探索性問題的常見類型及其求解策略

探索性問題的常見類型及其求解策略在近幾年的高考試題中，有關(guān)探索性問題頻頻出現(xiàn)，涉及代數(shù)、三角、幾何，成為高考的熱點之一。正因如此，初等數(shù)學(xué)中有關(guān)探索性問題也就成為大家研究的熱點。多年來筆者對此也做了一些探討。探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備。要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括。它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求。它有利于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學(xué)生經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的全過程。探索性問題一般可分為：條件追溯型，結(jié)論探索型、條件重組型，存在判斷型，規(guī)律探究型，實驗操作型。每一種類型其求解策略又有所不同。因此，我們在求解時就必須首先要明辨它是哪一種類型的探索問題，然后再根據(jù)所屬類型制定解題策略。下面分別加以說明：一、條件追溯型這類問題的基本特征是：針對一個結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結(jié)論成立的充分條件。在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意。例1.(2002年上海10)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x,奇(x+1)是偶函數(shù)，則t的一個可能值是。分析與解答：f(x+1)=sin2(x+1)=sin(2x+2t).又f(x+1)是偶函數(shù)f(x+1)=f(-x+1)^sin(2x+2t)=sin(-2x+2t)。由此可得2x+2t=-2x+2t+2kn或2x+1=兀一(-2x+2t)+2k冗(keZ).t=^^1兀(keZ)4評注：本題為條件探索型題目，其結(jié)論明確，需要完備使得結(jié)論成立的充分條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，進行演繹推理推導(dǎo)出所需尋求的條件.這類題要求學(xué)生變換思維方向，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.二、結(jié)論探索型這類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定。解決這類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論。在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧郑ㄟ^觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認證結(jié)論。例2.(2020年上海文12)若干個能惟一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”。設(shè)

^〃｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列^〃｝的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第組。（寫出所有符合要求的組號）。①S與S；②a與S；③a與a；④q與a.12231nn其中n為大于1的整數(shù)，Sn為的前n項和。分析與解答：（1）由S和S，可知a和a。由%=q可得公比q，故能確定數(shù)列是該數(shù)列1212a1的“基本量”。（2）由氣與S3，設(shè)其公比為q，首項為氣，可得a=aq,a=^,S=a+aq+aq2211q3111?.?S3?aq2+（a一S）q+a=02232滿足條件的q可能不存在，也可能不止一個，因而不能確定數(shù)列，故不一定是數(shù)列｝的n基本量。a（3）由a1與an，可得a”=aqn-】,qn-1=f，當(dāng)n為奇數(shù)時，q可能有兩個值，故不一定1故數(shù)列，｝能夠確定，是數(shù)列，｝的一個能確定數(shù)列，所以也不一定是數(shù)列的一個基本量。故數(shù)列，｝能夠確定，是數(shù)列，｝的一個（4）由q與an，由a=aqn-1,可得匕=，基本量。故應(yīng)填①、④評注：數(shù)學(xué)需要解題，但題海戰(zhàn)術(shù)絕對不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳策略。本題考查確定等比數(shù)列的條件，要求正確理解等比數(shù)列和新概念“基本量”的意義。如何能夠跳出題海，事半功倍，全面考察問題的各個方面，不僅可以訓(xùn)練自己的思維，而且可以縱觀全局，從整體上對知識的全貌有一個較好的理解.x(x-1)L(x-m+1)例3（2002上海）.規(guī)定Cmx!，其中xeR，m是正整數(shù)，且Co=1，這是組合數(shù)Cm（n，m是正整數(shù)，且m<n）的一種推廣.例3（2002上海）.規(guī)定Cmx（I）求C5的值；-15（II）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Cm=Cn-m；②Cm+Cm-1=C'

是否都能推廣到(xeR,m是正整數(shù))的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明;若不能，則說明理由；(III)我們知道，組合數(shù)Cm是正整數(shù).那么，對于Cm,xeR,m是正整數(shù)，是否也有同樣的結(jié)論？你能舉出一些CmeR成立的例子嗎？(-15)(-16)L(-19)分析與解答：(I)C5=—=—11628.-155!(II)一個性質(zhì)是否能推廣的新的數(shù)域上，首先需要研究它是否滿足新的定義.從這個角度很快可以看出：性質(zhì)①不能推廣.例如當(dāng)x=克時，C1-有定義，但C：-1無意義.性質(zhì)②如果能夠推廣，那么，它的推廣形式應(yīng)該是：Cm+Cm-1=C^，其中xeR，m是正整數(shù).類比于性質(zhì)①的思考方法，但從定義上是看不出矛盾的，那么，我們不妨仿造組合數(shù)性質(zhì)的當(dāng)m=1時，Ci+Co=當(dāng)m=1時，Ci+Co=x+1=Ci.當(dāng)m>2時，__x(x-1)L(x—m+1)x(x-1)L(x—m+2)+/\(m-1)!Cm+Cm-1=Xx(x-1)L(x-m+2),x-m+1'(m-1)![m/x(x-1)L(x-m+2)(x+1)m!=Cmx+1由此，可以知道，性質(zhì)②能夠推廣.由此，可以知道，性質(zhì)②能夠推廣.(I)CeZ不成立，下面，我們將著眼從Cm的定義不難知道，當(dāng)x冬Z且m豐0時點放在x(I)CeZ不成立，下面，我們將著眼先從熟悉的問題入手.當(dāng)x>m時，C：就是組合數(shù)當(dāng)x冬Z且xvm時，推廣和探索的一般思路是：能否把未知的情形(Cm，x冬Z且xvm)與已知的結(jié)論CmeZ相聯(lián)系？n一方面再一次考察定義：Cm=_?"+]);另一方面，可以從具體的問題入手.TOC\o"1-5"\h\zxm!由(I)的計算過程不難知道：C5=-C5.另外，我們可以通過其他例子發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)-1519論.因此，將C5轉(zhuǎn)化為C5可能是問題解決的途徑.-1519事實上，當(dāng)xv0時，

Cmxx(x—1)L(x—m+1)(])(—x+m—1)L(—x+1)(—x)(])-x+m—1若—x+m—1>m，即x<—1,則Cm1為組合數(shù)，故CmGZ.Cmx若-x+m—1<m，即0<x<m時，無法通過上述方法得出結(jié)論，此時，由具體的計算不難發(fā)現(xiàn)：C；=0不難發(fā)現(xiàn)：C；=0，可以猜想，此時Cm=0GZ.這個結(jié)論不難驗證.事實上，當(dāng)0<x<m時，在x,x—1,L,x—m+1這m個連續(xù)的整數(shù)中，必存在某個數(shù)為0.所以，C：=0gZ.綜上，對于xGZ且m為正整數(shù)，均有CmGZ.評注：類比是創(chuàng)造性的“模仿”，聯(lián)想是“由此及彼”的思維跳躍.在開放題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生將所求的問題與熟知的信息相類比，進行多方位的聯(lián)想，將式子結(jié)構(gòu)、運算法則、解題方法、問題的結(jié)論等引申、推廣或遷移，可由已知探索未知，由舊知探索新知，這既有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，又有利于提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的應(yīng)變靈活性.三條件重組型這類問題是指給出了一些相關(guān)命題，但需對這些命題進行重新組合構(gòu)成新的復(fù)合命題，或題設(shè)的結(jié)求的方向，條件和結(jié)論都需要去探求的一類問題。此類問題更難，解題要有更強的基礎(chǔ)知識和基本技能，需要要聯(lián)想等手段。一般的解題的思路是通過對條件的反復(fù)重新組合進行逐一探求。應(yīng)該說此類問題是真正意義上的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力。例4(1999年全國)a、B是兩個不同的平面，m、n是平面a及B之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：@m±n②a^B③n±^@m±a以其中的三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題。分析：本題給出了四個論斷，要求其中三個為條件，余下一個為結(jié)論，用枚舉法分四種情況逐一驗證。分析與解答：依題意可得以下四個命題：(1)m±n，a±B，n±Bnm±a；(2)m±n，a±B，m±ann±B；(3)m±a，n±B，m±ana±B；(4)a±B，n±B，m±anm±no不難發(fā)現(xiàn)，命題(3)、(4)為真命題，而命題(1)、(2)為假命題。故填上命題(3)或(4)。例5.（2020年北京）已知三個不等式：ab>0,bc-ad>0,--d>0（其中a,b,abc,d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是（）A、0B、1C、2D、3分析與解答：若ab>0,bc-ad>0,則C一?=_—>0ababcdab>0,bc-ad>0n——一>0abcdbc-adTOC\o"1-5"\h\z若ab>0,——>0,則U>0ababcd7二bc-ad>0,即ab>0,—->0nbc-ad>0abcdbc-ad若bc-ad>0,—-—>0,則>0ababcd二ab>0,即bc-ad>0,—-—>0nab>0ab故三個命題均為真命題，選D。四、存在判斷型這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）是否存在或某一結(jié)論是否成立。解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在（或結(jié)論成立）或暫且認可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論。其中反證法在解題中起著重要的作用。例6、（2020年福建）已知f（x）=4x+ax2-3x3（xe夫）在區(qū)間L1,1］上是增函數(shù)。（1）求實數(shù)a的值組成的集合A；（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=2x+3x3的兩個非常零實根為X］、％，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1>|xi-%|對任意aeA及teL1,1］恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。分析與解答：（1）f'（x）=4+2ax一2x2，?.?f（x）在［—1，1］上是增函數(shù)，f'（x）>0對xeL1,1］恒成立即x2—ax—2W0,對xE[—1，1]恒成立設(shè)中(x)=x2-ax-2

.?.甲(1)=1-a-2<0.平(一1)=1+a-2<0/.—1<a<10對尤el—1,1]只有當(dāng)a=1時，f(—1)=0以及當(dāng)a=—1時，f⑴=0?.A={z—1<a<1}TOC\o"1-5"\h\z-,1.由4x+ax2—一x3=2x+—x3.\o"CurrentDocument"3得x=0,或x2—ax一2=0,0A=a2+8>0?x「x2是方程尤2-ax-2=0的兩非零實根，x一xI=.■(x+x)2一4xx=、(a2+8.(2)121212又0—1<a<1,.|x-x|=t'a2+8<3.要使不等式m2+tm+1>|x1-x21對任意aeA及teL1,1]恒成立，g(—1)=m2—m一2>0,g(1)=m2+m一2<0...mN2或mW—2.[-1,1][-1,1]m2+tm+1>|x一x|對任意aeA及te恒成立，其取值范圍>{m|m>2,或m<—2}評注：“存在”就是有，證明有或者可以找出一個也行?！安淮嬖凇本褪菦]有，找不到。這類問題常用反證法加以認證?！笆欠翊嬖凇钡膯栴}，結(jié)論有兩種：如果存在，找出一個來;如果不存在，需說明理由。這類問題常用“肯定順推”。例7、（2020年天津）已知常數(shù)a>0,向量c=（0,a），i=（1，0），經(jīng)過原點O以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以1—2入c為方向向量的直線相交于點P，其中入ER.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.分析與解答：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.,/i=(1,0),c=(0,a),?c+人i=(人,a),i—2人c=(1,一2人a)..?因此，直線OP和AP的方程分別為人y=ax和y—a=—2人ax.消去參數(shù)人，得點P（x,y）(y-—)2彳+—^=1,1(—)2的坐標滿足方程y(y—a)=—2a2X2，整理得82因為a>0,所以得:的坐標滿足方程y(y—a)=—2a2X2笠(。當(dāng)3=2時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；笠(L二,—)(ii)當(dāng)0<a<2時，方程①表示橢圓，焦點E2和F(-H-a2,—)2\'22為合乎題意的兩個定點;a2-2))和(山)當(dāng)W時，方程①表示橢圓，焦點e(0,2質(zhì)飛a2-2))和(0,—(a—】,a2F2'2))為合乎題意的兩個定點.評注：假設(shè)存在，按常規(guī)方法去求解，但要注意對a進行討論。五、規(guī)律探究型這類問題的基本特征是：未給出問題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論。解決這類問題的基本策略是：通常需要研究簡化形式但保持本質(zhì)的特殊情形，從條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、類比、猜測、聯(lián)想來探路，解題過程中創(chuàng)新成分比較高。在數(shù)列問題研究中，經(jīng)常是據(jù)數(shù)列的前幾項所提供的信息作大膽的猜測，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，限于篇幅這樣的例子不在列舉。下面來看：f⑴=—,例8.(2002年全國理)已知函數(shù)1+x2那么^1^1^1f(1)+f(2)+f(―)+f(3)+f(―)+f(4)+f(―)=2341f(x)+f(-)=17分析與解答：考察函數(shù)可發(fā)現(xiàn)左式構(gòu)成規(guī)律：x，于是立得結(jié)論為2。若直接代入費力又費時。評注：本題要求學(xué)生在陌生的問題情境中能自主探索，提取相關(guān)信息，獲得規(guī)律，從而解決問題。

例9、（2001年上海）在棱長為a的正方體°ABC-°'A'B'C'中,E.F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF。（1）求證：A'F1C'E；（2）當(dāng)三棱錐B-BEF的體積取得最大值時，求二面角B-EF-B的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）分析與解答：如圖（2）：（1）中E、F雖在棱上運動，但始終體現(xiàn)出直線A'F1C'E的一個不變關(guān)系，而C'F1A'°不變，故只要去證C'F1OF即可達到目的。（2）中尋求的是E、F在變化過程中二面角B-EF-B的最值狀態(tài)，易看到該三棱錐的高一定，因此，只要底面面積最大即可?？疾霦、F在變化過程中當(dāng)E由A向B運動時，海F的面積先由小漸大到一定值后又漸小，因此，在E為AB的中點時該三棱錐的體積取得最大值，從而解決問題。評注:本題要求學(xué)生能讓動態(tài)的量靜止下來觀察探究其特殊位置下的極值情況或一些恒成立的情況；讓靜止的量運動起來，觀察探究其取值情況，并滲透極限思想。這是這類問題求解常用的方法之一。本題如果把（1）問改為A'F與C'E的位置關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論則更好。六、實驗操作型這類問題的基本特征是：給出一定的條件要求設(shè)計一種方案。解決這類問題的基本策略是：需要借助逆向思考動手實踐。例10、（2002年全國文）已知四個面都是直角三角形的三棱錐，其中三個面展開后構(gòu)成一直角梯形ABCD。如圖（3）所示，AD1AB,AD1DC,AB=2a,BC=%3a,CD=a.請你在圖中設(shè)計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐（指三棱錐的三個面）；求這個三棱錐外接球的體積。分析與解答：本題是考查線面的垂直，直角三角形的性質(zhì)和球的體積公式等知識。需大膽猜測：虛線之交點應(yīng)是某邊的中點，然后動手實踐，圖4

膽猜測：虛線之交點應(yīng)是某邊的中點，然后動手實踐，圖4如圖(4),取AD的中點E,連EC,EB,沿EC,EB折起，使A與D重合。接下來通過證明得ABEC為直角三角形即可(略)(2)略。評注：該高考題在當(dāng)年考后受一致好評，它要求考生有一定的動手能力和大膽的猜測能力。例11、某自來水廠要制作容積為500”2的無蓋長方體水箱?，F(xiàn)有三種不同規(guī)格的金屬制箱材料(單位m)：(1)19x19；(2)30x1。；(3)25xI2請你選擇其中的一種規(guī)格并設(shè)計出相應(yīng)的制作方案(要求用料最省，簡便易行)分析與解答：“用料最省”等價于“無蓋水箱表面積最小”。因此先確定該水箱的尺寸使其表面積最小，然后根據(jù)尺寸選擇材料。設(shè)無蓋水箱的長、寬、高分別為ab,C，則其體積：V=abc=500m3表面積：S=2bc+2ca+ab，這樣問題可以轉(zhuǎn)化為：已知：abc為正數(shù)，abc=500。求：2bc+2ca+瀝的最小值及相應(yīng)a,b,c的值。由均值不等式知2bc+2ca+ab>3金2bc+2ca+ab=3^4(abc)2=300，當(dāng)且僅當(dāng)2bc=2ca=ab，即a=b=10,c=5時，2bc+2ca+ab=300m2最小。這表明將無蓋水箱設(shè)計為10x10x5時，用料最省。如何選擇材料并設(shè)計制作方案？我們可逆向思考，先將無蓋水箱分解(展開)，我們不難發(fā)現(xiàn)制作10x10x5的無蓋長方體水箱需一個10x10的正方形及4個10x5的長方形；而用一個30x10的長方形材料，我們只要割四次易得10x10正方形一個及10x5正方形4個。故選擇30x10的材料，不但用料最省而且簡便易行。評注：本題又是實際應(yīng)用問題中的問題，解答時除了考慮前面提及的方法外，還需考慮實際意義及可行性?？傊鉀Q探索性問題，較少現(xiàn)成的套路和常規(guī)程序，需要較多的分析和數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。它對學(xué)生的觀察、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括等方面的能力有較高的要求。思維能力訓(xùn)練1、(2020浙江)若(5+￡)〃展開式中存在常數(shù)項，則n的值可以是3xA、8B、9C、10D、122、(2020浙江)若f(z)和幺(x)都是定義的實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-A、8B、9C、10D、12有實數(shù)解，則g[f(x)]不可能是???1A、x2+x一53、（2020北京）如果a,b,c滿足c<b<a,且ac<0，那么下列選項中不一定成立???的是A、ab>acB、c（b-a）>0C、cb2>ab2D、ac（a-c）<0（2020上海）某地2020年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是A、計算機行業(yè)好于化工行業(yè)B、建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C、機械行業(yè)最緊張D、營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張5、三棱錐中，互相垂直的棱最多