三角形中的最值問題

.PAGE.第42課三角形中的最值問題考點提要．能運用正弦定理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù),解決三角形中的最值問題．基礎(chǔ)自測1．〔1△ABC中,,則A的值為30°或90°；△ABC中,當(dāng)A=時,取得最大值．2．在中,,則的取值范圍是．解由,令,由,得．3．銳角三角形ABC中,若A=2B,則B的取值范圍是30o＜B＜45o．4．設(shè)R,r分別為直角三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑,則的最大值為．5．在中,內(nèi)角對邊的邊長分別是,若,則B的取值范圍是0°＜B≤120°．6．在△ABC中,若A>B,則下列不等式中,正確的為①②④．①>；②<；③>；④<．解A>B>>>,故①正確；<<A>B,故②正確〔或由余弦函數(shù)在上的單調(diào)性知②正確；由<<>A>B,故④正確．知識梳理1．直角ABC中,內(nèi)角對邊的邊長分別是,內(nèi)切圓的半徑為r,則．2．例題解析已知直角三角形的周長為1,求其面積的最大值．點評．解〔1由三角形三邊關(guān)系得,即A,B,C三個角均為銳角,又因為a＜b,所以A＜B,故只需說明B,C為銳角即可．由B,C為銳角得即解得．點評在銳角三角形中研究問題的時候,一定要注意其三個角都為銳角這個條件．另外要注意變形的等價性,如"內(nèi)角A為銳角"．〔2008XX求滿足條件的的面積的最大值．解設(shè)BC＝,則AC＝．根據(jù)面積公式得=,根據(jù)余弦定理得,代入上式得=,由三角形三邊關(guān)系有解得,故當(dāng)時取最大值．點評如圖,已知∠A=,P,Q分別在∠A的兩邊上,PQ=2．當(dāng)P,Q處于什么位置時,△APQ的面積最大？并求出△APQ的最大面積．點評表示三角形的面積可采用兩邊及夾角的表示法,本題解法一運用了余弦定理和基本不等式,解法二運用了正弦定理和基本不等式建立目標(biāo)函數(shù)．已知△ABC的周長為6,成等比數(shù)列,求：〔1△ABC的面積S的最大值；〔2的取值范圍．解設(shè)依次為a,b,c,則a+b+c=6,b2=ac．由得〔當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立,又由余弦定理得〔當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立,故有,〔1,即〔當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立；〔2．．方法總結(jié)1．2．3．練習(xí)42三角形的最值問題班級姓名學(xué)號1．若直角三角形斜邊的長m〔定值,則它的周長的最大值是．．解,而,．3．在△ABC中,若,則A的取值范圍是0o＜B≤45o．4．若2、3、x分別是銳角三角形的三邊長,則x的取值范圍是．5．若三角形兩邊之和為16cm,其夾角為60o,則該三角形面積的最大值是,周長的最小值是24．6．已知中,A=60°,BC=4,則AB+AC的最大值為______．7．鈍角三角形的三邊為,其中最大角不超過120°,則的取值范圍是．解由題意鈍角三角形中,為最大邊且最大角不超過120°,因此得①,②,③,由①得,②得,③得≤或≥,故≤．8．已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,若S△AOB=9,S△COD=16,則四邊形面積的最小值是49．9．〔2006全國用長度分別為2、3、4、5、6〔單位：cm的5根細(xì)木棒圍成一個三角形〔允許連接,但不允許折斷,能夠得到的三角形的最大面積為cm2．解由題意可圍成以下幾種三角形．圖〔1中,,；圖〔2中,,；圖〔3中,,．比較上述幾種情況可知,能夠得到三角形的最大面積為cm2．點評當(dāng)周長一定時,三邊越是接近,其面積越大．這是等周問題中的一個基本結(jié)論．可見,面積最大的三角形應(yīng)該這樣構(gòu)成：2+5,3+4,6．10．在△ABC中,已知．〔1求證：a、b、c成等差數(shù)列；〔2求角B的取值范圍．解11．如圖,正方形ABCD的邊長為a,E、F分別是邊BC、CD上的動點,∠EAF=30°,求△AEF面積的最小值．解設(shè)△AEF的面積為S,∠BAE=〔15o≤≤45o,則由∠EAF=30°得∠DAF=．∵正方形ABCD的邊長為a,∴在Rt△BAE中,；在Rt△DAF中,,∴．12．〔2008XX延考在中,內(nèi)角對邊的邊長分別是,已知．〔1若,且A為鈍角,求內(nèi)角A與C的大??；〔2若,求面積的最大值．解〔1由題設(shè)及正弦定理,有．故．因A為鈍角,所以．由,可得,C=,A=．〔2由余弦定理及條件,有,故≥．由于面積,又≤,≤,當(dāng)時,兩個不等式中等號同時成立,所以面積的最大值為．備用題1．直角ABC的斜邊AB=2,內(nèi)切圓的半徑為r,則r的最大值為．2．在中,已知sin2A+sin2B=5sin2C,求證：．解等式sin2A+sin2B=5sin2C立即聯(lián)想正弦定理,有a2+b2=5c2．而a2+b2=5c2與余弦定理連起來也無可非議．∵c2=a2+b2－2abcosC,∴5c2=c2+2abcosC,∴4c2=2abcosC．于是可知cosC＞0,C為銳角,而5c2=a2+b2≥2ab,故4c2=2abcosC≤5c2cosC．∴cosC≥,∴sinC≤．點評從外形的聯(lián)想,到方法的選擇,這樣的直覺思維隨時隨地都會出現(xiàn)在解題過程中．4．如圖,邊長為的正的中心為O,過O任意作直