聚焦核心素養(yǎng),凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

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新高考即將全面實(shí)施之際，如何備戰(zhàn)2022年“老〞高考的“壓軸考〞引起人們的廣泛關(guān)注。文章以2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷為例，通過分析試題特點(diǎn)，窺探高考命題走勢(shì)，透露核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)如何更好地適應(yīng)評(píng)價(jià)的改革。

高考試題;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)本質(zhì);理性思維

鄭良，高級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練員，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽。

新高考即將全面實(shí)施之際，如何備戰(zhàn)2022年“老〞高考的“壓軸考〞引起人們的廣泛關(guān)注。本文以2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷（以下簡(jiǎn)稱2021年全國(guó)乙卷）為例，窺探高考命題走勢(shì)，為教師教學(xué)提供參考。

一、整體特點(diǎn)

由于2021年全國(guó)乙卷的使用區(qū)域較廣，考慮到學(xué)生水平的差異，試卷穩(wěn)中有變，變中求新，即總體結(jié)構(gòu)不變，局部稍作調(diào)整。

（一）對(duì)接新高考，為文理合卷做嘗試

為對(duì)接新高考的文理合卷，全國(guó)乙卷做了諸多過渡性的嘗試，如文理同題（括號(hào)前為理科試題題號(hào)，括號(hào)內(nèi)為文科試題題號(hào)，下同）有第3（3）、4（9）、5（10）、10（12）、15（15）、16（16）、17（17）、22（22）、23（23）題等;姊妹題有第8（7）、11（11）、13（14）、14（13）、18（18）題等，在考察內(nèi)容上表達(dá)了向新課程改革過渡的趨勢(shì)。

（二）一題多解，表達(dá)思維的層次性

（三）重視理性思維，強(qiáng)調(diào)答題規(guī)范

二、試題分析

（一）設(shè)置一題多解，甄別思維層次

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。對(duì)于同一對(duì)象，假如觀測(cè)的視角不同，看到的風(fēng)景就會(huì)不一樣。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從不同的角度考慮問題，就可以得到不同的解決方法。教師通過對(duì)各種解題方法進(jìn)行對(duì)比，深化學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)知，進(jìn)而提升其思維能力。

該題解題的關(guān)鍵是弄清兩條直線所成的角的概念與范圍，一般有以下兩種解題思路。（1）若用向量法，側(cè)重于數(shù)學(xué)運(yùn)算，可用基底法或坐標(biāo)法，解答過程略。（2）若用綜合法，通過規(guī)律推理，得出∠PBC1是直線PB與AD1所成的角（或其補(bǔ)角）（圖略）。解法1在△PBC1中用余弦定理求解;解法2先判定△PBC1為直角三角形再進(jìn)行求解;解法3通過補(bǔ)形后再在等邊△A1BC1中求解。這三種解法表達(dá)出解題者對(duì)問題的認(rèn)知越來越深刻。解法1為求兩條直線所成的角的通性通法，解法2對(duì)所要研究的對(duì)象的性質(zhì)做進(jìn)一步挖掘，解法3擴(kuò)大研究對(duì)象的范圍，使目標(biāo)與結(jié)論更加明了直觀。如學(xué)生只給出解法1，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)發(fā)現(xiàn)解法2與解法3，讓學(xué)生以退為進(jìn)，要有全局視角。類似的問題還有將不共線的三點(diǎn)共圓轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓，周圍體的外接球重合于長(zhǎng)方體的外接球等。

（二）基于教材內(nèi)容，理論聯(lián)系實(shí)際

教材是編寫者集體聰慧的結(jié)晶，是師生教與學(xué)的藍(lán)本。教材內(nèi)容看似淺顯易懂，但內(nèi)涵深厚。高考命題把教材和課程標(biāo)準(zhǔn)作為根本依據(jù)，引導(dǎo)師生重視教材內(nèi)容，回歸知識(shí)本原?；貧w教材不是簡(jiǎn)單地瀏覽，而是從教材編排中經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、抽象和完善的過程，理解例題的設(shè)計(jì)意圖，并對(duì)課后習(xí)題進(jìn)行探究延展。數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于實(shí)踐。教材為了降低難度，往往會(huì)選擇背景相對(duì)簡(jiǎn)單（可能還要經(jīng)過抽象與簡(jiǎn)化）的生活實(shí)例，教師要將其與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在問題解決中深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

例2（理科第9題）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高。如圖1所示，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高〞，EG稱為“表距〞，GC和EH都稱為“表目距〞，GC與EH的差稱為“表目距的差〞，則海島的高AB=（）

A.表高×表距表目距的差+表高B.表高×表距表目距的差-表高

C.表高×表距表目距的差+表距D.表高×表距表目距的差-表距

該題源自人教A版數(shù)學(xué)必修5“1.2應(yīng)用舉例〞第13頁例3。試題以《海島算經(jīng)》中的測(cè)量方法為背景，要求學(xué)生根據(jù)測(cè)量過程中的相關(guān)條件，推斷海島高度的計(jì)算方法。該題主要考察三角形的求解問題，需要學(xué)生具備一定的規(guī)律思維、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理能力。可利用相像三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)（合分比定理）、直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解。

（三）模型引領(lǐng)方向，考察理性精神

模型是通過主觀意識(shí)借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn)，構(gòu)成客觀闡述形態(tài)結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件。解題時(shí)“對(duì)號(hào)入座〞中的“號(hào)〞就是解題的模型，如何避免模型選擇的表象化與先入為主，不僅需要學(xué)生在審題時(shí)細(xì)致入微，還要深挖模型的功能與理性思辨。

（四）加強(qiáng)視角轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)以退為進(jìn)

解題時(shí)，好多學(xué)生經(jīng)常會(huì)由于思維定式而思維受阻，教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)有序化思維，在動(dòng)與靜、進(jìn)與退等解題策略，以及整體與局部、數(shù)與形等對(duì)象之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，提高思維的敏感性與靈活性。

（五）考察內(nèi)容理解，促進(jìn)齊頭并進(jìn)

一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決往往會(huì)涉及好多知識(shí)，一旦某個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)知識(shí)空白、思維中斷等狀況，就會(huì)導(dǎo)致問題無法求解。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生查缺補(bǔ)漏，齊頭并進(jìn)，遇到問題才能多管齊下。如立體幾何問題的解決不僅需要“三法〞（綜合法、向量基底法、坐標(biāo)法）并舉，還要用到平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)。

在求解該題時(shí)，需考慮問題的背景是什么？已知條件中的PB⊥AM還能怎么表征？對(duì)于立體幾何的常規(guī)問題，運(yùn)用綜合法雖然無須大量的計(jì)算，但需要根據(jù)題設(shè)和結(jié)論聯(lián)想平面幾何與立體幾何中的相關(guān)結(jié)論并作出適當(dāng)?shù)妮o助線，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和規(guī)律推理能力要求較高。對(duì)于十分規(guī)空間幾何體，往往需要將其化歸為常見幾何體（如長(zhǎng)方體等）求解。對(duì)于該題第（1）問的求解，可將∠ADB+∠DAM=90°用tan∠ADB·tan∠DAM=1來表示。2021年全國(guó)乙卷文科第18題第（2）問與該題第（1）問的本質(zhì)一致。立體幾何中的向量基底法與坐標(biāo)法的理論基礎(chǔ)為綜合法，但大多數(shù)理科學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何對(duì)向量法如獲至寶，忽略對(duì)綜合法的深化，導(dǎo)致好多學(xué)生運(yùn)用向量基底法與坐標(biāo)法的公式時(shí)張冠李戴。因此，在教學(xué)中，教師要切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)，遇到問題時(shí)能根據(jù)需要靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法。

（六）突出問題規(guī)律，重視恒等變形

推理是數(shù)學(xué)的“命根子〞，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功〞。數(shù)學(xué)育人的基本途徑是對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的（規(guī)律）思維訓(xùn)練，訓(xùn)練的基本手段是讓學(xué)生進(jìn)行規(guī)律推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，要在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡(jiǎn)單性、運(yùn)算的正確性和算法的有效性上有要求[1]。推理，在規(guī)律學(xué)上指思維的基本形式之一，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程，有直接推理、間接推理等。運(yùn)算，在數(shù)學(xué)上是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量。運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射。解題離不開恒等變形，因何而變，變向何方？教師要讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“知其然〞到“知其所以然〞再到“何由以知其所以然〞的跨越。例如在學(xué)習(xí)中，不少學(xué)生過于加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的功能與作用，而忽略了初等函數(shù)的基本結(jié)論與恒等變形，導(dǎo)致處理一些函數(shù)問題時(shí)“小題大做〞，事倍功半。教學(xué)中，教師要通過正例和反例加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思想與技能的引導(dǎo)。

（七）數(shù)學(xué)抽象引領(lǐng)，重視過程體驗(yàn)

高考不僅肩負(fù)著為高校選拔人才的重任，還引領(lǐng)中學(xué)教學(xué)的方向。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。當(dāng)前“重結(jié)論，輕過程〞的現(xiàn)象對(duì)比普遍，若在教學(xué)中教師強(qiáng)行灌輸諸多二級(jí)結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生雖然能得到最終答案但不能規(guī)范地寫出解題過程。多數(shù)學(xué)生“記得好多，練得很勤〞，運(yùn)用結(jié)論時(shí)卻張冠李戴。因此，若缺少情境和過程，學(xué)生就會(huì)缺乏抽象與體驗(yàn)的基礎(chǔ)。教育是慢的藝術(shù)，慢的目的不是教學(xué)節(jié)奏的拖沓，而是給學(xué)生思考的時(shí)間。知識(shí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，活動(dòng)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的渠道[2]。教師要對(duì)教學(xué)情境、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)流程、教學(xué)方式等認(rèn)真思考，使創(chuàng)設(shè)的情境真實(shí)且貼近學(xué)生認(rèn)知，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的完整過程。

三、教學(xué)啟示

（一）著力落實(shí)“四基〞，切實(shí)提高“四能〞

（二）拓展思維角度，提高運(yùn)算能力

布魯納曾說，摸索是數(shù)學(xué)的生命線，沒有摸索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展。只有發(fā)散思維才有可能質(zhì)疑并創(chuàng)新。如2021年全國(guó)乙卷文科、理科第16題只給出正視圖，要求學(xué)生選出兩個(gè)圖分別作為側(cè)視圖和俯視圖，是一道具有開放性的試題。不同的選法對(duì)應(yīng)著不同的思考方向，需要學(xué)生的思維更靈活，空間想象能力更豐富。學(xué)生的運(yùn)算能力決定著學(xué)生高考的命運(yùn)，如2021年全國(guó)乙卷文科、理科第17題以芯片生產(chǎn)中的刻蝕速率為原型，設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用問題，要求學(xué)生根據(jù)新舊2臺(tái)設(shè)備各生產(chǎn)10件產(chǎn)品得到的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)，判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高，考察學(xué)生對(duì)平均數(shù)、方差等知識(shí)的理解和應(yīng)用，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科技發(fā)展，認(rèn)識(shí)到科技創(chuàng)新的重要性。但在閱卷中發(fā)現(xiàn)，盡管好多學(xué)生都明確解題方向，但大多數(shù)學(xué)生由于運(yùn)算能力不過關(guān)而導(dǎo)致丟分。

（三）深化模型理解，規(guī)范書寫過程

教好數(shù)學(xué)就是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其內(nèi)涵是引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)對(duì)象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法，獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，