平面彎曲桿件變形與剛計(jì)算課件

梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)---二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。一、撓曲線：梁變形后的軸線。

性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。q用“y表示。q§9-1

梁變形的基本概念撓度和轉(zhuǎn)角第1頁/共29頁梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)---二、撓度：橫截1y=y（x）……撓曲線方程。撓度向下為正；向上為負(fù)。θ=θ(x)……

轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。用“y”

表示。qq

撓曲線為一條平坦的曲線第2頁/共29頁y=y（x）……撓曲線方程。撓度向下為正；向上為負(fù)2一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=r1二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式)……（2）→→三、撓曲線與彎矩的關(guān)系：聯(lián)立（1）、（2）兩式得?……（1）§9-2撓曲線近似微分方程第3頁/共29頁一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=r1二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)3M>00)(<￠￠xy撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及對(duì)變形的影響

使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。M<00)(>￠￠xy結(jié)論：撓曲線近似微分方程——xyxy第4頁/共29頁M>00)(<￠￠xy撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“4§9-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄第5頁/共29頁§9-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次5

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形§9-3用積分法求彎曲變形目錄第6頁/共29頁積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定6§9-3

積分法計(jì)算梁的變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。右左CCqq=連續(xù)條件：右左CCyy=邊界條件：F第7頁/共29頁§9-3積分法計(jì)算梁的變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷7（1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。（3）、在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。第8頁/共29頁（1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支8例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)Fxd)確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程e)自由端的撓度及轉(zhuǎn)角x=0,y=0;θ=0yL第9頁/共29頁例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)9FC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）左側(cè)段（0≤x1≤a）：右側(cè)段（a≤x2≤L）：第10頁/共29頁FC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分例10e)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)

確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程c)應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)x=0,y=0;x=L,y=0.

x1=x2

=a，y1=y2

；y'1

=y'2兩端支座處的轉(zhuǎn)角——第11頁/共29頁e)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程11討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。左側(cè)段：

右側(cè)段：最大撓度一定在左側(cè)段FC當(dāng)a＞b時(shí)——當(dāng)a＞b時(shí)——最大撓度發(fā)生在AC段第12頁/共29頁討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。12

2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FC第13頁/共29頁2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FC第13頁/共213qLABxC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2x=0,y=0;x=L,y=0.

例：求分布載荷簡支的最大撓度

和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）第14頁/共29頁qLABxC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方14討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-3用積分法求彎曲變形目錄第15頁/共29頁討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-3用積分法求彎15§9-4用疊加法求彎曲變形

設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4目錄第16頁/共29頁§9-4用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作16故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理?！?-4用疊加法求彎曲變形目錄第17頁/共29頁故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：§9-4用疊加法求彎17

梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理----

梁在幾個(gè)載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨(dú)作用下的彎矩的代數(shù)和?！?-4疊加法計(jì)算梁的變形第18頁/共29頁梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理--181、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；

2、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加原理：各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。三、疊加法的特征：疊加法計(jì)算梁的變形第19頁/共29頁1、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；

219aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面

的撓度.解、a)載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。aaqFACAaaq第20頁/共29頁aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面

的撓度.20c)疊加第21頁/共29頁c)疊加第21頁/共29頁21L/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)第22頁/共29頁L/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載22=+ABLaCqqaABL

CM=qa/2TT（b）例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1)結(jié)構(gòu)分解如圖2)查梁的簡單載荷變形表3)疊加B

CTTq（a）第23頁/共29頁=+ABLaCqqaABLCM=qa/2TT（b）例：求23討論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-4用疊加法求彎曲變形目錄第24頁/共29頁討論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-4用疊加法求彎24一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[δ/L]稱為許用撓跨比。

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；（對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）二、剛度計(jì)算、確定外載荷?！?.5梁的剛度計(jì)算第25頁/共29頁一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[δ/L]稱為許用撓25由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看：梁的撓度和轉(zhuǎn)角除了與梁的支座和荷載有關(guān)外還取決于下面三個(gè)因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I成反比；跨長——梁的位移與跨長L的n次冪成正比。

（轉(zhuǎn)角為L

的2次冪，撓度為L的3次冪）1、增大梁的抗彎剛度（EI）2、調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)方法——同提高梁的強(qiáng)度的措施相同三、提高梁的剛度的措施3、預(yù)加反彎度（預(yù)變形與受力時(shí)梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）第26頁/共29頁由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計(jì)算可看：材料——梁261）選擇合理的截面形狀目錄第27頁/共29頁1）選擇合理的截面形狀目錄第27頁/共29頁272）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變支座形式目錄第28頁/共29頁2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變支座形式目錄第28頁/共2282）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變載荷類型目錄第29頁/共29頁2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變載荷類型目錄第29頁/共229梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)---二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。一、撓曲線：梁變形后的軸線。

性質(zhì)：連續(xù)、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。三、轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。q用“y表示。q§9-1

梁變形的基本概念撓度和轉(zhuǎn)角第1頁/共29頁梁的撓度，橫截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形的參數(shù)---二、撓度：橫截30y=y（x）……撓曲線方程。撓度向下為正；向上為負(fù)。θ=θ(x)……

轉(zhuǎn)角方程。由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形后，順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。四、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用“”表示。用“y”

表示。qq

撓曲線為一條平坦的曲線第2頁/共29頁y=y（x）……撓曲線方程。撓度向下為正；向上為負(fù)31一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=r1二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式)……（2）→→三、撓曲線與彎矩的關(guān)系：聯(lián)立（1）、（2）兩式得?……（1）§9-2撓曲線近似微分方程第3頁/共29頁一、曲率與彎矩的關(guān)系：EIM=r1二、曲率與撓曲線的關(guān)系（數(shù)32M>00)(<￠￠xy撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及對(duì)變形的影響

使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。M<00)(>￠￠xy結(jié)論：撓曲線近似微分方程——xyxy第4頁/共29頁M>00)(<￠￠xy撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“33§9-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄第5頁/共29頁§9-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次34

積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形§9-3用積分法求彎曲變形目錄第6頁/共29頁積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定35§9-3

積分法計(jì)算梁的變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。右左CCqq=連續(xù)條件：右左CCyy=邊界條件：F第7頁/共29頁§9-3積分法計(jì)算梁的變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷36（1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支座處；可動(dòng)鉸支座處：撓度等于零。（3）、在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個(gè)截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。5、計(jì)算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。第8頁/共29頁（1）、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。（2）、固定鉸支37例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)Fxd)確定撓曲線、轉(zhuǎn)角方程e)自由端的撓度及轉(zhuǎn)角x=0,y=0;θ=0yL第9頁/共29頁例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）。解：a)38FC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）左側(cè)段（0≤x1≤a）：右側(cè)段（a≤x2≤L）：第10頁/共29頁FC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分例39e)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)

確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程c)應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)x=0,y=0;x=L,y=0.

x1=x2

=a，y1=y2

；y'1

=y'2兩端支座處的轉(zhuǎn)角——第11頁/共29頁e)跨中點(diǎn)撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程40討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。左側(cè)段：

右側(cè)段：最大撓度一定在左側(cè)段FC當(dāng)a＞b時(shí)——當(dāng)a＞b時(shí)——最大撓度發(fā)生在AC段第12頁/共29頁討論：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。41

2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FC第13頁/共29頁2、a=b時(shí)此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。FC第13頁/共242qLABxC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)d)確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程e)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角ql/2ql/2x=0,y=0;x=L,y=0.

例：求分布載荷簡支的最大撓度

和最大轉(zhuǎn)角(EI=常數(shù)）第14頁/共29頁qLABxC解：a)建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程b)寫出微分方43討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-3用積分法求彎曲變形目錄第15頁/共29頁討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？§9-3用積分法求彎44§9-4用疊加法求彎曲變形

設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4目錄第16頁/共29頁§9-4用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作45故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理?！?-4用疊加法求彎曲變形目錄第17頁/共29頁故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：§9-4用疊加法求彎46

梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理----

梁在幾個(gè)載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨(dú)作用下的彎矩的代數(shù)和?！?-4疊加法計(jì)算梁的變形第18頁/共29頁梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理--471、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；

2、疊加法適用于求梁個(gè)別截面的撓度或轉(zhuǎn)角值。一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加原理：各荷載同時(shí)作用下，梁任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各荷載分別單獨(dú)作用下同一梁同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。三、疊加法的特征：疊加法計(jì)算梁的變形第19頁/共29頁1、梁在簡單載荷作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或有變形表可查；

248aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面

的撓度.解、a)載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。aaqFACAaaq第20頁/共29頁aaF=+例：疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角和C截面

的撓度.49c)疊加第21頁/共29頁c)疊加第21頁/共29頁50L/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)第22頁/共29頁L/2L/2qACA=+例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載51=+ABLaCqqaABL

CM=qa/2TT（b）例：求圖示梁B截面的撓度（EI