2011江蘇高等學(xué)校招生數(shù)學(xué)試卷及試題解析

?2010-2013菁優(yōu)網(wǎng) 2011年江蘇省普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1．（5分）（2011?江蘇）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，則A∩B={﹣1，2}．考點：交集及其運算．專題：計算題．分析：根據(jù)已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根據(jù)集合交集運算法則我們易給出A∩B解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案為：{﹣1，2}點評：本題考查的知識點是集合交集及其運算，這是一道簡單題，利用交集運算的定義即可得到答案．2．（5分）（2011?江蘇）函數(shù)f（x）=log5（2x+1）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣，+∞）．考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．專題：計算題．分析：要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們要先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解答：解：要使函數(shù)的解析有有意義則2x+1＞0故函數(shù)的定義域為（﹣，+∞）由于內(nèi)函數(shù)u=2x+1為增函數(shù)，外函數(shù)y=log5u也為增函數(shù)故函數(shù)f（x）=log5（2x+1）在區(qū)間（﹣，+∞）單調(diào)遞增故函數(shù)f（x）=log5（2x+1）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣，+∞）故答案為：（﹣，+∞）點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，其中本題易忽略定義域，造成答案為R的錯解．3．（5分）（2011?江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i（z+1）=﹣3+2i（i為虛數(shù)單位），則z的實部是1．考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．專題：計算題．分析：復(fù)數(shù)方程兩邊同乘i，化簡后移項可得復(fù)數(shù)z，然后求出它的實部．解答：解：因為i（z+1）=﹣3+2i，所以i?i（z+1）=﹣3i+2i?i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的實部為：1；故答案為：1點評：本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力，?？碱}型．4．（5分）（2011?江蘇）根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入a，b分別為2，3時，最后輸出的m的值為3．考點：偽代碼．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案為：3點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤．5．（5分）（2011?江蘇）從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是．考點：古典概型及其概率計算公式．專題：計算題．分析：根據(jù)題意，首先用列舉法列舉從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)的全部情況，可得其情況數(shù)目，進(jìn)而可得其中一個數(shù)是另一個的兩倍的情況數(shù)目，由古典概型的公式，計算可得答案．解答：解：從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6種情況；其中其中一個數(shù)是另一個的兩倍的有兩種，即（1，2），（2，4）；則其概率為=；故答案為：．點評：本題考查古典概型的計算，解本題時，用列舉法，注意按一定的順序，做到不重不漏．6．（5分）（2011?江蘇）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2=3.2．考點：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．專題：計算題．分析：首先根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用求方差的公式，代入數(shù)據(jù)求出這組數(shù)據(jù)的方差，得到結(jié)果．解答：解：∵收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，∴收到信件數(shù)的平均數(shù)是=7，∴該組數(shù)據(jù)的方差是，故答案為：3.2點評：本題考查求一組數(shù)據(jù)的方差，對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題．7．（5分）（2011?江蘇）已知，則的值為．考點：二倍角的正切；兩角和與差的正切函數(shù)．專題：計算題；方程思想．分析：先利用兩角和的正切公式求得tanx的值，從而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案為點評：本題考查了二倍角的正切與兩角和的正切公式，體現(xiàn)了方程思想，是個基礎(chǔ)題．8．（5分）（2011?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是4．考點：兩點間距離公式的應(yīng)用．專題：計算題．分析：由題意和函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱知當(dāng)過原點的直線的斜率是1時，直線與函數(shù)圖形的交點之間的距離最短，寫出直線的方程，求出直線與函數(shù)的交點坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式得到結(jié)果．解答：解：由題意知當(dāng)過原點的直線的斜率是1時，直線與函數(shù)圖形的交點之間的距離最短，而y=x與y=的兩個交點的坐標(biāo)是（，）（﹣，﹣），∴根據(jù)兩點之間的距離公式得到|PQ|===4，故答案為：4點評：本題考查反比例函數(shù)的圖形的特點，考查直線與雙曲線之間的交點坐標(biāo)的求法，考查兩點之間的距離公式，是一個綜合題目．9．（5分）（2011?江蘇）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則f（0）=．考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)已知的函數(shù)圖象，我們根據(jù)函數(shù)圖象過（，0），（，﹣）點，我們易結(jié)合A＞0，w＞0求出滿足條件的A、ω、φ的值，進(jìn)而求出滿足條件的函數(shù)f（x）的解析式，將x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的圖象可得函數(shù)的周期T滿足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函數(shù)圖象的最低點為（，﹣）點故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案為：點評：本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，其中利用已知函數(shù)的圖象求出滿足條件的A、ω、φ的值，是解答本題的關(guān)鍵．10．（5分）（2011?江蘇）已知，是夾角為的兩個單位向量，=﹣2，=k+，若?=0，則實數(shù)k的值為．考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：計算題．分析：利用向量的數(shù)量積公式求出；利用向量的運算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夾角為的兩個單位向量∴∴==∵∴解得故答案為：點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、考查向量的運算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）（2011?江蘇）已知實數(shù)a≠0，函數(shù)，若f（1﹣a）=f（1+a），則a的值為．考點：函數(shù)的值；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：計算題．分析：對a分類討論判斷出1﹣a，1+a在分段函數(shù)的哪一段，代入求出函數(shù)值；解方程求出a．解答：解：當(dāng)a＞0時，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去當(dāng)a＜0時，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案為點評：本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值的求法：關(guān)鍵是判斷出自變量所在的范圍．12．（5分）（2011?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=ex（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設(shè)線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題．分析：先設(shè)切點坐標(biāo)為（m，em），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=m處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，求出切線方程，從而求出點M的縱坐標(biāo)，同理可求出點N的縱坐標(biāo)，將t用m表示出來，最后借助導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值即可．解答：解：設(shè)切點坐標(biāo)為（m，em）∴該圖象在點P處的切線l的方程為y﹣em=em（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）em過點P作l的垂線的切線方程為y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=em+me﹣m∴線段MN的中點的縱坐標(biāo)為t=[（2﹣m）em+me﹣m]t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1當(dāng)m∈（0，1）時，t'＞0，當(dāng)m∈（1，+∞）時，t'＜0∴當(dāng)m=1時t取最大值故答案為：點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．13．（5分）（2011?江蘇）設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：計算題；壓軸題．分析：利用等差數(shù)列的通項公式將a6用a2表示，求出a6的最小值進(jìn)一步求出a7的最小值，利用等比數(shù)列的通項求出公比的范圍．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值為3，∴a7的最小值也為3，此時a1=1且a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由題意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案為：．點評：解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題一般利用通項公式、前n項和公式列出方程組，解方程組求解．即基本量法．14．（5分）（2011?江蘇）設(shè)集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，則實數(shù)m的取值范圍是[，2+]．考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題；壓軸題．分析：根據(jù)題意可把問題轉(zhuǎn)換為圓與直線有交點，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，進(jìn)而聯(lián)立不等式組求得m的范圍．解答：解：依題意可知集合A表示一系列圓內(nèi)點的集合，集合B表示出一系列直線的集合，要使兩集合不為空集，需直線與圓有交點，由可得m≤0或m≥當(dāng)m≤0時，有||＞﹣m且||＞﹣m；則有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，則2＞2m+1，可得A∩B=?，當(dāng)m≥時，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，則m的范圍是[，2+]；綜合可得m的范圍是[，2+]；故答案為[，2+]．點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．一般是利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過圓心到直線的距離來判斷．二、解答題（共9小題，滿分120分）15．（14分）（2011?江蘇）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考點：正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計算題．分析：（1）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a與c的關(guān)系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因為，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=點評：本題是基礎(chǔ)題，考查正弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，常考題型．16．（14分）（2011?江蘇）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：證明題．分析：（1）要證直線EF∥平面PCD，只需證明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD?平面PCD即可．（2）連接BD，證明BF⊥AD．說明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后證明平面BEF⊥平面PAD．解答：證明：（1）在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD．又因為EF不在平面PCD中，PD?平面PCD所以直線EF∥平面PCD．（2）連接BD．因為AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD為正三角形．因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因為BF?平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．點評：本題是中檔題，考查直線與平面平行，平面與平面的垂直的證明方法，考查空間想象能力，邏輯推理能力，常考題型．17．（14分）（2011?江蘇）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=x（cm）．（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題：應(yīng)用題．分析：（1）可設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），寫出a，h與x的關(guān)系式，并注明x的取值范圍．再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后求出何時它取得最大值即可；（2）利用體積公式表示出包裝盒容積V關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后利用導(dǎo)數(shù)知識求出何時它取得的最大值即可．解答：解：設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），則a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴當(dāng)x=15時，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，當(dāng)x∈（0，20）時，V′＞0；當(dāng)x∈（20，30）時，V′＜0；∴當(dāng)x=20時，包裝盒容積V（cm3）最大，此時，．即此時包裝盒的高與底面邊長的比值是．點評：考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力．屬于基礎(chǔ)題．18．（16分）（2011?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）若直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當(dāng)k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：計算題；證明題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）由題設(shè)寫出點M，N的坐標(biāo)，求出線段MN中點坐標(biāo)，根據(jù)線PA過原點和斜率公式，即可求出k的值；（2）寫出直線PA的方程，代入橢圓，求出點P，A的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得點P到直線AB的距離d；（3）要證PA⊥PB，只需證直線PB與直線PA的斜率之積為﹣1，根據(jù)題意求出它們的斜率，即證的結(jié)果．解答：解：（1）由題設(shè)知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以線段MN中點坐標(biāo)為（﹣1，﹣）．由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過原點，所以k=．（2）直線PA的方程為y=2x，代入橢圓方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直線AC的斜率為1，故直線AB的方程為x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）設(shè)P（x1，y1），B（x2，y2），則x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2．因為C在直線AB上，所以k2=，從而kk1+1=2k1k2+1=2?===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．點評：此題是個難題．考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，以及直線斜率的求法，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．19．（16分）（2011?江蘇）已知a，b是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x）g'（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致（1）設(shè)a＞0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上單調(diào)性一致，求實數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)a＜0，且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a﹣b|的最大值．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計算題．分析：（1）先求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[﹣1，+∞）上單調(diào)性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，來求實數(shù)b的取值范圍；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分別求出兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，綜合在一起看何時函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，進(jìn)而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由題得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因為a＞0，故3x2+a＞0，進(jìn)而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故實數(shù)b的取值范圍是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因為f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函數(shù)f（x）和g（x）在（a，b）上不是單調(diào)性一致的．因此b≤0．現(xiàn)設(shè)b≤0，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（﹣∝，﹣）時，f'（x）＞0．因此，當(dāng)x∈（﹣∝，﹣）時，f'（x）g'（x）＜0．故由題設(shè)得a≥﹣且b≥﹣，從而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且當(dāng)a=﹣，b=0時等號成立，又當(dāng)a=﹣，b=0時，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），從而當(dāng)x∈（﹣，0）時f'（x）g'（x）＞0．故函數(shù)f（x）和g（x）在（﹣，0）上單調(diào)性一致，因此|a﹣b|的最大值為．點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．20．（16分）（2011?江蘇）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意整數(shù)k∈M，當(dāng)整數(shù)n＞k時，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）都成立（1）設(shè)M={1}，a2=2，求a5的值；（2）設(shè)M={3，4}，求數(shù)列{an}的通項公式．考點：數(shù)列遞推式；數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：綜合題．分析：（1）由集合M的元素只有一個1，得到k=1，所以當(dāng)n大于1即n大于等于2時，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1）都成立，變形后，利用Sn+1﹣Sn=an+1，及a1=1化簡，得到當(dāng)n大于等于2時，此數(shù)列除去首項后為一個等差數(shù)列，根據(jù)第2項的值和確定出的等差寫出等差數(shù)列的通項公式，因為5大于2，所以把n=5代入通項公式即可求出第5項的值；（2）當(dāng)n大于k時，根據(jù)題意可得Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk），記作①，把n換為n+1，得到一個關(guān)系式記作②，②﹣①后，移項變形后，又k等于3或4得到當(dāng)n大于等于8時此數(shù)列每隔3項或4項成等差數(shù)列，即an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到一個關(guān)系式，記作（*），且an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等差數(shù)列，又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到另外一個關(guān)系式，等量代換得到an+2﹣an=an﹣an﹣2，得到當(dāng)n大于等于9時，每隔兩項成等差數(shù)列，設(shè)出等差數(shù)列的四項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡變形，設(shè)d=an﹣an﹣1，從而得到當(dāng)n大于等于2小于等于8時，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一個關(guān)系式，同時把n+7也代入（*）得到另外一個關(guān)系式，兩者相減后根據(jù)設(shè)出的d=an﹣an﹣1，經(jīng)過計算后，得到n大于等于2時，d=an﹣an﹣1都成立，從而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化簡后得到d與前3項的和及d與前4項和的關(guān)系式，兩關(guān)系式相減即可表示出第4項的值，根據(jù)d=an﹣an﹣1，同理表示出第3項，第2項及第1項，得到此數(shù)列為等差數(shù)列，由首項等于1即可求出d的值，根據(jù)首項和等差寫出數(shù)列的通項公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根據(jù)題意可知k=1，所以n≥2時，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+S1），即（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=2S1，又a1=1，則an+1﹣an=2a1=2，又a2=2，所以數(shù)列{an}除去首項后，是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)n≥2時，an=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根據(jù)題意可知當(dāng)k∈M={3，4}，且n＞k時，Sn+k+Sn﹣k=2（Sn+Sk）①，且Sn+1+k+Sn+1﹣k=2（Sn+1+Sk）②，②﹣①得：（Sn+1+k﹣Sn+k）+（Sn+1﹣k﹣Sn﹣k）=2（Sn+1﹣Sn），即an+1+k+an+1﹣k=2an+1，可化為：an+1+k﹣an+1=an+1﹣an+1﹣k所以n≥8時，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等差數(shù)列，且an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等差數(shù)列，從而當(dāng)n≥8時，2an=an﹣3+an+3=an﹣6+an+6，（*）且an﹣2+an+2=an﹣6+an+6，所以當(dāng)n≥8時，2an=an﹣2+an+2，即an+2﹣an=an﹣an﹣2，于是得到當(dāng)n≥9時，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等差數(shù)列，從而an﹣3+an+3=an﹣1+an+1，由（*）式可知：2an=an﹣1+an+1，即an+1﹣an=an﹣an﹣1，當(dāng)n≥9時，設(shè)d=an﹣an﹣1，則當(dāng)2≤n≤8時，得到n+6≥8，從而由（*）可知，2an+6=an+an+12，得到2an+7=an+1+an+13，兩式相減得：2（an+7﹣an+6）=an+1﹣an+（an+13﹣an+12），則an+1﹣an=2d﹣d=d，因此，an﹣an﹣1=d對任意n≥2都成立，又由Sn+k+Sn﹣k﹣2Sn=2Sk，可化為：（Sn+k﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣k）=2Sk，當(dāng)k=3時，（Sn+3﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣3）=9d=2S3；同理當(dāng)k=4時，得到16d=2S4，兩式相減得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因為a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，由a1=1可知d=2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．點評：此題考查學(xué)生靈活運用數(shù)列的遞推式化簡求值，掌握確定數(shù)列為等差數(shù)列的方法，會根據(jù)等差數(shù)列的首項和等差寫出數(shù)列的通項公式，是一道中檔題．21．（10分）（2011?江蘇）A．選修4﹣1：幾何證明選講如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2（r1＞r2）．圓O1的弦AB交圓O2于點C（O1不在AB上）．求證：AB：AC為定值．B．選修4﹣2：矩陣與變換已知矩陣，向量．求向量，使得A2=．C．選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓（φ為參數(shù)）的右焦點，且與直線（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．D．選修4﹣5：不等式選講（本小題滿分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考點：橢圓的參數(shù)方程．專題：數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想．分析：A、如圖，利用EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，證出結(jié)論．B、設(shè)向量=，由A2=，利用矩陣的運算法則，用待定系數(shù)法可得x和y的值，從而求得向量．C、把橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，求出右焦點的坐標(biāo)，把直線參數(shù)方程化為普通方程，求出斜率，用點斜式求得所求直線的方程．D、原不等式可化為，或，分別解出這兩個不等式組的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如圖：連接AO1并延長，交兩圓于D，E，則O2在AD上，根據(jù)直徑對的圓周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2為定值．B、A2==，設(shè)向量=，由A2=可得=，∴，解得x=﹣1，y=2，∴向量=．C、橢圓（φ為參數(shù)）的普通方程為+=1，右焦點為（4，0），直線（t為參數(shù)）即x﹣2y+2=0，斜率等于，故所求的直線方程為y﹣0=（x﹣4），即x﹣2y﹣4=0．D、原不等式可化為，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集為{x|﹣2＜x＜}．點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程與普通方程的互化，矩陣的運算法則，絕對值不等式的解法．22．（10分）（2011?江蘇）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，點N是BC的中點，點M在CC1上．設(shè)二面角A1﹣DN﹣M的大小為θ