材料力學(xué)講義1128T35

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6計(jì)算莫爾積分的圖乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡(jiǎn)稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.3可變形固體在受外力作用而變形時(shí),外力和內(nèi)力均將作功.對(duì)于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應(yīng)位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計(jì)算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當(dāng)拉力為F1時(shí),桿件的伸長(zhǎng)為Δl1當(dāng)再增加一個(gè)dF1時(shí),相應(yīng)的變形增量為d(Δl1)5FFllFlFOll1dl1dF1F1積分得:6根據(jù)功能原理當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí):

Vε=W,可得以下變形能表達(dá)式7（單位J/m3)比能（strainenergydensity）:單位體積的應(yīng)變能.記作u當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化時(shí)：82.扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9純彎曲（purebending)橫力彎曲（nonuniformbending）3.彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe104.組合變形的變變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾幾種內(nèi)力,各個(gè)內(nèi)力及相相應(yīng)的各個(gè)位位移相互獨(dú)立立,力獨(dú)立作用原原理成立,各個(gè)內(nèi)力只對(duì)對(duì)其相應(yīng)的位位移做功.5.純剪切應(yīng)力狀狀態(tài)下的比能能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假設(shè)單元體左左側(cè)固定,因此變形后右右側(cè)將向下移移動(dòng)dx.11dxdydzxyzabd因?yàn)楹苄?所以在變形過過程中,上下兩面上的的外力將不作作功.只有右側(cè)面的的外力（dydz）對(duì)相應(yīng)的位移移dx作了功.dx當(dāng)材料在線彈彈性范圍內(nèi)內(nèi)內(nèi)工作時(shí),上述力與位移移成正比,因此,單元體上外力所作的功功為比能為12將=G代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能的的計(jì)算13將代入上式得14二、變形能的普遍遍表達(dá)式（Generalformulaforstrainenergy）F--廣義力(包括力和力偶偶)δ--廣義位移(包括線位移和和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設(shè)廣義力按按某一比例由由零增致最后后值對(duì)應(yīng)的廣廣義位移也由由零增致最后后值.15對(duì)于線性結(jié)構(gòu)構(gòu),位移與荷載之之間是線性關(guān)關(guān)系，任一廣廣義位移,例如2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C點(diǎn)引起的豎向向位移.C1,C2,C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時(shí)也是常數(shù)F1/F2和2與F2之間的關(guān)系是是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關(guān)系也也是線性的.16在整個(gè)加載過過程中結(jié)構(gòu)的的變形能等于于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理理（只限于線線性結(jié)構(gòu)）Fii17三、變形能的的應(yīng)用（Applicationofstrainenergy）1.計(jì)算變形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理理計(jì)算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例題1試求圖示懸臂臂梁的變形能能,并利用功能原原理求自由端端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得18例題2試求圖示梁的的變形能,并利用功能原原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例題3試求圖示四分分之一圓曲桿桿的變形能,并利用功能原原理求B截面的垂直位位移.已知EI為常量.解：ABFORθ由Vε=W得20例題4拉桿在線彈性性范圍內(nèi)工作作.抗拉剛度EI,受到F1和F2兩個(gè)力作用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分別計(jì)算兩兩種加力方方法拉桿的的應(yīng)變能.ABCabF1F221（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移移為外力作功為為（b）再在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為22（c）在加F2后,B截面又有位位移在加F2過程中F1作功（常力力作功）所以應(yīng)變能能為ABCabF1F223（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F224（c）加F1引起C截面的位移移在加F1過程中F2作功（常力力作功）ABCabF1F2所以應(yīng)變能能為注意：（1）計(jì)算算外力作功功時(shí),注意變力作作功與常力力作功的區(qū)區(qū)別.（2）應(yīng)變能Vε只與外力的的最終值有有關(guān),而與加載過過程和加載載次序無關(guān)關(guān).252解:梁中點(diǎn)的撓撓度為:梁右右端端的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為:MeACBFl/2l/2梁的的變變形形能能為為:1例題題5以彎彎曲曲變變形形為為例例證證明明應(yīng)變變能能Vε只與與外外力力的的最最終值值有有關(guān)關(guān),而與與加加載載過過程程和加加載載次次序序無無關(guān)關(guān).26先加加力力F后,再加加力力偶偶Me（1）先先加加力力F后,C點(diǎn)的的位位移移力F所作作的的功功為為（2）力力偶偶由由零零增增至至最最后后值值MeB截面面的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為力偶偶Me所作作的的功功為為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127先加加上上的的力力F所作作的的功功為為C截面面的的位位移移為為3ACBl/2l/2F與力偶偶Me所作作的的功功為為ACBFl/2l/21Me28兩力力作作用用點(diǎn)點(diǎn)沿沿力力作作用用方方向向的的位位移移分分別別為為F1,F2（1）設(shè)設(shè)在在線線彈彈性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)上上作作用用力力1,2一、、功功的的互互等等定定理理（Reciprocalworktheorem）§13-3互等等定定理理（ReciprocalTheorems)12F1F229F1F212F1和F2完成成的的功功應(yīng)應(yīng)為為（2）在在結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)上上再再作作用用有有力力F3,F4沿F3和F4方向向的的相相應(yīng)應(yīng)位位移移為為3,4F334F4F3和F4完成成的的功功應(yīng)應(yīng)為為30（3）在在F3和F4的作作用用下下,F1和F2的作作用用點(diǎn)點(diǎn)又又有有位位移移F1和F2在1′和2′上完成成的的功功應(yīng)應(yīng)為為F1F212F334F4因此此,按先先加加F1,F2后F3,F4的次次序序加加力力,結(jié)構(gòu)構(gòu)的的應(yīng)應(yīng)變變能能為為1′和2′31F1F21234F4F3若按按先先加加F3,F4后加加F1,F2的次次序序加加力力,又可可求求得得結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的應(yīng)應(yīng)變變能能為為由于于應(yīng)應(yīng)變變能能只只決決定定于于力力和和位位移移的的最最終終值值,與加加力力的的次次序序無無關(guān)關(guān),故32功的的互互等等定定理理（reciprocalworktheorem）:第一一組組力力在在第第二二組組力力引引起起的的位位移移上上所所作作的的功功,等于于第第二二組組力力在在第第一一組組力力引引起起的的位位移移上上所所作作的的功功.二、、位位移移互互等等定定理理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第第一一組組力力F1,第二二組組力力只只有有F3,則如果果F1=F3,則有有33位移移互互等等定定理理（reciprocalworktheorem）：F1作用用點(diǎn)點(diǎn)沿沿F1方向向因作作用用F3而引起起的的位位移移等等于于F3作用用點(diǎn)點(diǎn)沿沿F3方向向因作作用用F1而引起起的的位位移移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、、注注意意（Notice）（1）力力和和位位移移都都應(yīng)應(yīng)理理解解為為廣廣義義的的.（2）這這里里是是指指結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)不不可可能能發(fā)發(fā)生生剛剛性性位位移移的的情情況況下下,只是是由由變變形形引引起起的的位位移移.34§13-4單位位荷荷載載法法莫爾爾定定理理（Unit-loadmethod&mohr’’stheorem）一、、莫莫爾爾定定理理的的推推導(dǎo)導(dǎo)（Derivationofmohr’stheorem）求任意點(diǎn)A的位移wAF1F2A35A圖b變形能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1（1）先在A點(diǎn)作用單位力力F0,再作用F1、F2力36（2）三個(gè)力同時(shí)時(shí)作用時(shí)任意截面的彎彎矩:變形能:37（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式式的莫爾定理理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ應(yīng)看成廣義位位移,把單位力看成成與廣義位移移相對(duì)應(yīng)的廣廣義力.38三、使用莫爾爾定理的注意意事項(xiàng)（5）莫爾積分必必須遍及整個(gè)個(gè)結(jié)構(gòu).（1）M（x）：結(jié)構(gòu)在原原載荷下的內(nèi)內(nèi)力;（3）所加廣義單單位力與所求求廣義位移之之積,必須為功的量量綱;（2）——去掉主動(dòng)力,在所求廣義位移點(diǎn),沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時(shí),結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M（4）與M（x）的坐標(biāo)系必須一致,每段桿的坐標(biāo)系可自由建立;M（x）39A例題5抗彎剛度為EI的等截面簡(jiǎn)支支梁受均布荷荷載作用,用單位載荷法法求梁中點(diǎn)的的撓度wC和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的的影響不計(jì).qBCll/2ql/2ql/2解:在實(shí)際荷載作作用下,任一x截面的彎矩為為40AAB11/21/2C（1）求C截面的撓度在C點(diǎn)加一向下的的單位力,任一x截面的彎矩為為xqBCll/2ql/2ql/241ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的轉(zhuǎn)角在A截面加一單位位力偶引起的x截面的彎矩為為qCll/2（順時(shí)針）ql/242B例題6圖示外伸梁,其抗彎剛度為為EI.用單位載荷法法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角.ACqF=qaa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓撓度（在C處加一單位力力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx145BABC:AB:（2）求C截面的轉(zhuǎn)角（（在C處加一單位力力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46例題7剛架的自由端端A作用集中力F.剛架各段的抗抗彎剛度已于于圖中標(biāo)出.不計(jì)剪力和軸軸力對(duì)位移的的影響.計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移移及B截面的轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI2解:（1）計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移移,在A點(diǎn)加垂直向下下的單位力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2）計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角,在B上加一個(gè)單位位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例題8圖示剛架,兩桿的EI和EA分別相同,試求C點(diǎn)的水平位移移.CFabAB解:在C點(diǎn)加一水平單單位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例題9圖示為一水平平面內(nèi)的曲桿桿，B處為一剛性節(jié)節(jié)點(diǎn)，ABC=90°在C處承受豎直力力F，設(shè)兩桿的抗抗彎剛度和抗抗扭剛度分別別是EI和GIp，求C點(diǎn)豎向的位移移.ABCFab53xx解:在C點(diǎn)加豎向單位位力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例題10由三桿組成的的剛架,B,C為剛性節(jié)點(diǎn),三桿的抗彎剛剛度都是EI,試用單位載荷荷法求A1,A2兩點(diǎn)的相對(duì)位位移.A1A2BCllFF56x解：在A1,A2處加一對(duì)水平平單位力.B,C兩支座的反力力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例題11剛架受力如圖圖,求A截面的垂直位位移,水平位移及轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角.ABCllq58AB：BC：解:求A點(diǎn)鉛垂位移（（在A點(diǎn)加豎向單位位力）xxxxABCllqABCllq159求A點(diǎn)水平位移（（在A點(diǎn)加水平單位位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（在在A點(diǎn)加一單位力力偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例題12圖示為一簡(jiǎn)單單桁架,其各桿的EA相等.在圖示荷載作作用下A、C兩節(jié)點(diǎn)間的相相對(duì)位移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的的單位荷載法法為116312345678桿件編號(hào)90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C兩點(diǎn)間的距離離縮短.64例題13計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)環(huán)在F力作用下切口口的張開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)65BARPF(b)BARP1(c)解：OO66213設(shè)彈性性結(jié)構(gòu)構(gòu)在支支座的的約束束下無無任何何剛性性位移移.作用有有外力力:F1,F2,,Fi,相應(yīng)的的位移移為：：1,2,,i,§13-5卡氏定定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結(jié)構(gòu)的的變形形能67只給Fi一個(gè)增增量Fi.引起所所有力力的作作用點(diǎn)點(diǎn)沿力力方向向的位位移增增量為為213F1F2F3在作用用Fi的過程程中,Fi完成的的功為為原有的的所有有力完完成的的功為為結(jié)構(gòu)應(yīng)應(yīng)變能能的增增量為為68如果把把原來來的力力看作作第一一組力力,而把Fi看作第第二組組力.根椐互互等定定理略去高階微量或者當(dāng)Fi趨于零零時(shí),上式為為這就是是卡氏第第二定定理（Castigliano’sSecondTheorem）（卡氏氏定理理）（Castigliano’sTheorem）69（1）卡氏氏第二二定理理只適適用于于線性性彈性性體說明（Directions）：（2）Fi為廣義義力，i為相應(yīng)應(yīng)的位位移一個(gè)力一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移70（3）卡氏氏第二二定理理的應(yīng)應(yīng)用（a）軸向拉拉伸與與壓縮縮（b）扭轉(zhuǎn)（c）彎曲71（4）平面桁桁架（5）組組合合變形形72例題14外伸梁梁受力力如圖圖所示示,已知彈彈性模模量EI.梁材料料為線線彈性性體.求梁C截面的的撓度度和A截面的的轉(zhuǎn)角角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例題15剛架結(jié)結(jié)構(gòu)如如圖所所示.彈性模模量EI已知。。材料料為線線彈性性.不考慮慮軸力力和剪剪力的的影響響，計(jì)計(jì)算C截面的的轉(zhuǎn)角角和D截面的的水平平位移移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛虛設(shè)一一力偶偶Ma,在D截面虛虛設(shè)一一水平平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例題16圓截面面桿ABC,（ABC=90°）位于水水平平平面內(nèi)內(nèi),已知桿桿截面面直徑徑d及材料料的彈彈性常常數(shù)E,G.求C截面處處的鉛鉛垂位位移.不計(jì)剪剪力的的影響響.ABCllq79BC:彎曲變變形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲與與扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的組組合變變形（扭轉(zhuǎn)變變形））（彎曲曲變形形）8081例題17圖示剛剛架各各段的的抗彎彎剛度度均為為EI.不計(jì)軸軸力和和剪力力的影影響.用卡氏氏第二二定理理求截截面D的水平平位移移D和轉(zhuǎn)角角D.MaxF1FABCDll2l解:在D點(diǎn)虛設(shè)一力力偶矩MaCD:彎曲變形82但是軸力不不計(jì),因此橫截面面上的內(nèi)力只計(jì)計(jì)彎矩.F1ABCF2FlMa將力F向C簡(jiǎn)化得：力F（產(chǎn)生拉伸伸變形）力偶矩2Fl（產(chǎn)生彎曲變變形）Ma（產(chǎn)生彎曲曲變形）AC產(chǎn)生拉伸與與彎曲的組組合變形.橫截面上的的內(nèi)力有軸軸力和彎矩矩.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡(jiǎn)化得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§13-6計(jì)算莫爾積分的的圖乘法(Themethodofmomentareasforthemohr’’sintegration)等直桿的情情況下,莫爾積分中中的EI為常量,可提到積分分號(hào)外面只需計(jì)算:85因?yàn)槭怯蓡挝涣騿挝涣ε家鸬膹澗?故沿桿長(zhǎng)方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl設(shè)在桿長(zhǎng)為為l的一段內(nèi)M（x）圖是曲線線設(shè)直線方程程是M(x)是直線,為l段內(nèi)圖M(x)的面積ω87M(x)xlxωxCCC為圖M(x)的形心,xC為其坐標(biāo)為圖M(x)對(duì)y軸坐標(biāo)的靜矩是和M(x)圖的形心對(duì)應(yīng)處的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC對(duì)于等直桿桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對(duì)應(yīng)的的乘積來代替MC當(dāng)M圖為正彎矩矩時(shí),w應(yīng)代以正號(hào)號(hào).當(dāng)M圖為負(fù)彎矩矩時(shí),w應(yīng)代以負(fù)號(hào)號(hào).也應(yīng)按彎矩符號(hào)給以正負(fù)號(hào).MC注意有時(shí)M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,而為折線,則應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)89b幾中常見圖圖形的面積積和形心的的計(jì)算公式式alh三角形CClh頂點(diǎn)二次拋物線線90lh頂點(diǎn)cN次拋物線lh頂點(diǎn)c二次拋物線線3l/4l/491例題18均布荷載作作用下的簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁,其EI為常數(shù).求跨中點(diǎn)的的撓度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例題19圖示梁,抗彎剛度為為EI,承受均布載載荷q及集中力F作用.用圖乘法求求:（1）集中力作作用端撓度度為零時(shí)的的F值；（2）集中力作作用端轉(zhuǎn)角角為零時(shí)的的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例題20圖示開口剛剛架,EI為常數(shù).求A和B兩截面的相相對(duì)角位移移qAB和沿F力作用線方方向的相對(duì)對(duì)線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例題21圖示剛架,EI為常數(shù).求A截面的水平平位移ΔAH和轉(zhuǎn)角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例題22拐桿如圖,A處為一軸承承,允許桿在軸軸承內(nèi)自由由轉(zhuǎn)動(dòng),但不能上下下移動(dòng),已知:E=210GPa,G=0.4E,求B點(diǎn)的垂直直位移.