數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)

數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)xxx公司數(shù)學(xué)選修2-3知識點總結(jié)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計，管理制度第二章概率總結(jié)知識結(jié)構(gòu)連續(xù)性隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望方差二項分布正態(tài)分布事件的獨立性條件概率離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量超幾何分布連續(xù)性隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望方差二項分布正態(tài)分布事件的獨立性條件概率離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量超幾何分布知識點1.隨機(jī)試驗的特點:①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2.分類隨機(jī)變量（如果隨機(jī)試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母ξ、η等表示。）離散型隨機(jī)變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．連續(xù)型隨機(jī)變量對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.3.離散型隨機(jī)變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,,xi,,xnX取每一個值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)：①pi≥0,i=1，2，…；②p1+p2+…+pn=1．③一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。求離散型隨機(jī)變量分布列的解題步驟例題：籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分，已知某運(yùn)動員罰球命中的概率為，求他罰球一次的得分的分布列.解：用隨機(jī)變量X表示“每次罰球得的分值”設(shè)離散型隨機(jī)變量，依題可知，X可能的取值為：1,0設(shè)離散型隨機(jī)變量且P（X=1）=，P（X=0）=交代題中所隱含的信息交代題中所隱含的信息因此所求分布列為：答題即寫出分布列答題即寫出分布列引出二二點分布如果隨機(jī)變量X的分布列為：其中0<p<1，q=1-p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)p的二點分布二點分布的應(yīng)用：如抽取彩票是否中獎問題、新生嬰兒的性別問題等.超幾何分布一般地,設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(n≤N)件,這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量，則它取值為k時的概率為，其中,且則稱隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,且稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)N、M、n的超幾何分布注意：（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣；（2）超幾何分布中的參數(shù)是N、M、n，其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量解題步驟：例題、在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中舍隨機(jī)變量且交代其服從NMn的超幾何分布舍隨機(jī)變量且交代其服從NMn的超幾何分布X可能的取值為0，1，2，3，4,5.寫出x可能的取值寫出x可能的取值由題目可知，至少摸到3個紅球的概率為≈運(yùn)用公式解題運(yùn)用公式解題答：中獎概率為.答題答題條件概率定義：對任意事件A和事件B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B的概率事件的交（積）:由事件A和事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與事件B的交（或積）.記作D=A∩B或D=AB條件概率計算公式:P(B|A)相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間,求Ａ∩Ｂ發(fā)生的概率:公式推導(dǎo)過程公式推導(dǎo)過程解題步驟：例題、10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.解：設(shè)A={第一個取到次品}，B={第二個取到次品}，設(shè)事件設(shè)事件由題意計算出P(AB)由題意計算出P(AB)和P(A)或者P(B|A)和P(A)所以，P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9根據(jù)條件概率共識計算根據(jù)條件概率共識計算答：第二個又取到次品的概率為2/9.答題答題相互獨立事件定義：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件說明說明（1）判斷兩事件A、B是否為相互獨立事件，關(guān)鍵是看A（或B）發(fā)生與否對B（或A）發(fā)生的概率是否影響，若兩種狀況下概率不變，則為相互獨立.（2）互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件；相互獨立事件是指一事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒影響.（3）如果A、B是相互獨立事件，則A的補(bǔ)集與B的補(bǔ)集、A與B的補(bǔ)集、A的補(bǔ)集與B也都相互獨立.說明（1）使用時，注意使說明（1）使用時，注意使用的前提條件；（2）此公式可作為判斷事件是否相互獨立的理論依據(jù)，即P(A·B)=P(A)·P(B)是A、B相互獨立的充要條件.2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。則有如果事件A1，A2，…An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即：P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)則稱A，B相互獨立3.兩事件是否互為獨立事件的判斷與證明則稱A，B相互獨立解題步驟例題、一袋中有2個白球，2個黑球，做一次不放回抽樣試驗，從袋中連取2個球，觀察球的顏色情況，記“第一個取出的是白球”為事件A，“第二個取出的是白球”為事件B，試問A與B是不是相互獨立事件答：不是，因為件A發(fā)生時（即第一個取到白球），事件B的概率P（B）=1/3，而當(dāng)事件A不發(fā)生時（即第一個取到的是黑球），事件B發(fā)生的概率P（B）=2/3，也就是說，事件A發(fā)生與否影響到事件B發(fā)生的概率，所以A與B不是相互獨立事件。證明：由題可知，P(B|A)=1/3，P(B|A的補(bǔ)集)=2/3因為P(B|A)≠P(B|A的補(bǔ)集)所以A與B不是相互獨立事件獨立重復(fù)試驗1.定義：在同等條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨立的一種試驗2.說明：①這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的②每次試驗是在同樣條件下進(jìn)行；③每次試驗間又是相互獨立的，互不影響.前提二項分布引入:一般地，如果在1次實驗中某事件A發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P()Pn(k)是[(1-P)+P]n的通項公式，所以也把上式叫做二項分布公式.二項分布定義：設(shè)在n次獨立重復(fù)試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，事件A不發(fā)生的概率為q=1-p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中（其中k=0,1,,n，q=1-p）于是可得隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：由于恰好是二項展開式中的第k+1項，所以，稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記：解題步驟例題、某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布．解：依題意，隨機(jī)變量ξ～B(2，5%)．∴P(ξ=0)=(95%)2=，P(ξ=1)=(5%)(95%)=，P(ξ=2)=(5%)2=．因此，次品數(shù)ξ的概率分布是

ξ

0

ξ

0

1

2

P

幾何分布定義：在獨立重復(fù)試驗中，某事件A第一次發(fā)生時所作的試驗次數(shù)ξ也是一個取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量。“ξ=k”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件A第一次發(fā)生。如果把第k次實驗時事件A發(fā)生記為Ak，p(Ak)=p，事件A不發(fā)生記為，P()=q(q=1-p)，那么（k=0,1,2…,q=1-p.）于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：ξ1ξ123…k…

Pppqpq2…pqk-1…稱ξ服從幾何分布，并記g(k,p)=p·qk-1離散型隨機(jī)變量的期望和方差一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望．是離散型隨機(jī)變量說明：（1）數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，則有p1=p2=…=pn=，Eξ=(x1+x2+…+xn)，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值=E(ξ-E=E(ξ-Eξ)2=Eξ2—（Eξ）2Dξ=（x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2+…+（xn-Eξ)2·Pn+…叫隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱方差。說明：①、Dξ的算術(shù)平方根√Dξ——隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作σξ；②、標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量的單位相同；③、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與分散的程度。集中分布的期望與方差一覽期望方差兩點分布Eξ=pDξ=pq，q=1-p超幾何分布D（X）=np（1-p）*（N-n）/（N-1）不要求二項分布ξ～B（n,p）Eξ=npDξ=qEξ=npq，q=1-p幾何分布p(ξ=k)=g(k，p)1/p正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光