中考壓軸題及答案-圖形的旋轉

中考壓軸題及答案---圖形的旋轉中考壓軸題及答案---圖形的旋轉中考壓軸題及答案---圖形的旋轉中考壓軸題及答案---圖形的旋轉編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:初三數學中考壓軸題復習——圖形的旋轉一．解答題（共10小題，滿分100分，每小題10分）1．（10分）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點A逆時針旋轉α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點M，過點M作MN∥DE交AE于點N，連接NC．設BC=4，BM=x，△MNC的面積為S△MNC，△ABC的面積為S△ABC．（1）求證：△MNC是直角三角形；（2）試求用x表示S△MNC的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點N為圓心，NC為半徑作⊙N，①當直線AD與⊙N相切時，試探求S△MNC與S△ABC之間的關系；②當S△MNC=S△ABC時，試判斷直線AD與⊙N的位置關系，并說明理由．2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點C逆時針旋轉一個角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如圖，當A′B′邊經過點B時，求旋轉角α的度數；（2）在三角板旋轉的過程中，邊A′C與AB所在直線交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′邊于點E，連接BE．①當0°＜α＜90°時，設AD=x，BE=y，求y與x之間的函數解析式及定義域；②當時，求AD的長．3．（10分）將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點A逆時針旋轉a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點M，在AE上取點N，使∠MCN=90°．設AC=2，△MNC的面積為S△MNC，△ABC的面積為S△ABC．（1）求證：MN∥DE；（2）以點N為圓心，NC為半徑作⊙N，①當直線AD與⊙N相切時，試S△MNC與S△ABC之間的關系；②S△MNC與S△ABC之間滿足怎樣的關系時，試探求直線AD與⊙N的各種位置．4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點D，過點D作DE∥A'B'交CB'邊于點E，連接BE．（1）如圖1，當A'B'邊經過點B時，α=_________°；（2）在三角板旋轉的過程中，若∠CBD的度數是∠CBE度數的m倍，猜想m的值并證明你的結論；（3）設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點E為圓心，EB為半徑作⊙E，當S=時，求AD的長，并判斷此時直線A'C與⊙E的位置關系．5．（10分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中點，等腰直角三角板的直角頂點落在點D上，使三角板繞點D旋轉．（1）如圖1，當三角板兩邊分別交邊AC、BC于F、E時，線段EF與AF、BE有怎樣的關系并加以證明．（2）如圖1，設AF=x，四邊形CEDF的面積為y．求y關于x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍．（3）在旋轉過程中，當三角板一邊DM經過點C時，另一邊DN交CB延長線于點E，連接AE與CD延長線交于H，如圖2，求DH的長．6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放在D處．（1）如圖①，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F，求出重疊部分AEDF的面積（直接寫出結果）．（2）如圖②，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F，設AE=x，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）若BD=2CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AC于點F，另一條直角邊交射線AB于點E．設CF=x（x＞1），重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．7．（10分）把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF長均為4．（1）當EG⊥AC于點K，GF⊥BC于點H時（如圖①），求GH：GK的值；（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉，旋轉角α滿足條件：0°＜α＜30°（如圖②），EG交AC于點K，GF交BC于點H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結論；

（3）在②下，連接HK，在上述旋轉過程中，設GH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（4）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點逆時針旋轉時，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出相應的旋轉角α；若不存在，說明理由．8．（10分）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．（1）如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；（2）在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；（3）在三角板旋轉過程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．9．（10分）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉過程中，△BDE為直角三角形．設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S．（1）當α=30°時，求x的值．（2）求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S=時，判斷⊙E與A′C的位置關系，并求相應的tanα值．10．（10分）操作：在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，將一塊直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．探究：（1）如圖①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則重疊部分四邊形DCEP的面積為_________，周長_________．（2）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系？并結合圖②加以證明．（3）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由．

答案與評分標準一．解答題（共10小題，滿分100分，每小題10分）1．（10分）（2008?邵陽）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點A逆時針旋轉α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點M，過點M作MN∥DE交AE于點N，連接NC．設BC=4，BM=x，△MNC的面積為S△MNC，△ABC的面積為S△ABC．（1）求證：△MNC是直角三角形；（2）試求用x表示S△MNC的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點N為圓心，NC為半徑作⊙N，①當直線AD與⊙N相切時，試探求S△MNC與S△ABC之間的關系；②當S△MNC=S△ABC時，試判斷直線AD與⊙N的位置關系，并說明理由．考點：二次函數綜合題；勾股定理的逆定理；直線與圓的位置關系；相似三角形的判定與性質。專題：綜合題；壓軸題；分類討論。分析：（1）利用平行線的性質和等量代換，易得△ABM∽△ACN，再由等量代換得到∠MCN=90°即可；（2）由于△MNC是直角三角形，則有S△MNC=MN?CN，而MC=4﹣x，故利用相似三角形的對應邊成比例用含x的代數式表示出CN，就可求得S△MNC的函數關系式．（3）①當直線AD與⊙N相切時，利用AN=NC，確定出CN的值后，用2中的S△MNC的函數關系式，確定S△MNC與S△ABC之間的關系；②當S△MNC=S△ABC時，求得x的值，討論x取不同值時直線AD與⊙N的位置關系．解答：解：（1）MN∥DE，∴，又∵AD=AB，AE=AC，∴，又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，∴AC=2，AB=2，∴△ABM∽△ACN，∴，∴，∴S△MNC=MN?CN=（4﹣x）?x=（4x﹣x2）（0＜x＜4）．（3）①直線AD與⊙N相切時，則AN=NC，∵△ABM∽△ACN，∴，∴AM=MB．∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．又∵∠ACB=90°﹣30°=60°∴△AMC是等邊三角形，有AM=MC=BM=BC=2，即x=2．S△MNC=（4x﹣x2）=，∵S△ABC=AB?AC=2，∴S△MNC=S△ABC．②當S△MNC=S△ABC時∴S△MNC=（4x﹣x2）=解得x=1或x=3．（i）當x=1時，在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，∴MN==∵，即AN＞NC，∴直線AD與⊙相離．（ii）當x=3時，同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1∴NC＞AN∴直線AD與⊙相交．點評：本題利用了平行線的性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，直角三角形的性質求解，運用了分類討論的思想．2．（10分）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點C逆時針旋轉一個角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，（1）如圖，當A′B′邊經過點B時，求旋轉角α的度數；（2）在三角板旋轉的過程中，邊A′C與AB所在直線交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′邊于點E，連接BE．①當0°＜α＜90°時，設AD=x，BE=y，求y與x之間的函數解析式及定義域；②當時，求AD的長．考點：相似三角形的判定與性質；旋轉的性質；平行線分線段成比例。專題：壓軸題；數形結合；分類討論。分析：（1）由旋轉的性質可得出∠α=∠B′CB=60°；（2）①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．根據平行線DE∥A'B'分線段成比例知、及由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據相似三角形的對應邊成比例、直角三角形的性質及∠A=30°求得（0＜x＜2）；②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x；當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x﹣2．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°．（1分）由旋轉可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB∴△B′BC為等邊三角形．（2分）∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）（2）①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖）．∵DE∥A'B'，∴．（1分）由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．∴，（1分）∴．∴△CAD∽△CBE；（1分）∴．∵∠A=30°∴=．（1分）∴（0＜x＜2）（2分）②當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上．AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，∵DE∥A′B′，∴，由旋轉性質可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．∴，∴，∴△CAD∽△CBE，∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，∴∠DBE=90°．此時，．當S=時，．整理，得x2﹣2x+1=0．解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）當90°＜α＜120°時，點D在AB的延長線上（如圖）．仍設AD=x，則BD=x﹣2，∠DBE=90°，．當S=時，．整理，得x2﹣2x﹣1=0．解得，（負值，舍去）．即．（2分）綜上所述：AD=1或．點評：本題主要考查旋轉、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識．解決本題的關鍵是結合圖形，分類討論．3．（10分）將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點A逆時針旋轉a角（0°∠a∠90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點M，在AE上取點N，使∠MCN=90°．設AC=2，△MNC的面積為S△MNC，△ABC的面積為S△ABC．（1）求證：MN∥DE；（2）以點N為圓心，NC為半徑作⊙N，①當直線AD與⊙N相切時，試S△MNC與S△ABC之間的關系；②S△MNC與S△ABC之間滿足怎樣的關系時，試探求直線AD與⊙N的各種位置．考點：切線的性質；圓周角定理；直線與圓的位置關系；旋轉的性質。分析：（1）由題意推出∠B=∠NCA，通過求證△ABM∽△ACN，根據對應邊成比例，通過等量代換推出AM：AD=AN：AE，即可得MN∥DE，（2）①當直線AD與⊙N相切時，利用AN=NC，通過求證△ABM∽△ACN，確定出CN，MC的值后，即可推出S△MNC與S△ABC之間的關系；②首先確定若S△MNC=S△ABC時，探求直線AD與⊙N的各種位置，設BE=x，根據題意求出x的值，然后討論x取不同值時直線AD與⊙N的位置關系．解答：（1）證明：∵∠MCN=90°，∠BAC=90°，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，∴∠B=∠NCA，∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴AM：AB=AN：AC，∵AB=AD，AE=AC，∴AM：AD=AN：AE，∴MN∥DE，（2）解：①直線AD與⊙N相切時，則AN=NC，∵△ABM∽△ACN，∴BM：CN=AB：AC，AM：AN=MB：NC，∴AM=MB，∵∠BAC=90°，∵∠B=30°，∴∠α=30°，∠AMC=60°，∵AC=2，∴BC=4，AB=2，∵BM：CN=AB：AC，又∵∠ACB=90°﹣30°=60°，∴△AMC是等邊三角形，∴AM=MC=AC=2，∴MB=2，∵BM：CN=AB：AC，∴CN=，∴S△MNC==，S△ABC=AB?AC=2，∴S△MNC=S△ABC，②若S△MNC=S△ABC時，探求直線AD與⊙N的各種位置，設BM=x，∴S△MNC=MC?NC=?2，∵BM：CN=AB：AC，∴CN=，∴（4﹣x）×=∴解得x=1或x=3．（i）當x=1時，在Rt△MNC中，MC=4﹣x=3，∴MN2=NC2+MC2，∴MN=，∵MN∥DE，∴AN：AE=MN：DE，∴AN=，∵CN=∵＞，即AN＞NC，∴直線AD與⊙相離．（ii）當x=3時，∴NC=3，在Rt△MNC中，MC=4﹣3=1，∴MN=2，∵MN∥DE，∴AN：AE=MN：DE，∴AN=1，∵3＞1，∴NC＞AN，∴直線AD與⊙相交．點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、三角形的面積公式，直角三角形的性質、圓與直線的位置關系、切線的性質等知識點的綜合運用能力，關鍵在于運用了分類討論的思想進行分析、通過求證相關三角形相似，推出對應邊成比例，熟練運用等量代換、認真求出相關線段的長度．4．（10分）含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點D，過點D作DE∥A'B'交CB'邊于點E，連接BE．（1）如圖1，當A'B'邊經過點B時，α=60°；（2）在三角板旋轉的過程中，若∠CBD的度數是∠CBE度數的m倍，猜想m的值并證明你的結論；（3）設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點E為圓心，EB為半徑作⊙E，當S=時，求AD的長，并判斷此時直線A'C與⊙E的位置關系．考點：直線與圓的位置關系；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：（1）有旋轉可得出∠α；（2）①如圖1，點D在AB邊上時，m=2；②如圖2，點D在AB的延長線上時，m=4．由相似和旋轉的性質得出∠A=∠CBE=30°．從而得出m的值；（3）先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：①當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，得出直線A′C與⊙E相切．②當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x﹣2，得出直線A′C與⊙E相交．解答：解：（1）當A′B′過點B時，α=60°；（2）猜想：①如圖1，點D在AB邊上時，m=2；②如圖2，點D在AB的延長線上時，m=4．證明：①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖1）．∵DE∥A′B′，∴．由旋轉性質可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．∴．∴△CAD∽△CBE．∴∠A=∠CBE=30°．∵點D在AB邊上，∠CBD=60°，∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．②當90°＜α＜120°時，點D在AB的延長線上（如圖2）．與①同理可得∠A=∠CBE=30°．∵點D在AB的延長線上，∠CBD=180°﹣∠CBA=120°，∴∠CBD=4∠CBE，即m=4；（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2，，．由△CAD∽△CBE得．∵AD=x，∴，．①當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB﹣AD=2﹣x，∠DBE=90°．此時，．當S=時，．整理，得x2﹣2x+1=0．解得x1=x2=1，即AD=1．此時D為AB中點，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如圖3）∴EC=EB．∵∠A′CB′=90°，點E在CB′邊上，∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB．∴直線A′C與⊙E相切．②當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x﹣2，∠DBE=90°．（如圖2）.．當S=時，．整理，得x2﹣2x﹣1=0．解得，（負值，舍去）．即．此時∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，∴∠CBE＜∠BCE．∴EC＜EB，即圓心E到A′C的距離EC小于⊙E的半徑EB．∴直線A′C與⊙E相交．點評：本題考查了直線和圓的位置關系，相似三角形的判定和性質以及旋轉的性質，是一道綜合題，難度較大．5．（10分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中點，等腰直角三角板的直角頂點落在點D上，使三角板繞點D旋轉．（1）如圖1，當三角板兩邊分別交邊AC、BC于F、E時，線段EF與AF、BE有怎樣的關系并加以證明．（2）如圖1，設AF=x，四邊形CEDF的面積為y．求y關于x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍．（3）在旋轉過程中，當三角板一邊DM經過點C時，另一邊DN交CB延長線于點E，連接AE與CD延長線交于H，如圖2，求DH的長．考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形。專題：計算題。分析：（1）延長ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，證明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵MD⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG2+AF2=FG2，從而得出結論．（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分別于R、S，再Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，從而可以表示出△FAD的面積，由勾股定理，得CF2+CE2=EF2，再由（1）的結論建立等量關系表示出BE，從而求出ES，就可以表示出△EDB的面積，進而可以表示出y的值．（3）作AP⊥MD，交MD的延長線于點P，由條件可以求出AP=，DE=2，EC=4，可以求出△ACE的面積，然后用S△AHC+S△CHE=S△AEC建立等量關系可以求出CH的值，再減去CD的值就求出了DH．解答：解：（1）線段EF與AF、BE的關系為：EF2=AF2+BE2．理由如下：延長ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，如圖1，∵FD⊥GN，∴FG=EF．∵D是AB中點，∴AD=BD，∵∠ADG=∠EDB，∴△BED≌△AGD，∴AG=BE，∠GAD=∠B．∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAG=90°，∴AG2+AF2=FG2．∴EF2=AF2+BE2．（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如圖3）∴∠FRA=∠ESB=90°．∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠SEB=30°，∴SB=BE，SE=SB．∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，∵EF2=AF2+BE2，∴CF2+CE2=AF2+BE2，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=2，∴CF=2﹣x，CE=2﹣BE．∴（2﹣x）2+（2﹣BE）2=x2+BE2∴BE=4﹣x，∴SB=2﹣x，∴SE=2﹣x，∴y=×2×2﹣2×x?﹣×2×（2﹣x），y=2﹣x﹣2+x，y=x當E點與C點重合時，ED=CD=2，DF=，則CF=，∴x=；當E點與B點重合時，AF=，∴x的取值范圍為：≤x≤（3）作AP⊥MD，（如圖2）∴AP=，∵CD=2，∴DE=2，EC=4，∴S△AHC+S△CHE=S△AEC．∴×CH+×CH×2=×4×2，∴CH=，∴DH=﹣2=點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用，含30°的直角三角形的性質．6．（10分）已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放在D處．（1）如圖①，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F，求出重疊部分AEDF的面積（直接寫出結果）．（2）如圖②，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F，設AE=x，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）若BD=2CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AC于點F，另一條直角邊交射線AB于點E．設CF=x（x＞1），重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．考點：相似三角形的判定與性質；根據實際問題列一次函數關系式；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；旋轉的性質。分析：（1）由旋轉的性質可得出重疊部分AEDF的面積等于三角形ABC面積的一半．（2）過點D作DM⊥AB，則（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．（3）分兩種情況：①如圖①，連接AD，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N．則y=x+（1＜x≤2）；②如圖②，過點D作AC的垂線，垂足為N，則y=﹣x（2＜x≤3）．解答：解：（1）．（2）過點D作DM⊥AB，垂足為點M，（3﹣x）（0≤x≤3且x≠）．（3）①如圖①，連接AD，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N．∵AB=AC=3，∠BAC=90°，∴BC=3．∵BD=2CD，∴BD=2，CD=．易得DN=1，DM=2，易證∠EDM=∠FDN，∵∠DME=∠DNF=90°，∴△DME∽△DNF．∴．∴ME=2（x﹣1）．∴AE=2（x﹣1）+1=2x﹣1．∴．②如圖③，過點D作AC的垂線，垂足為N，∵AB=AC=3，∠BAC=90°，∴BC=3．∵BD=2CD，∴BD=2，CD=．易得DN=1，∴．∴點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉的性質以及根據實際問題列一次函數的關系式．7．（10分）把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF長均為4．（1）當EG⊥AC于點K，GF⊥BC于點H時（如圖①），求GH：GK的值；（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉，旋轉角α滿足條件：0°＜α＜30°（如圖②），EG交AC于點K，GF交BC于點H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結論；

（3）在②下，連接HK，在上述旋轉過程中，設GH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（4）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點逆時針旋轉時，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出相應的旋轉角α；若不存在，說明理由．考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；旋轉的性質。分析：（1）根據30°的直角三角形的三邊關系，利用已知條件和勾股定理可以求出直角三角形的三邊長度，利用三角形的中位線可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH與GK的比值不變．（3）△GKH是直角三角形，兩直角邊的比知道，可以把GK也用x的式子表示出來，最后直接利用三角形的面積公式就可以求出函數的解析式．（4）當逆時針旋轉30°或90°時，如圖就可以證明△EGH≌△FBH，得到∠GEK=∠GFB，從而得到∠FGB=∠GFB，得到邊相等，得出結論，旋轉90°時也是得出∠BGF=∠F，而得到結論．解答：解：（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°∴AC=AB，EG=EF∵AB=EF=4∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得BC=GF=2∵GE⊥AC，GF⊥BC∴GE∥BC，GF∥AC∵G是AB的中點∴K，H分別是AC、CB的中點∴GK，GH是△ABC的中位線∴GK=BC=GH=AC=1∴GH：GK=1；（2）不變，作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，∴∠GMC=∠GNH=90°由旋轉的性質可知：∠2=∠1∴△GMK∽△GNH∴∵GN：GM=1：∴GH：GK=1：∴旋轉角α滿足條件：0°＜α＜30°時，GH：GK的值比值不變．（3）連接KH，∵∠EGH=90°∴S△EGH=∵GH=x，且GH：GK=1：∴x：GK=1：∴GK=x∴y=（），（4）存在，如下圖，當α=30°或α=90°時，△BFG是等腰三角形．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，旋轉的性質以及勾股定理的運用．8．（10分）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．（1）如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；（2）在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；（3）在三角板旋轉過程中，若CF=AE=2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．考點：等邊三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質。分析：（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF=60°，主要再證得PE=PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE=PC來實現(xiàn)；（2）由（1）不難得出∠CFG=90°，那么在三角形CFG中，有∠C的度數，可以根據CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角三角形BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數，可以求出BE、EP的長，再根據三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）可通過證明四邊形EPFA是平行四邊形來得出PE=AF，從而求出PE的長，證明平行四邊形的關鍵是證∠AEP=∠AFP．可先通過證三角形BEP和CFP是等邊三角形從而得出∠BEP=∠PFC=60°來實現(xiàn)．解答：解：（1）∵PE⊥AB，∠B=60°，因此直角三角形PEB中，BE=BP=BC=PC，∴∠BPE=30°，∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF是等邊三角形．（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，F(xiàn)C=BP=BC=4，BE=CP=BC=2，在三角形FCP中，∠PFC=90﹣∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，直角三角形FGC中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC﹣BC=2，直角三角形BEP中∠EBP=60°，BP=4，∴PE=2，BE=2，∴EH=BE?PE÷BP=，∴S△GBE=BG?EH=；（3）∵CF=2，AC=6，∴CF=AC=PC，∴△CPF是等邊三角形，∴∠FPC=60°，∴∠BPE=180°﹣60°﹣60°=60°，又∵∠B=60°，∴△EBP是等邊三角形，∴∠BEP=∠PFC=60°，∴∠PEA=∠PFA，∵∠A=∠EPF=60°，∴四邊形EPFA是平行四邊形，∴PE=AF=6﹣2=4．點評：本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質，注意對全等三角形和等邊三角形的應用．9．（10分）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉過程中，△BDE為直角三角形．設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S．（1）當α=30°時，求x的值．（2）求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S=時，判斷⊙E與A′C的位置關系，并求相應的tanα值．考點：銳角三角函數的定義；根據實際問題列二次函數關系式；勾股定理；直線與圓的位置關系；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質。專題：綜合題；壓軸題；數形結合。分析：（1）根據等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；（2）由直角三角形的性質，AB=2，AC=，由旋轉性質求得△ADC∽△BCE，根據比例關系式，求出S與x的函數關系式；（3）當S=時，求得x的值，判斷⊙E和DE的長度大小，確定⊙E與A′C的位置關系，再求tanα值．解答：解：（1