二課堂-4一階微分方程可降階方程

第四節(jié)一階微分方程可降階微分方程微分方程的階,解,通解,特解一.微分方程的概念例1

以(x

C1

)2

(y

C2

)2

1

為通解構造一個二階微分方程.解:

求導,

2(

x

C1

)

2(

y

C2

)

y

0

(1)再求導, 2

2(

y)2

2(

y

C2

)

y

0

(2)(3)x

C1

[1

(

y)2

]y

/

y

(4)由(2)得

y

C2

[1

(

y)2

]/

y代入(1)得[1

(

y)2

]2

(

y)2

[1

(

y)2

]2

(

y

)2

(

y

)22 3

/

21

或

y

(1

y

)若微分方程

y

f

(

x,

y)

的通解為y

g(

x,C

)

,則微分方程

y

f

(2

x,2

y)

的通解為( )

.例2

練習四/一(3)分析：y

f

(2x,2

y)d

(2

x)d

(2

y)

f

(2

x,2

y)通解

2

y

g(2

x,C

)解答：(B

)例3

求曲線族x2

y2

2ax的正交曲線族的方程.解：x2

y2

2ax,2x

2

yy

2a,.2

xyy2

x2將a

x

yy

代入原曲線族,

得y

2

xy所求曲線族滿足方程y

,x2

y2此為齊次型方程可解得y

C(x2

y2

)

o(Δx)

.1

x2yΔx若函數

y

y(

x)

在任意一點x

處,當自變量有增量Δx

時,函數的增量為Δy

已知

y(0)

π,

則

y(1)

.例4

練習四/二(3)Δxy

o(Δx)分析：Δy

Δxy1

x21

x2有y

令Δx

0,dxy11

x21

dyln

y

arctan

x

ln

Cy

Cearctan

xy(0)

C

πy

π

earctan

xπy(1)

π

e

4π解答：π

e

4二.一階微分方程的解一階微分方程分類方程.分離變量,線性,齊次型,把自變量與未知函數對調變量代換.例5

練習四/十七設y(x)是x

的一個可微函數,且滿足x

xx

0

y(t

)dt

(x

1)0

t

y(t

)dt

,求y(x)的表達式.解：等號兩邊對x

求導xxt

y(t

)

dt

(

x

1)

xyy(t

)

dt

xy

002x0x0t

y(t

)

dt

x

yy(t

)

dt

y

xy

2

xy

x2

y()即

x2

y

y(1

3

x)yx2dy

1

3

x

dxxln

y

1

3ln

x

ln

CxxC3

e

1當x

0

時,

y

由()

式,

y(0)

0

13

e

,

x

0x

0

x

C

y(

x)

x

0

,2x0x0t

y(t

)

dt

x

yy(t

)

dt

的一條積分曲線.

2有水平漸近線x2求微分方程

y

2

xy

1例6

練習四/十五x解：y

e

2

xdx[C

(

1

2)e

2

xdxdx]

Cex2

1x2為使x

時,y

趨于有限數,應取C

0.x所求積分曲線為y

1例7

求方程

ydx

(

x

y3

)dy

0

的通解.3解法1：

dx

x

ydy

ydx

1

x

y2dy

yx

e

[C

y2e

1

dyy

1

dyyy3C

1y

4dy]

解法2：(ydx

xdy)

y3dy

04d

(

xy

1

y4

)

04通解xy

1

y4

C求微分方程x2

y

xy

y2滿足初始條件

y(1)

1

的特解.2解法1：y

y

xy此為齊次型方程x令u

y

,x2則y

ux,dxy

x

du

udxx

du

u

u2

u例8x2du

2

dxu2

2uuln

u

2

2ln

x

ln

Cy

2

x

C

x2

yC

12

x1

x2y

2

x

x2

y

或y

dxx

du

u

u2

uy(1)

1x2x解法2：y

1

y

1

y2方程

α

2y令z

1

,z則y

1

,z2y

1

z,x2xz

1

z

111dx]xxdx1xz

e

[C

2

e

dx2x

Cx

12xy

1

z

1

2Cx2C

122

x1

x2通解為

y三.變量代換求解微分方程求方程

dy

x

x2

2

y

的通解.dx例9解：令u

x2

2

y

,2則y

1

(u

x2

),dy

1

du

x

,代入原方程,

du

2

udx

2

dx解得

u

x

C

,2dx通解

x

2

y

x

C2C2或y

Cx

dx求方程x

dy

y

x2

y2

的通解.例102yx2解：

xy

y

1

(

)xyx右端是

f

( )

.等號左端是(

)

,y

令u

y

,

則

du

1

u2

,x

dxxarctan

u

x

Cx通解arctan

y

x

C或y

x

tan(x

C)22滿足初始條件

y(0)

0,y(0)

1的特解.

ydx22

d

2

y求微分方程(1

x

)cos

t(

|

t

|

)例11

借助變換式

x

tan

t

,

y

u(t)

,dx解：

u

cos

t

u

sin

t,3dx2dy

d

2

y

(u

u)

cos

t代入原方程,有u

0,u(t)

C1t

C2當x

0

時,有t

0代入初始條件,u

|t

0

0,u

|t

0

1.得C1

1,

C2

0

,

故u(t)

t

.x

tan

t得參數方程函數形式的特解

y

t

sec

t1

x2

arctan

x

.或消去t

的特解y

x

y

為自變量的新方程,并求原方程滿足初始條件(x,y)(1,0)的解.將微分方程y

x

y

化成以

為未知函數,利用換元x

cos

,y

sin

,例12

練習四/十三sin

coscos

sin

dy

ddx

ddxdy解：經化簡后有

d

Ced(x,

y)

(1,0)

(,

)

(1,0)

exarctan

y由此可確定C1,所求為

x2

y2

e

cos

sin

x

y又由

y

x

y

得

y

cos

sin

四.可降階高階微分方程1、2、3、型的微分方程型的微分方程型的微分方程2滿足y(0)

1,y(0)

1

的特解.求方程y

2x(y)2

0例13解：令y

p(x),則y

dp

,dp

2xp2

0121p

x

C1x2

Cdx

dxy

p

121代入

y(0)

1,

得C

21x2

2y

1

x2

2y

212

2 2

x2

x

Cdx

ln代入y(0)1,得C2

1ln2

2 2

x1 2

x

1所求為y

44

的特解.2)

y(

y

(,0)例14

練習求微分方程y

yy

滿足初始條件dydppyyp)y

則解:

令dyp

dp

yp

p

0,

2dp

2ydy,12

p

y2

C代入初始條件,有C1

4.2

y

y2

4

dx2dyy2

422arctan

y

x

C42代入初始條件,

有C

.所求特解為arctan

y

x

或

y

2

tan(

x

)2

4

4求方程(y)2

(y

)2

1的通解.例15解：令

y

p(x)

,

則

y

dp

,(

dp

)2

p2

1dxdxdp

1

p2dx1dp

dx,1

p2arcsin

p

x

C1,11

p2

dp

dx,arccosp

x

C1p

sin(

x

C1),p

cos(x

C1)y

p

sin(

x

C1)y

cos(x

C1)

C2通解y

sin(x

C1)

C2

x

C3備例1兔子位于(a,0)

點,

獵狗位于(0,b)

點,

兔子以速度

v1

沿

x

軸正向作勻速直線運動,

獵狗以速度

v2

追逐兔子,

求獵狗運動的軌跡曲線

y

y(

x)

所滿足的定解問題.1(a

v

t,0)oxy(0,

b)(x,

y)y

y(x)(a,0)解：在某一時刻t

,兔子(a

v1t,0),獵狗(x,y),1x

(a

v

t

)y

0y

1vyt

1

(

x

a

y

)x021

(

y)2

dx

v

t0v1xy1

(

y)2

dx

v2

(

x

a

y

)]1(

y)2v2

(

y)2

yy

2求導,

1

(

y

)

[1

vba

y(0)

b,

y(0)

(

y)2v1

1

(

y)2

v2

yy定解問題1f

(

x)的若F

(x)是f

(x)的一個原函數,G(x)是備例2一個原函數,且F

(x)G(x)

1,f

(0)

1,求f

(x).解：F

(x)G(x)

1

等號兩邊對x

求導,F(

x)G(

x)

F

(

x)G(

x)

0,1F

(

x)由G(x)

11f

(

x)

F

(

x)G(

x)

F

(

x)

F

(

x)

0F

(

x)

F

(

x)得即F(x)

F

(x)求得F

(x)

Ce

x

或F

(x)

Ce

x于是f

(x)

Ce

x

或f

(x)

Ce

x代入f

(0)

1有f

(x)

ex

或f

(x)

e

x

f

(

x)

e

x備例3

練習四/十求微分方程y

y

|

x

|

滿足初始條件y(1)

0的特解.

x解：方程y

y

0的通解yh

Ce

21

x

1,

x

0

x

1,

x

0C

e

xC

e

xy

y

|

x

|

的解y

代入y(1)

0,得C2

0.再由y(0

0)

y(0

0)

y(0)

1得C1

2x

1,

2e

x

x

1,

x

0x

0所求特解為y

dx求方程

dy

y

Q(

x)

滿足

y(0)

0

的連續(xù)解.0

x

10

,

x

1備例4

設Q(x)

2,解：當0

x

1時,方程通解y

C1e

x

2,1由

y(0)

0

,

得C

2

,y

2(1

e

x

).當x

1時,方程通解y

C2e

x

,2(e

1)e0

x

1,

x

1

x2(1

e

x

)

,所求為y(x)0

x

1時x

1時

y

C2e

x

,令

lim

y(

x)

lim

y(

x)

y(1)

,x1

x1有2(1

e1

)

C2e1

C2

2(e

1)y

2(e

1)e

xy

2(1

e

x

).1f

(

x)xdx

f

(

x)

1

,

求

f

(

x)

.f

2

(

x)

x備例5已知可微函數f

(x)滿足f

(

x)

f

(

x)

,f

2

(

x)

x解：ffdx

f

2

x

xdf

fdx

1

x

fdf

f即f

(x)[f

(x)

C]

x由原等式,得f

(1)

1

C

0f

2

(

x)

x

,f

(

x)

x

.因

f

(1)

1

,

故

f

(

x)

x

.dx

1

x

fdf

f得

x

f

(

f

C

)求微分方程備例6

練習(2

x

e

y

2)dx

e

y

(x

2e

y

1)dy

0

的通解.解：2xdx

2dx

(e

ydx

xdey

)

2e2

ydy

e

ydy