33一階微分方程的求解課件

電路暫態(tài)分析的目的是為了得到電路的時域響應(yīng)。建立動態(tài)電路的狀態(tài)方程，得到一階微分方程組（或一階微分方程），再求該方程組的解。因此暫態(tài)分析的實質(zhì)就是如何獲得并且求解電路的常微分方程。電路暫態(tài)分析的目的是為了得到建立動態(tài)電路的狀態(tài)方程，得到一階13.3一階微分方程的求解一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給定初始條件下，求微分方程的初值問題

基本思想：在初值問題存在唯一解的時間區(qū)間內(nèi)，在若干個時間離散點上，用差分方程代替微分方程，然后逐點求解差分方程，得到各時間離散點、…處的函數(shù)近似值、…

3.3一階微分方程的求解一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給2

當(dāng)兩相鄰離散點之間的間隔較小時，用一階差商取代一階導(dǎo)數(shù)

一.前向歐拉法令步長，則其近似值為：

近似解的誤差首先是由差商近似代替微商引起的，這種近似代替所產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。還有一種誤差稱為舍入誤差，這種誤差是由于計算時數(shù)值舍入引起的。當(dāng)兩相鄰離散點之間的間隔較小時，用一階差商一.前向歐拉法令3前向歐拉法的幾何意義：在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長起點的斜率。

歐拉法的幾何意義：過點A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，An（tn，yn），斜率分別為f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，yn）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。前向歐拉法的幾何意義：在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)4例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法又有：【思路】用歐拉法求解常微分方程的初值問題時，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式，根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長進行迭代求解。例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)5微分方程是一階線性微分方程，

可求出其通解：則方程的解為：從而有：帶入初值可得一階非齊次線性微分方程微分方程是一階線性微分方程，

6計算結(jié)果列表（為前向歐拉法計算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.6203595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正計算結(jié)果列表（為前向歐拉法計算近似值，

為7分析：當(dāng)步長不是很小時，前向歐拉法的精度不是很高。步長取定后，步數(shù)越多，誤差越大。分析：當(dāng)步長不是很小時，前向歐拉法的精度不8二、后向歐拉法用一階差商近似代替在一個步長終點的一階導(dǎo)數(shù)，則原微分方程化為：對于給定初始條件的微分方程

其近似值：

二、后向歐拉法用一階差商近似代替在一個步長終點的一階9在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長終點的斜率。

后向歐拉法的幾何意義：

精確值近似值在任一步長內(nèi)，用一段直線后向歐拉法的幾何意義：精確值近似10注：后向歐拉法的兩種處理方式①前向Euler法為顯式，后向Euler法為隱式——須解出yk+1.②可用迭代法yk+1

(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（結(jié)合前向歐拉法，預(yù)報）注：后向歐拉法的兩種處理方式11例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)后向歐拉法又例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)12計算結(jié)果列表（為后向歐拉法計算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060負(fù)計算結(jié)果列表（為后向歐拉法計算近似值，

為精確值13三.梯形法及其預(yù)估-矯正法用一階差商近似地代替函數(shù)在一個步長起點和終點的一階導(dǎo)數(shù)的平均值

梯形公式（歐拉中點公式）近似值：改進歐拉法三.梯形法及其預(yù)估-矯正法用一階差商近似地代替函數(shù)在一個步14顯然，梯形公式是隱式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由顯式的歐拉公式給出：然后將替代梯形公式等式右邊出現(xiàn)的當(dāng)步長h足夠小，且由前向歐拉法計算的已是較好的近似，則迭代一、二次即可預(yù)報校正迭代次數(shù)顯然，梯形公式是隱式法，一般求需要解方程，常采用迭代15幾何意義Euler法折線法改進Euler法平均斜率折線法幾何意義16例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-矯正法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法梯形預(yù)估-矯正例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-矯正法解初值問題取步長h=0.1，并把17計算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-矯正法計算

近似值，為精確值）k

01.000011.10.3423777890.3459198760.00354208721.20.8583145370.8666425360.00832799931.31.5927496431.6072150790.01446543641.42.5982982392.6203595520.02206131351.53.9364441143.9676662950.03122218161.65.6789071035.7209615270.04205442471.77.9092092167.9638734790.054664263計算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-矯正法計算

近似值，18function[TY]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)%odefun:微分方程a、b：計算區(qū)間%ya：初值y(a)M：等分?jǐn)?shù)目%T:離散的時間變量％Y梯形公式的預(yù)估校正法解h=(ab(2)-ab(1))/M;％步長T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;forj=1:Mk1=feval(odefun,T(j),Y(j));k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);endFunctiony=euler_3_3_2(t,x)y=2/t*x+t^2*exp(t）[TY]=Trapezia_reckon('euler_3_3_2',[12],0,10)function[TY]=Trapezia_reckon19求解器求解問題特點說明ode45非剛性一步算法；4，5階Runge-Kutta算法大部分場合的首選算法ode23非剛性一步算法；2，3階Runge-Kutta算法使用于精度較低的情形ode113非剛性多步法；變階次的Adams-Bashforth-Moulton算法計算時間比ode45短ode23t剛性采用梯形算法適合中度剛性問題的求解ode15s剛性多步法；采用了數(shù)值差分算法若ode45失效時，可嘗試使用;ode23s剛性一步法；2階Rosebrock算法當(dāng)精度較低時，計算時間比ode15s短ode23tb剛性隱式Runge-Kutta算法當(dāng)精度較低時，計算時間比ode15s短不同求解器的特點求解器求解問題特點說明ode45非剛性一步算法；4，5階Ru20在用常微分方程描述一個電路的暫態(tài)過程時，往往又包含著多個變化速度相差十分懸殊的子過程，這樣一類過程就認(rèn)為具有“剛性(stiff)”，描述這類過程的微分方程稱為“剛性問題”。例如，電路某一變量以e-t緩慢衰減，而另一變量以e-1000t快速衰減，兩變量時間常數(shù)相差很大，建立的常微分方程就具有“剛性”。剛性問題數(shù)值解的穩(wěn)定性通常被最快的模式控制，剛性問題解答的難度就在于其快變子過程的干擾。當(dāng)我們試圖在慢變區(qū)間上求解剛性問題時，盡管快變分量的值已衰減到微不足道，但這種快速變化的干擾仍嚴(yán)重影響數(shù)值解的穩(wěn)定性和精度，一般地說，隱型方法比顯型方法具有更大的穩(wěn)定性，因此使用隱型方法求解剛性方程組更為合適.在MATLAB中，ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb適合求解剛性問題。在用常微分方程描述一個電路的暫態(tài)過程時，往往又包含著多個變化21電路暫態(tài)分析的目的是為了得到電路的時域響應(yīng)。建立動態(tài)電路的狀態(tài)方程，得到一階微分方程組（或一階微分方程），再求該方程組的解。因此暫態(tài)分析的實質(zhì)就是如何獲得并且求解電路的常微分方程。電路暫態(tài)分析的目的是為了得到建立動態(tài)電路的狀態(tài)方程，得到一階223.3一階微分方程的求解一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給定初始條件下，求微分方程的初值問題

基本思想：在初值問題存在唯一解的時間區(qū)間內(nèi)，在若干個時間離散點上，用差分方程代替微分方程，然后逐點求解差分方程，得到各時間離散點、…處的函數(shù)近似值、…

3.3一階微分方程的求解一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給23

當(dāng)兩相鄰離散點之間的間隔較小時，用一階差商取代一階導(dǎo)數(shù)

一.前向歐拉法令步長，則其近似值為：

近似解的誤差首先是由差商近似代替微商引起的，這種近似代替所產(chǎn)生的誤差稱為截斷誤差。還有一種誤差稱為舍入誤差，這種誤差是由于計算時數(shù)值舍入引起的。當(dāng)兩相鄰離散點之間的間隔較小時，用一階差商一.前向歐拉法令24前向歐拉法的幾何意義：在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長起點的斜率。

歐拉法的幾何意義：過點A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，An（tn，yn），斜率分別為f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn，yn）所連接的一條折線，所以歐拉法亦稱為歐拉折線法。前向歐拉法的幾何意義：在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)25例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法又有：【思路】用歐拉法求解常微分方程的初值問題時，首先熟練掌握歐拉公式的一般形式，根據(jù)具體題目寫出找出歐拉公式的迭代式，并根據(jù)初始條件和所給步長進行迭代求解。例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)26微分方程是一階線性微分方程，

可求出其通解：則方程的解為：從而有：帶入初值可得一階非齊次線性微分方程微分方程是一階線性微分方程，

27計算結(jié)果列表（為前向歐拉法計算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.2718281830.3459198760.07401969321.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150790.33023673541.42.0935476882.6203595520.52681186451.53.1874451223.9676662950.78022117361.64.6208178465.7209615271.10014368171.76.4663963787.9638734791.497477101正計算結(jié)果列表（為前向歐拉法計算近似值，

為28分析：當(dāng)步長不是很小時，前向歐拉法的精度不是很高。步長取定后，步數(shù)越多，誤差越大。分析：當(dāng)步長不是很小時，前向歐拉法的精度不29二、后向歐拉法用一階差商近似代替在一個步長終點的一階導(dǎo)數(shù)，則原微分方程化為：對于給定初始條件的微分方程

其近似值：

二、后向歐拉法用一階差商近似代替在一個步長終點的一階30在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長終點的斜率。

后向歐拉法的幾何意義：

精確值近似值在任一步長內(nèi)，用一段直線后向歐拉法的幾何意義：精確值近似31注：后向歐拉法的兩種處理方式①前向Euler法為顯式，后向Euler法為隱式——須解出yk+1.②可用迭代法yk+1

(n+1)=yk+hf(tk+1，yk+1(n))n=0，1，2，…解得yk+1，其中yk+1(0)=yk+hf(tk，yk).（結(jié)合前向歐拉法，預(yù)報）注：后向歐拉法的兩種處理方式32例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)后向歐拉法又例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)33計算結(jié)果列表（為后向歐拉法計算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.4442827750.345919876-0.09836289921.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215079-0.43374553341.43.3084097732.620359552-0.68805022151.54.9809113233.967666295-1.01324502861.67.1415858565.720961527-1.42062432971.79.8866975397.963873479-1.922824060負(fù)計算結(jié)果列表（為后向歐拉法計算近似值，

為精確值34三.梯形法及其預(yù)估-矯正法用一階差商近似地代替函數(shù)在一個步長起點和終點的一階導(dǎo)數(shù)的平均值

梯形公式（歐拉中點公式）近似值：改進歐拉法三.梯形法及其預(yù)估-矯正法用一階差商近似地代替函數(shù)在一個步35顯然，梯形公式是隱式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由顯式的歐拉公式給出：然后將替代梯形公式等式右邊出現(xiàn)的當(dāng)步長h足夠小，且由前向歐拉法計算的已是較好的近似，則迭代一、二次即可預(yù)報校正迭代次數(shù)顯然，梯形公式是隱式法，一般求需要解方程，常采用迭代36幾何意義Euler法折線法改進Euler法平均斜率折線法幾何意義37例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-矯正法解初值問題取步長h=0.1，并把計算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法梯形預(yù)估-矯正例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-矯正法解初值問題取步長h=0.1，并把38計算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-矯正法計算

近似值，為精確值）k

01.000011.10.3423777890.3459198760.00354208721.20.8583145370.8666425360.00832799931.31.5927496431.6072150790.01446543641.42.5982982392.6203595520.02206131351.53.9364441143.9676662950.03122218161.65.6789071035.7209615270.04205442471.77.9092092167.9638734790.054664263計算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-矯正法計算

近似值，39function[TY]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)%odefun:微分方程a、b：計算區(qū)間%ya：初值y(a)M：等分?jǐn)?shù)目%T:離散的時間變量％Y梯形公式的預(yù)估校正法解h=(ab(2)-ab(1))/M;％步長T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);T=ab(1):h:ab(2);Y(1)=ya;forj=1:Mk1=feval(odefun,T(j),Y(j));k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);endFunctiony=euler_