電磁場與電磁波第16講法拉第感應定律麥克方程邊界條件

1FundamentalrelationshipforStaticFieldModelsMagnetostaticModelSteadyelectriccurrentfieldElectrostaticmodelConstitutiverelations

(linearandisotropicnotnecessarilyhomogeneousmedia)GoverningequationsFundamentalrelations2MaintopicTime-VaryingFieldsandMaxwell’sEquations1.Faraday’sLawofElectromagneticInduction2.Maxwell’sEquations3.ElectromagneticBoundaryConditions31.Faraday’sLawofElectromagneticInductionFundamentalPostulatesforElectromagneticInductionItexpressesapoint-functionrelationship;thatis,itappliestoeverypointinspace,whetheritbeinfreespaceorinamaterialmedium.Theelectricfieldintensityinaregionoftime-varyingmagneticfluxdensityisthereforenonconservativeandcannotbeexpressedasthegradientofascalarpotential.41.1

astationarycircuitinatime-veryingmagneticfieldItstatesthattheelectromotiveforceinduced(感應電動勢)inastationaryclosedcircuitisequaltothenegativerateofincreaseofthemagneticfluxlinkingthecircuit(回路交鏈的磁通量).ThisisastatementofFaraday’slawofelectromagneticinduction.Thenegativesignisanassertionthattheinducedemfwillcauseacurrenttoflowintheclosedloopinsuchadirectionastoopposethechangeinthelinkingmagneticflux.ThisassertionisknownasLenz’slaw(楞次定律).Theemfinducedinastationaryloopcausedbyatime-varyingmagneticfieldisatransformeremf(變壓器電動勢/感生電動勢).B(t)CS5xzyB61.2

amovingconductorinastaticmagneticfield++--IfthemovingconductorisapartofaclosedcircuitC,thentheemfgeneratedaroundthecircuitisThisisfeferredtoasafluxcuttingemf(切割磁通電動勢)oramotionalemf(動生電動勢).7891.3

amovingcircuitinatime-varyingmagneticfieldWhenaconducingcircuitwithcontourCandsurfaceSmoveswithavelocityuinafield(E,B),weobtainItisthegeneralformofFaraday’slawforamovingcircuitinatime-varyingmagneticfield.Faraday’slawthattheemfinducedinaclosedcircuitequalstothenegativetime-rateofincreaseofthemagneticfluxlinkingacircuitappliestoastationarycircuitaswellasamovingone.1011120y132.Maxwell’sEquationsTheprincipleofconservationchargeFirstofall,aterm/tmustbeaddedtotherightsideofequation:whichimpliesthat141.位移電流

位移電流不是電荷的運動，而是一種人為定義的概念。

對于靜態(tài)場，因，由此導出電流連續(xù)性原理：電荷守恒原理：

15上式中具有電流密度量綱。將代入，得

對于時變電磁場，因，不可能根據(jù)電荷守恒原理推出電流連續(xù)性原理。位移電流

電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，例如真空電容器中的電流。16麥克斯韋將稱為位移電流密度，以Jd

表示。即求得上式稱為全電流連續(xù)性原理。它包括了傳導電流，運流電流及位移電流。

位移電流密度是電通密度的時間變化率，或者說是電場的時間變化率。17對于靜電場，由于，自然不存在位移電流。

對于時變電場，電場變化愈快，產(chǎn)生的位移電流密度也愈大。在良導體中已知傳導電流密度，因此在電導率較低的介質(zhì)中

麥克斯韋認為位移電流也可產(chǎn)生磁場，因此前述安培環(huán)路定律變?yōu)?/p>

18即

上兩式稱為全電流定律。它表明時變磁場是由傳導電流，運流電流以及位移電流共同產(chǎn)生的。

位移電流是由時變電場形成的，由此可見，時變電場可以產(chǎn)生時變磁場。

電磁感應定律表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預見時變電場與時變磁場相互轉(zhuǎn)化的特性可能會在空間形成電磁波。19ItiseasytoverifyD/t

thathasthedimensionofacurrentdensity(SIunit:A/m2).ThetermD/tiscalleddisplacementcurrentdensity,anditsintroductionintheH

equationwasoneofthemajorcontributionsofJamesClerkMaxwell.TheyareknownasMaxwell’sequations.Thesefourequations,togetherwiththeequationofcontinuityandLorentz’sforceequation,formthefoundationofelectromagnetictheory.Theseequationscanbeusedtoexplainandpredictallmacroscopicelectromagneticphenomena.20位移電流

電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，例如真空電容器中的電流。2122位移電流是電位移矢量隨時間的變化率。英國物理學家麥克斯韋首先提出這種變化將產(chǎn)生磁場的假設(shè)并稱其為“位移電流”。但位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產(chǎn)生熱效應、化學效應等。繼電磁感應現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)之后麥克斯韋的這一假設(shè)更加深入一步揭示了電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。位移電流是建立麥克斯韋方程組的一個重要依據(jù)。位移電流與傳導電流兩者相比，唯一共同點僅在于都可以在空間激發(fā)磁場，但二者本質(zhì)是不同的：

(1)位移電流的本質(zhì)是變化著的電場，而傳導電流則是自由電荷的定向運動；

(2)傳導電流在通過導體時會產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流則不會產(chǎn)生焦耳熱；

(3)位移電流也即變化著的電場可以存在于真空、導體、電介質(zhì)中，而傳導電流只能存在于導體中。23兩個散度方程和兩個旋度方程不相互獨立的兩個旋度方程+電流連續(xù)性定理可推出兩個散度方程24Maxwell’sEquationsTheintegralformThedifferentialform

SignificanceFaraday’slawAmpere’scircuitallawGauss’slawNoisolatedmagneticcharge25這里，首先讓我們來探討一下上面方程內(nèi)含的哲學思想:1.

這兩個方程左邊物理量為磁(或電)，而右邊物理量則為電(或磁)。這中間的等號深刻揭示了電與磁的相互轉(zhuǎn)化，相互依賴，相互對立，共存于統(tǒng)一的電磁波中。正是由于電不斷轉(zhuǎn)換為磁，而磁又不斷轉(zhuǎn)成為電，才會發(fā)生能量交換和貯存。一、Maxwell方程組的物理意義

圖1-2

參見西電梁昌洪《微波技術(shù)》(1-2)(1-3)26值得指出：人類對于電磁的相互轉(zhuǎn)化在認識上走了很多彎路。其中Faraday起到關(guān)鍵的作用。Oersted首先發(fā)現(xiàn)電可轉(zhuǎn)化為磁(即線圈等效為磁鐵)，而Faraday堅信磁也可以轉(zhuǎn)化為電。但是無數(shù)次實驗均以失敗而告終。只是在10年無效工作后，沮喪的Faraday鬼使神差地把磁鐵一拔，奇跡出現(xiàn)了，連接線圈的電流計指針出現(xiàn)了晃動。電磁振蕩單擺一、Maxwell方程組的物理意義圖1-4圖1-327

這一實驗不僅證實了電磁轉(zhuǎn)換，而且知道了只有動磁才能轉(zhuǎn)換為電。還需要提到：電磁轉(zhuǎn)換為電磁波的出現(xiàn)提供了可能，但不一定是現(xiàn)實。例如電磁振蕩也是典型的電磁轉(zhuǎn)換。而沒有引起波(Wave)。作為力學類比，電磁轉(zhuǎn)換猶如單擺問題中的動能與勢能的轉(zhuǎn)化。

一、Maxwell方程組的物理意義28一、Maxwell方程組的物理意義

2.

進一步研究Maxwell方程兩邊的運算，從物理上看，運算反映一種作用(Action)。方程的左邊是空間的運算(旋度)；方程的右邊是時間的運算(導數(shù))，中間用等號連接。它深刻揭示了電(或磁)場任一地點的變化會轉(zhuǎn)化成磁(或電)場時間的變化；反過來，場的時間變化也會轉(zhuǎn)化成地點變化。正是這種空間和時間的相互變化構(gòu)成了波動的外在形式。用通俗的一句話來說，即一個地點出現(xiàn)過的事物，過了一段時間又在另一地點出現(xiàn)了。29一、Maxwell方程組的物理意義

圖1-5

30一、Maxwell方程組的物理意義

3.

Maxwell方程還指出：電磁轉(zhuǎn)化有一個重要條件，即頻率ω。讓我們寫出單色波頻域的Maxwell方程只有較或者說任何形式的信號高頻分量都包含很少高的ω，才能確保電磁的有效轉(zhuǎn)換，直流情況沒有轉(zhuǎn)換?？梢赃@樣說，在高頻時封閉電路才有可能變成開放電路。不過很有意思的是頻率愈高，越難出功率，這也是一個有趣的矛盾。(1-4)(1-5)314.

在Maxwell方程中還存在另一對矛盾對抗，即方程(1-2)右邊兩項，而方程(1-3)右邊一項，這就構(gòu)成了Maxwell方程本質(zhì)的不對稱性。盡管為了找其對稱性而一直在探索磁流的存在，但到目前為止始終未果。

和構(gòu)成一對矛盾，在時域中(1-6)一、Maxwell方程組的物理意義

32所以，也可以說是和之間的矛盾，這一對矛盾主要反映媒質(zhì)情況。當稱為導體，這種情況下波動性降為次要矛盾，其情況是波長縮短，波速減慢，且迅速衰減。波一進入導體會“短命夭折”，這一問題將在波導理論中作詳盡討論。波動性不僅與ω有關(guān)，還與媒質(zhì)有關(guān)。圖1-6波在導體中的衰減

一、Maxwell方程組的物理意義

33麥克斯韋（James

Clerk

Maxwell，1831～1879）英國物理學家，經(jīng)典電磁理論的奠基人。1831年6月13日出生于愛丁堡。父親受的是法學教育，但思想活躍，愛好科學技術(shù)，使他從小就受到科學的熏陶。1850年考人劍橋大學，1854年以優(yōu)異成績畢業(yè)并獲得了學位，留校工作。1856年起任蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳學院的自然哲學講座教授，直到1874年。經(jīng)法拉第舉薦，自1860年起任倫敦皇家學院的物理學和天文學教授。1871年起負責籌劃卡文迪什實驗室，隨后被任命在劍橋大學創(chuàng)辦卡文迪什實驗室并擔任第一任負責人。1879年11月5日麥克斯韋因患癌癥在劍橋逝世，終年僅48歲。麥克斯韋一生從事過多方面的物理學研究工作，他最杰出的貢獻是在經(jīng)典電磁理論方面。1864年12月8日，麥克斯韋在英國皇家學會的集會上宣讀了題為《電磁場的動力學理論》的重要論文，對以前有關(guān)電磁現(xiàn)象和理論進行了系統(tǒng)的概括和總結(jié)，提出了聯(lián)系著電荷、電流和電場、磁場的基本微分方程組。該方程組后來經(jīng)H.R.赫茲，O.亥維賽和H.A.洛倫茲等人整理和改寫，就成了作為經(jīng)典電動力學主要基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組。這理論所宣告的一個直接的推論在科學史上具有重要意義，即預言了電磁波的存在。交變的電磁場以光速和橫波的形式在空間傳播，這就是電磁波；光就是一種可見的電磁波。電、磁、光的統(tǒng)一，被認為是19世紀科學史上最偉大的綜合之一。1888年，麥克斯韋的預言被H.赫茲所證實。1865年以后，麥克斯韋利用因病離職休養(yǎng)的時間，系統(tǒng)地總結(jié)了近百年來電磁學研究的成果，于1873年出版了他的巨著《電磁理論》這部科學名著，內(nèi)容豐富、形式完備，體現(xiàn)出理論和實驗的一致性，被認為可以和牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》交相輝映。麥克斯韋的電磁理論成為經(jīng)典物理學的重要支柱之一。34赫茲(Heinrich

Rudolf

Hertz,1857～1894)德國物理學家。1857年2月22日生于漢堡。青少年時期，勤奮好學，在數(shù)學、物理實驗等方面顯示了出眾的才華與能力。1876年進入德累斯頓理工學院學習工程，但在那里只學了一個短暫時期，就去鐵路軍團服役一年。1877年考人慕尼黑大學，學習數(shù)理科學。1878年又轉(zhuǎn)入柏林大學成為亥姆霍茲的學生并做研究工作。他對于理論和實驗都很重視，學習比較全面。1879年因解決亥姆霍茲提出的導體中的運動電荷有無慣性質(zhì)量這一問題獲金質(zhì)獎?wù)露趼朵h芒。1880年以《旋轉(zhuǎn)導體的電磁感應》一文獲博士學位，成為亥姆霍茲的助手。1883年任基爾大學物理學講師；1885～1889年任卡爾斯魯厄高等工業(yè)大學物理學教授；1889年起接替克勞修斯任波恩大學物理學教授。1894年1月1日。因血液中毒在波恩逝世，年僅36歲。赫茲的卓越實驗，為麥克斯韋的理論添上了至關(guān)重要的一筆。赫茲在物理學上的主要貢獻是發(fā)現(xiàn)電磁波。其后迅速發(fā)展起來的無線通訊技術(shù)，則是直接受惠于赫茲的無與倫比的實驗。

物理學大師們對赫茲的工作給予高度評價。愛因斯坦指出：“偉大的變革是由法拉第、麥克斯韋和赫茲帶來的”，說明了赫茲的工作對物理學發(fā)展所起的不可磨滅的作用。普朗克在一封信中贊揚他：“在人們關(guān)注電波的時候，赫茲是這一代的冠軍。我們物理學會的成員沐浴著他的光輝，也將分享他的榮耀?！彼⒛暝缡?，在他的能力和經(jīng)歷正要把他推向?qū)ξ锢韺W做更大貢獻的關(guān)頭，他的生命結(jié)束了。為了紀念他的卓越貢獻，將頻率的單位命名為赫茲。35

“在簡單的形式下隱藏著深奧的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細的研究才能顯示出來，方程是表示場的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系起來，而是把此處的現(xiàn)在的場只與最鄰近的剛過去的場發(fā)生聯(lián)系?！?/p>

愛因斯坦（1879-1955）對于麥克斯韋方程的評述：“這個方程的提出是牛頓時代以來物理學上的一個重要事件，它是關(guān)于場的定量數(shù)學描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多。”

“假使我們已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預測在空間稍為遠一些，在時間上稍為遲一些所發(fā)生的事件?！?6

麥克斯韋方程除了對于科學技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對于人類歷史的進程也起了重要作用。

正如美國著名的物理學家弗曼所述：“從人類歷史的漫長遠景來看──即使過一萬年之后回頭來看──毫無疑問，在十九世紀中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學事件相比之下，同一個十年中發(fā)生的美國內(nèi)戰(zhàn)（1861-1865）將會降低為一個地區(qū)性瑣事而黯然失色”。37

處于信息時代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動通信到宇宙星際通信、從室外無線局域網(wǎng)到室內(nèi)藍牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導航系統(tǒng)等，無不利用電磁波作為信息載體。

無線信息高速公路使人們能在任何地點、任何時間同任何人取得聯(lián)系。

如此廣泛的應用說明了麥克斯韋和赫茲對于人類文明和進步的偉大貢獻。

目前中國已有3.5億移動通信用戶，一億多因特網(wǎng)用戶。

383.ElectromagneticBoundaryConditionsTheintegralformThedifferentialform

SignificanceFaraday’slawAmpere’scircuitallawGauss’slawNoisolatedmagneticcharge12B2H1B1H2anJs39

Inprinciple,allboundaryconditionssatisfiedbyastaticfieldcanbeappliedtoatime-varyingelectromagneticfield.(a)Thetangentialcomponentsoftheelectricfieldintensityarecontinuousatanyboundary,i.e.

Aslongasthetimerateofchangeofthemagneticfluxdensityisfinite,usingthesamemethodasbeforewecanobtainitfromtheequation:or

Forlinearisotropicmedia,theaboveequationcanberewrittenas

①②an240

(b)Thenormal

componentsofmagneticfluxintensityarecontinuousatanyboundary.

Fromthe

principleofmagneticfluxcontinuity,

wefindor

(c)

Theboundaryconditionforthenormalcomponentsofelectricfluxdensitydependsontheproperty

ofthemedia.

Ingeneral,fromGauss’lawwefindor

where

S

isthesurfacedensityofthe

free

chargeattheboundary.Forlinearisotropicmedia,wehave41(d)

Theboundaryconditionforthe

tangential

componentsofthemagneticfieldintensitydependsalsoonthe

property

ofthemedia.

Ingeneral,inthe

absenceofsurfacecurrents

attheboundary,aslongasthetimerateofchangeoftheelectricfluxdensityisfinite,wefind

or

However,surfacecurrentscanexistonthesurfaceof

aperfectelectricconductor,andinthiscasethetangentialcomponentsofthemagneticfieldintensityare

discontinuous.

423.1Interfacebetweentwolosslesslinearmedia(無耗介質(zhì)，理想介質(zhì))3.2Interfacebetweenadielectric(Medium1)andaperfectconductor(理想導體)(Medium2)43Example.Thecomponentsofthetime-varyingelectromagnetic