兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明

兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明V:1.0精細(xì)整理，僅供參考兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明日期：20xx年X月兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明三角函數(shù)兩角和與差單位圓托勒密定理數(shù)學(xué)?利用單位圓方法證明sin（α+β）=…與cos（α+β）=…，是進(jìn)一步證明大部分三角函數(shù)公式的基礎(chǔ)。?1、sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ在笛卡爾坐標(biāo)系中以原點(diǎn)O為圓心作單位圓，在單位圓中作以下線段：?如圖中所示，容易看出：sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD則：?????----------------------------------------------------------------------------------------------平面幾何的證明方法：如圖所示，過程見下面的【評(píng)論】中新浪網(wǎng)友的提示（非常感謝這位網(wǎng)友的提示，讓我們看到了證明一個(gè)定理的多種途徑，真是妙不可言?。?----------------------------------------------------------------------------------附：如何證明托勒密定理見托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．（具體的推導(dǎo)方法詳見數(shù)學(xué)目錄下的博文，來自網(wǎng)友的提供?。??思路：托勒密定理在平面幾何中赫赫有名，其難點(diǎn)在于：把一條對(duì)角線分割成兩條線段DE和BE。第一步證明一對(duì)旋轉(zhuǎn)的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步還需要證一對(duì)旋轉(zhuǎn)的三角形相似△ADE∽△ACB；只有這兩對(duì)相似的三角形出來了才能得到結(jié)論。?證明：以AB為邊，作一個(gè)角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE和ΔACD中，∵∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴△ABE∽△ACD；∴AB·DC=BE·AC①∵∠BAE=∠DAC；∴∠DAE=∠CAB；在ΔADE和ΔACB中，∵∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴△ADE∽△ACB；∴AD·BC=DE·AC②∴①+②得：AB·DC+AD·BC=BE·AC+DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。?結(jié)論：該命題對(duì)于圓內(nèi)接的任意四邊形都成立。最初是由數(shù)學(xué)家托勒密想出來的，叫做托勒密定理?！爱?dāng)你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD這樣的等積式時(shí)