MATLAB課件第七章最優(yōu)化計(jì)算方法

第七章最優(yōu)化計(jì)算方法第七章最優(yōu)化計(jì)算方法1一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模旱谝还?jié)線性方程組的應(yīng)用1、了解線性規(guī)劃問題及可行解、最優(yōu)解的概念

；

2、掌握Matlab軟件關(guān)于求解線性規(guī)劃的語句和方法。二、實(shí)驗(yàn)原理和方法：在生活實(shí)踐中，很多重要的實(shí)際問題都是線性的（至少能夠用線性函數(shù)很好的近似表示），所以我們一般把這些問題化為線性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行分析，通常將目標(biāo)函數(shù)和約束都是線性表達(dá)式的規(guī)劃問題稱為線性規(guī)劃。一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模旱谝还?jié)線性方程組的應(yīng)用1、了解線性規(guī)劃問題2它的一般形式是：

也可以用矩陣形式來表示：它的一般形式是：也可以用矩陣形式來表示：3線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的可行解。線性規(guī)劃關(guān)于解的情況可以是：1、無可行解，即不存在滿足約束條件的解；2、有唯一最優(yōu)解，即在可行解中有唯一的最有解；4、有可行解，但由于目標(biāo)函數(shù)值無界而無最優(yōu)解。3、有無窮最優(yōu)解，即在可行解中有無窮個(gè)解都可使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)；線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)4一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進(jìn)的單純形法，這類方法的基本思路是先求得一個(gè)可行解，檢驗(yàn)是否為最優(yōu)解；若不是，可用迭代的方法找到另一個(gè)更優(yōu)的可行解，經(jīng)過有限次迭代后，可以找到可行解中的最優(yōu)解或者判定無最優(yōu)解。一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進(jìn)5三、內(nèi)容與步驟：在Matlab優(yōu)化工具箱中，linprog函數(shù)是使用單純形法求解下述線性規(guī)劃問題的函數(shù)。三、內(nèi)容與步驟：在Matlab優(yōu)化工具箱中，linprog函6它的命令格式為：其中：A為約束條件矩陣，b,c分別為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量和約束條件中最右邊的數(shù)值向量；也可設(shè)置解向量的上界vlb和下界vub，即解向量必須滿足vlb<=x<=vub；還可預(yù)先設(shè)置初始解向量x0。如沒有不等式，而只有等式時(shí)，A=[],b=[];輸出的結(jié)果：x表示最優(yōu)解向量；fval表示最優(yōu)值。它的命令格式為：其中：A為約束條件矩陣，b,c分別為目標(biāo)函數(shù)7【例1】求解線性規(guī)劃問題：解：考慮到linprog函數(shù)只解決形如的線性規(guī)劃。所以先要將線性規(guī)劃變?yōu)槿缦滦问剑骸纠?】求解線性規(guī)劃問題：解：考慮到linprog函數(shù)只8然后建立M文件如下：c=[-3;1;1];A=[1-21;4-1-2];b=[11;-3];aeq=[20-1];beq=-1;vlb=[0;0;0];[x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)

Matlab程序：ch701.m然后建立M文件如下：c=[-3;1;1];A=[1-219以ch701作為文件名保存此M文件后，在命令窗口輸入ch701后即可得到結(jié)果：x=4.00001.00009.0000同時(shí)返回fval=-2對應(yīng)到原來的線性規(guī)劃中即知目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，此時(shí)x1=4,x2=1,x3=9。以ch701作為文件名保存此M文件后，在命令窗口x=4.10第二節(jié)無約束規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解無約束規(guī)劃問題的求解原理與方法

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2、會用Matlab軟件求解無約束規(guī)劃問題。

二、實(shí)驗(yàn)原理和方法無約束規(guī)劃問題的解法一般按目標(biāo)函數(shù)的形式分為兩大類：一類是一元函數(shù)的一維搜索法，如黃金分割法、插值法等；另一類是求解多元函數(shù)的下降迭代法。第二節(jié)無約束規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解無約束規(guī)劃問題11迭代的基本思想和步驟大致可分為以下四步：

迭代的基本思想和步驟大致可分為以下四步：

12三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無約束規(guī)劃的常用命令是：

x=fminunc(‘fun’,x0)其中，fun函數(shù)應(yīng)預(yù)先定義到M文件中，并設(shè)置初始解向量為x0。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無約束規(guī)劃的常用13【例2】求解取解：首先建立函數(shù)文件fun702.m【例2】求解取解：首先建立函數(shù)文件fun702.m14以fun702為文件名保存此函數(shù)文件。

在命令窗口輸入：

x0=[-2;4];x=fminunc('fun702',x0)結(jié)果顯示：f=-1.0000x=1.00001.0000即極小值為-1，是x1=1,x2=1時(shí)取得。Matlab程序：ch702.m以fun702為文件名保存此函數(shù)文件。在命令窗口輸入：15【例3】解非線性方程組解：解此非線性方程組等價(jià)于求解無約束非線性規(guī)劃問題：然后建立函數(shù)文件fun703.m【例3】解非線性方程組解：解此非線性方程組等價(jià)于求解無約束16在命令窗口輸入：x0=[0;0];x=fminunc(‘fun703’,x0)結(jié)果顯示：f=5.2979e-011x=1.06730.1392則非線性方程組的解為x1=1.0673,x2=0.1392。

Matlab程序：ch703.m在命令窗口輸入：x0=[0;0];結(jié)果顯示：f=5.217第三節(jié)約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解約束非線性規(guī)劃問題的求解原理與方法；

2、會用Matlab軟件求解約束非線性規(guī)劃問題。

二、實(shí)驗(yàn)原理和方法對于約束非線性規(guī)劃，隨著目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同，解法也不同，一般來說，有兩類方法：（1）、將約束問題化為無約束問題的求解方法；（2）、用線性規(guī)劃來逼近非線性規(guī)劃；第三節(jié)約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解約束非18三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟

約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(x)為多元實(shí)值函數(shù);g(x)為向量函數(shù),并且f(x),g(x)中至少有一個(gè)函數(shù)是非線性函數(shù)的（否則成為線性規(guī)劃問題）。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(19x=fmincon(‘fun’,x0,A,b)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在Matlab優(yōu)化工具箱中，fmincon函數(shù)是用SQP算法來解決一般的約束非線性規(guī)劃的函數(shù)，它的命令格式為：x=fmincon(‘fun’,x0,A,b)在Matlab20【例4】求解約束非線性規(guī)劃：

(初值為[1;1])解:首先建立一個(gè)m文件fun7041.mfunctiony=fun7041(x)y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);存儲為fun7041.m首先將問題轉(zhuǎn)化為matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub【例4】求解約束非線性規(guī)劃：(初值為[1;1])解:首先21然后建立一個(gè)m文件fun7042.mfunction[c,cep]=fun7042(x)c=[];%c為非線性不等式,且為c<=0cep=exp(x(1))+x(2)^2-3;%cep為非線性等式然后存儲為fun7042.m最后在命令窗口中輸入：A=[];b=[];Aeq=[];Beq=[];Lb=[];Ub=[];[x,f]=fmincon(‘fun7041’,[1;1],[],[],[],[],[],[],’fun7042’)-f因題目中有非線性約束條件，所以建立非線性約束m-文件。Matlab程序：ch704.m然后建立一個(gè)m文件fun7042.m最后在命令窗口中輸入22結(jié)果為:x=0.88520.7592f=6.2043e-016ans=-6.2043e-016最后的結(jié)果為:-6.2043e-016結(jié)果為:x=0.8852最后的結(jié)果為:-623【例5】求解約束非線性規(guī)劃：

解：首先建立一個(gè)m文件fun705.mfunctiony=fun705(x)y=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2+(x(3)-3)^2+(x(4)-4)^2;存儲為fun705.m文件.【例5】求解約束非線性規(guī)劃：解：首先建立一個(gè)m文件fu24x0=[1;1;1;1];A=[1111;3321];B=[5;10];Aeq=[];Beq=[];Lb=[0;0;0;0];[x,g]=fmincon(‘fun705’,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)答案為:x=0.00000.66671.66652.6668g=6.3333Matlab程序：ch705.mx0=[1;1;1;1];A=[1111;33225非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念定義

如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)時(shí)的最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題．

一般形式:

（1）其中，是定義在En上的實(shí)值函數(shù)，簡記:

其它情況:求目標(biāo)函數(shù)的最大值或約束條件為小于等于零的情況，都可通過取其相反數(shù)化為上述一般形式．非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念定義如果目標(biāo)函數(shù)26用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下:

1. x=quadprog(H,C,A,b);2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6. [x,fval]=quaprog(...);7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);1、二次規(guī)劃用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下:1、二次規(guī)劃27例1

minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22s.t.x1+x2≤2-x1+2x2≤2x1≥0,x2≥01、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：2、輸入命令：

H=[1-1;-12];c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運(yùn)算結(jié)果為：

x=0.66671.3333z=-8.2222s.t.例1minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x128

1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);2、一般非線性規(guī)劃

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:2、293.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限3.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令30注意：[1]fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。[2]fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。[3]fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。注意：311、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

s.t.

2x1+3x26s.tx1+4x25x1,x20例21、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：2x1+3x2322、先建立M-文件fun3.m:

functionf=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^23、再建立主程序youh2.m：x0=[1;1];A=[23;14];b=[6;5];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運(yùn)算結(jié)果為：x=0.76471.0588fval=-2.02942、先建立M-文件fun3.m:3、再建立主程序youh2331．先建立M文件fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù):

functionf=fun4(x);f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2–10

0例32．再建立M文件mycon.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon(x)g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];1．先建立M文件fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù):343．主程序youh3.m為:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')3.運(yùn)算結(jié)果為：

x=-1.22501.2250fval=1.89513．主程序youh3.m為:3.運(yùn)算結(jié)果為：35例4

1．先建立M-文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun(x);f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon2.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon2(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];例41．先建立M-文件363.主程序fxx.m為:x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')3.主程序fxx.m為:374.運(yùn)算結(jié)果為:x=4.00003.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]4.運(yùn)算結(jié)果為:38應(yīng)用實(shí)例：供應(yīng)與選址

某公司有6個(gè)建筑工地要開工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：千米）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個(gè)臨時(shí)料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連。（1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。（2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場，改建兩個(gè)新的，日儲量各為20噸，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？應(yīng)用實(shí)例：供應(yīng)與選址某公司有6個(gè)建筑工地要開39（一）、建立模型

記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,…,6;料場位置為(xj，yj)，日儲量為ej，j=1,2；從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij。當(dāng)用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，xj，yj。（一）、建立模型記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用40（二）使用臨時(shí)料場的情形

使用兩個(gè)臨時(shí)料場A(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運(yùn)送量不超過日儲量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃模型為：設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12

編寫程序gying1.m（二）使用臨時(shí)料場的情形使用兩個(gè)臨時(shí)料場A(5,41計(jì)算結(jié)果為：x=[3.00005.00000.00007.00000.00001.00000.00000.00004.00000.00006.000010.0000]’fval=136.2275計(jì)算結(jié)果為：x=[3.00005.00000.042（三）改建兩個(gè)新料場的情形

改建兩個(gè)新料場，要同時(shí)確定料場的位置(xj,yj)和運(yùn)送量Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃模型為：（三）改建兩個(gè)新料場的情形改建兩個(gè)新料場，要同時(shí)確定料43設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6X12=X7,X22=X8,,X32=X9,X42=X10,X52=X11,,X62=X12

x1=X13,y1=X14,x2=X15,y2=X16

（1）先編寫M文件liaoch.m定義目標(biāo)函數(shù)。(2)取初值為線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果及臨時(shí)料場的坐標(biāo):x0=[35070100406105127]';編寫主程序gying2.m.設(shè)X11=X1,X21=X2,,X31=X344(3)計(jì)算結(jié)果為：x=[3.00005.00000.07077.000000.9293003.929306.000010.07076.38754.39435.75117.1867]’fval=105.4626exitflag=1(3)計(jì)算結(jié)果為：x=[3.00005.000045(4)若修改主程序gying2.m,取初值為上面的計(jì)算結(jié)果:x0=[3.00005.00000.07077.000000.9293003.929306.000010.07076.38754.39435.75117.1867]’得結(jié)果為:x=[3.00005.00000.30947.00000.01080.6798003.690605.989210.32025.53694.91945.82917.2852]’fval=103.4760exitflag=1總的噸千米數(shù)比上面結(jié)果略優(yōu).(5)若再取剛得出的結(jié)果為初值,卻計(jì)算不出最優(yōu)解.(4)若修改主程序gying2.m,取初值為上面的計(jì)算46(6)若取初值為:x0=[35471000005115.63484.86877.24797.7499]',則計(jì)算結(jié)果為:x=[3.00005.00004.00007.00001.0000000005.000011.00005.69594.92857.25007.7500]’fval=89.8835exitflag=1總的噸千米數(shù)89.8835比上面結(jié)果更好.通過此例可看出fmincon函數(shù)在選取初值上的重要性.(6)若取初值為:通過此例可看出fmincon函數(shù)在選取47

某廠向用戶提供發(fā)動機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨40臺、60臺、80臺．每季度的生產(chǎn)費(fèi)用為（元），其中x是該季生產(chǎn)的臺數(shù)．若交貨后有剩余，可用于下季度交貨，但需支付存儲費(fèi)，每臺每季度c元．已知工廠每季度最大生產(chǎn)能力為100臺，第一季度開始時(shí)無存貨，設(shè)a=50、b=0.2、c=4，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能既滿足合同又使總費(fèi)用最低．討論a、b、c變化對計(jì)劃的影響，并作出合理的解釋．練習(xí)某廠向用戶提供發(fā)動機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、48第七章最優(yōu)化計(jì)算方法第七章最優(yōu)化計(jì)算方法49一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模旱谝还?jié)線性方程組的應(yīng)用1、了解線性規(guī)劃問題及可行解、最優(yōu)解的概念

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2、掌握Matlab軟件關(guān)于求解線性規(guī)劃的語句和方法。二、實(shí)驗(yàn)原理和方法：在生活實(shí)踐中，很多重要的實(shí)際問題都是線性的（至少能夠用線性函數(shù)很好的近似表示），所以我們一般把這些問題化為線性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行分析，通常將目標(biāo)函數(shù)和約束都是線性表達(dá)式的規(guī)劃問題稱為線性規(guī)劃。一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模旱谝还?jié)線性方程組的應(yīng)用1、了解線性規(guī)劃問題50它的一般形式是：

也可以用矩陣形式來表示：它的一般形式是：也可以用矩陣形式來表示：51線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的可行解。線性規(guī)劃關(guān)于解的情況可以是：1、無可行解，即不存在滿足約束條件的解；2、有唯一最優(yōu)解，即在可行解中有唯一的最有解；4、有可行解，但由于目標(biāo)函數(shù)值無界而無最優(yōu)解。3、有無窮最優(yōu)解，即在可行解中有無窮個(gè)解都可使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)；線性規(guī)劃的可行解是滿足約束條件的解；線性規(guī)劃的最優(yōu)解是使目標(biāo)52一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進(jìn)的單純形法，這類方法的基本思路是先求得一個(gè)可行解，檢驗(yàn)是否為最優(yōu)解；若不是，可用迭代的方法找到另一個(gè)更優(yōu)的可行解，經(jīng)過有限次迭代后，可以找到可行解中的最優(yōu)解或者判定無最優(yōu)解。一般求解線性規(guī)劃的常用方法是單純形法和改進(jìn)53三、內(nèi)容與步驟：在Matlab優(yōu)化工具箱中，linprog函數(shù)是使用單純形法求解下述線性規(guī)劃問題的函數(shù)。三、內(nèi)容與步驟：在Matlab優(yōu)化工具箱中，linprog函54它的命令格式為：其中：A為約束條件矩陣，b,c分別為目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)向量和約束條件中最右邊的數(shù)值向量；也可設(shè)置解向量的上界vlb和下界vub，即解向量必須滿足vlb<=x<=vub；還可預(yù)先設(shè)置初始解向量x0。如沒有不等式，而只有等式時(shí)，A=[],b=[];輸出的結(jié)果：x表示最優(yōu)解向量；fval表示最優(yōu)值。它的命令格式為：其中：A為約束條件矩陣，b,c分別為目標(biāo)函數(shù)55【例1】求解線性規(guī)劃問題：解：考慮到linprog函數(shù)只解決形如的線性規(guī)劃。所以先要將線性規(guī)劃變?yōu)槿缦滦问剑骸纠?】求解線性規(guī)劃問題：解：考慮到linprog函數(shù)只56然后建立M文件如下：c=[-3;1;1];A=[1-21;4-1-2];b=[11;-3];aeq=[20-1];beq=-1;vlb=[0;0;0];[x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)

Matlab程序：ch701.m然后建立M文件如下：c=[-3;1;1];A=[1-2157以ch701作為文件名保存此M文件后，在命令窗口輸入ch701后即可得到結(jié)果：x=4.00001.00009.0000同時(shí)返回fval=-2對應(yīng)到原來的線性規(guī)劃中即知目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，此時(shí)x1=4,x2=1,x3=9。以ch701作為文件名保存此M文件后，在命令窗口x=4.58第二節(jié)無約束規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解無約束規(guī)劃問題的求解原理與方法

；

2、會用Matlab軟件求解無約束規(guī)劃問題。

二、實(shí)驗(yàn)原理和方法無約束規(guī)劃問題的解法一般按目標(biāo)函數(shù)的形式分為兩大類：一類是一元函數(shù)的一維搜索法，如黃金分割法、插值法等；另一類是求解多元函數(shù)的下降迭代法。第二節(jié)無約束規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解無約束規(guī)劃問題59迭代的基本思想和步驟大致可分為以下四步：

迭代的基本思想和步驟大致可分為以下四步：

60三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無約束規(guī)劃的常用命令是：

x=fminunc(‘fun’,x0)其中，fun函數(shù)應(yīng)預(yù)先定義到M文件中，并設(shè)置初始解向量為x0。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟在Matlab軟件中，求解無約束規(guī)劃的常用61【例2】求解取解：首先建立函數(shù)文件fun702.m【例2】求解取解：首先建立函數(shù)文件fun702.m62以fun702為文件名保存此函數(shù)文件。

在命令窗口輸入：

x0=[-2;4];x=fminunc('fun702',x0)結(jié)果顯示：f=-1.0000x=1.00001.0000即極小值為-1，是x1=1,x2=1時(shí)取得。Matlab程序：ch702.m以fun702為文件名保存此函數(shù)文件。在命令窗口輸入：63【例3】解非線性方程組解：解此非線性方程組等價(jià)于求解無約束非線性規(guī)劃問題：然后建立函數(shù)文件fun703.m【例3】解非線性方程組解：解此非線性方程組等價(jià)于求解無約束64在命令窗口輸入：x0=[0;0];x=fminunc(‘fun703’,x0)結(jié)果顯示：f=5.2979e-011x=1.06730.1392則非線性方程組的解為x1=1.0673,x2=0.1392。

Matlab程序：ch703.m在命令窗口輸入：x0=[0;0];結(jié)果顯示：f=5.265第三節(jié)約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解約束非線性規(guī)劃問題的求解原理與方法；

2、會用Matlab軟件求解約束非線性規(guī)劃問題。

二、實(shí)驗(yàn)原理和方法對于約束非線性規(guī)劃，隨著目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同，解法也不同，一般來說，有兩類方法：（1）、將約束問題化為無約束問題的求解方法；（2）、用線性規(guī)劃來逼近非線性規(guī)劃；第三節(jié)約束非線性規(guī)劃計(jì)算方法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、了解約束非66三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟

約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(x)為多元實(shí)值函數(shù);g(x)為向量函數(shù),并且f(x),g(x)中至少有一個(gè)函數(shù)是非線性函數(shù)的（否則成為線性規(guī)劃問題）。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟約束非線性規(guī)劃的一般形式為：其中，f(67x=fmincon(‘fun’,x0,A,b)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在Matlab優(yōu)化工具箱中，fmincon函數(shù)是用SQP算法來解決一般的約束非線性規(guī)劃的函數(shù)，它的命令格式為：x=fmincon(‘fun’,x0,A,b)在Matlab68【例4】求解約束非線性規(guī)劃：

(初值為[1;1])解:首先建立一個(gè)m文件fun7041.mfunctiony=fun7041(x)y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);存儲為fun7041.m首先將問題轉(zhuǎn)化為matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub【例4】求解約束非線性規(guī)劃：(初值為[1;1])解:首先69然后建立一個(gè)m文件fun7042.mfunction[c,cep]=fun7042(x)c=[];%c為非線性不等式,且為c<=0cep=exp(x(1))+x(2)^2-3;%cep為非線性等式然后存儲為fun7042.m最后在命令窗口中輸入：A=[];b=[];Aeq=[];Beq=[];Lb=[];Ub=[];[x,f]=fmincon(‘fun7041’,[1;1],[],[],[],[],[],[],’fun7042’)-f因題目中有非線性約束條件，所以建立非線性約束m-文件。Matlab程序：ch704.m然后建立一個(gè)m文件fun7042.m最后在命令窗口中輸入70結(jié)果為:x=0.88520.7592f=6.2043e-016ans=-6.2043e-016最后的結(jié)果為:-6.2043e-016結(jié)果為:x=0.8852最后的結(jié)果為:-671【例5】求解約束非線性規(guī)劃：

解：首先建立一個(gè)m文件fun705.mfunctiony=fun705(x)y=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2+(x(3)-3)^2+(x(4)-4)^2;存儲為fun705.m文件.【例5】求解約束非線性規(guī)劃：解：首先建立一個(gè)m文件fu72x0=[1;1;1;1];A=[1111;3321];B=[5;10];Aeq=[];Beq=[];Lb=[0;0;0;0];[x,g]=fmincon(‘fun705’,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)答案為:x=0.00000.66671.66652.6668g=6.3333Matlab程序：ch705.mx0=[1;1;1;1];A=[1111;33273非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念定義

如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)時(shí)的最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題．

一般形式:

（1）其中，是定義在En上的實(shí)值函數(shù)，簡記:

其它情況:求目標(biāo)函數(shù)的最大值或約束條件為小于等于零的情況，都可通過取其相反數(shù)化為上述一般形式．非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念定義如果目標(biāo)函數(shù)74用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下:

1. x=quadprog(H,C,A,b);2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6. [x,fval]=quaprog(...);7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);1、二次規(guī)劃用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下:1、二次規(guī)劃75例1

minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22s.t.x1+x2≤2-x1+2x2≤2x1≥0,x2≥01、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：2、輸入命令：

H=[1-1;-12];c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運(yùn)算結(jié)果為：

x=0.66671.3333z=-8.2222s.t.例1minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x176

1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:functionf=fun(X);f=F(X);2、一般非線性規(guī)劃

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)F（X）:2、773.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限3.建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令78注意：[1]fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為’on’），并且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。[2]fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。[3]fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。注意：791、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

s.t.

2x1+3x26s.tx1+4x25x1,x20例21、寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：2x1+3x2802、先建立M-文件fun3.m:

functionf=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^23、再建立主程序youh2.m：x0=[1;1];A=[23;14];b=[6;5];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運(yùn)算結(jié)果為：x=0.76471.0588fval=-2.02942、先建立M-文件fun3.m:3、再建立主程序youh2811．先建立M文件fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù):

functionf=fun4(x);f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2–10

0例32．再建立M文件mycon.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon(x)g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];1．先建立M文件fun4.m,定義目標(biāo)函數(shù):823．主程序youh3.m為:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')3.運(yùn)算結(jié)果為：

x=-1.22501.2250fval=1.89513．主程序youh3.m為:3.運(yùn)算結(jié)果為：83例4

1．先建立M-文件fun.m定義目標(biāo)函數(shù):functionf=fun(x);f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon2.m定義非線性約束：function[g,ceq]=mycon2(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];例41．先建立M-文件843.主程序fxx.m為:x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')3.主程序fxx.m為:854.運(yùn)算結(jié)果為:x=4.00003.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]4.運(yùn)算結(jié)果為:86應(yīng)用實(shí)例：供應(yīng)與選址

某公司有6個(gè)建筑工地要開工，每個(gè)工地的位置（用平面坐標(biāo)系a，b表示，距離單位：千米）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個(gè)臨時(shí)料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連。（1）試制定每天的供應(yīng)計(jì)劃，即從A，B兩料場分別向各工地運(yùn)送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。（2）為了進(jìn)一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個(gè)臨時(shí)料場，改建兩個(gè)新的，日儲量各為20噸，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？應(yīng)用實(shí)例：供應(yīng)與選址某公司有6個(gè)建筑工地要開87（一）、建立模型

記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為di，i=1,…,6;料場位置為(xj，yj)，日儲量為ej，j=1,2；從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij。當(dāng)用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，當(dāng)不用臨時(shí)料場時(shí)決策變量為：Xij，xj，yj。（一）、建立模型記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用88（二）使用臨時(shí)料場的情形

使用兩個(gè)臨時(shí)料場A(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運(yùn)送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運(yùn)送量不超過日儲量的條