(dòng)力相似，應(yīng)選的相似準(zhǔn)則是：A.雷諾準(zhǔn)則；

B.弗勞德準(zhǔn)則；

C.歐拉準(zhǔn)則；

D.其它準(zhǔn)則?！纠?.4】明渠水流模型實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)度比尺為4，模型流量應(yīng)為原型流量的:A.1／2；

B.1／4；

C.1／8；

D.1／32。

課堂練習(xí)A.雷諾準(zhǔn)則；

B.弗勞德準(zhǔn)則；

C.歐拉準(zhǔn)則；

D.其他準(zhǔn)則?！纠?.7】

雷諾數(shù)的物理意義表示：

A.粘滯力與重力之比；

B.重力與慣性力之比；C.慣性力與粘滯力之比；

D.壓力與粘滯力之比。

【例4.5】壓力輸水管模型實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)度比尺為8，模型水管的流量應(yīng)為原型輸水管流量的：

A.1／2；

B.1／4；

C.1／8；

D.1／16。

【例4.6】進(jìn)行水力模型實(shí)驗(yàn)，要實(shí)現(xiàn)有壓管流的動(dòng)力相似，應(yīng)選的相似準(zhǔn)則是：課堂練習(xí)【判斷】當(dāng)運(yùn)動(dòng)流體主要受粘滯力和壓力作用時(shí)，若滿(mǎn)足雷諾準(zhǔn)則，則歐拉相似準(zhǔn)則會(huì)自動(dòng)滿(mǎn)足。你的回答：A.對(duì)；B.錯(cuò)

課堂練習(xí)§4-5相似原理的應(yīng)用一、模型律的選擇從理論上講，流動(dòng)相似應(yīng)保證所有作用力都相似，但難實(shí)現(xiàn).如僅保證重力和粘性力相似，則應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足弗勞即應(yīng)按選擇流體運(yùn)動(dòng)粘度，一般難以德準(zhǔn)則和雷諾準(zhǔn)則，通常取，則有：實(shí)現(xiàn).若取，即原、模型采用同一介質(zhì)，則導(dǎo)致，失去了模型試驗(yàn)的價(jià)值.§4-5相似原理的應(yīng)用

由前面分析可知，一般情況下同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)或兩個(gè)以上作用力相似很難實(shí)現(xiàn)。實(shí)際運(yùn)用中，要對(duì)所研究的流動(dòng)問(wèn)題作深入分析，找出影響該流體問(wèn)題的主要作用力，滿(mǎn)足一個(gè)主要力的相似，而忽略其他次要力的相似。雷諾數(shù)不大時(shí)雷諾準(zhǔn)則管中有壓流動(dòng)潛體繞流主要受重力影響弗勞德準(zhǔn)則明渠行船引起的波浪運(yùn)動(dòng)繞橋墩的水流§4-5相似原理的應(yīng)用§4-5相似原理的應(yīng)用二、模型設(shè)計(jì)定長(zhǎng)度比尺

，確定模型流動(dòng)的幾何邊界；選介質(zhì)

，一般采用同一介質(zhì)：；選模型律.§4-5相似原理的應(yīng)用【思考題1】何為模型試驗(yàn)的力學(xué)相似，它包括那幾個(gè)方面的內(nèi)容？

答：所謂的力學(xué)相似是指原型流動(dòng)和模型流動(dòng)在對(duì)應(yīng)物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之間應(yīng)互相平行，并保持一定的比例關(guān)系（指矢量與標(biāo)量物理量的數(shù)值，如力的數(shù)值、時(shí)間與壓強(qiáng)的數(shù)值等）。

流體力學(xué)相似包括以下四個(gè)方面：1.幾何相似2.運(yùn)動(dòng)相似3.動(dòng)力相似4.初始條件和邊界條件相似。

思考題【思考題2】為什么每個(gè)相似準(zhǔn)則都要表征慣性力？

答：作用在流體上的力除慣性力是企圖維持流體原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力外，其他力（如重力、粘滯力、流體動(dòng)壓力、表面張力和彈性力）都是企圖改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的力。如果把作用在流體上的各力組成一個(gè)力多邊形的話(huà)，那么慣性力則是這個(gè)力多邊形的合力，即牛頓定律。流動(dòng)的變化就是慣性力與其它上述各種力相互作用的結(jié)果。因此各種力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。

思考題

【思考題3】原型和模型能否