二階線性微分方程理論及解法課件

二階線性微分方程的理論及解法一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法第三節(jié)11/21/20221二階線性微分方程的理論及解法一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程;時,稱為二階齊次線性微分方程.復(fù)習(xí):一階線性微分方程：通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y11/21/20222二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程;時,證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得（解的疊加原理）定理1.11/21/20223證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解！但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)性的概念.11/21/20224注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點(diǎn),必須全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)11/21/20225定義:是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n個☆

兩個函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)注：0與任意函數(shù)必線性相關(guān)僅相差常數(shù)倍！11/21/20226☆兩個函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)注：0定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則為該方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解為推論*.是n階線性齊次方程的n個線性無關(guān)解,則方程的通解為11/21/20227定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則為該方程二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①證畢！又Y中含有兩個獨(dú)立任意常數(shù)，即y是①的解.11/21/20228二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為11/21/20229例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為11推廣*.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解11/21/202210推廣*.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解的疊加原理）11/21/202211定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解定理5.均是方程的特解.是方程的特解，則11/21/202212定理5.均是方程的特解.是方程的特解，則11/21/202常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)兩個不同的函數(shù)都是一階非齊次線性方程的解,是任意例1.11/21/202213常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)兩個不同是任意常數(shù),則該方程設(shè)是二階非齊次線性微分方程的三個不同特解,且備用1.的通解是().11/21/202214是任意常數(shù),則該方程設(shè)是二階非齊次線性微分方程的三個不同特常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意備用2提示:線性無關(guān).（反證法可證）不一定線性無關(guān)11/21/202215常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)例2.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三11/21/202216例2.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.11/21/202217三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代2.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,則得因此原方程的通解為11/21/2022182.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)3.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根此時微分方程有兩個復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理，得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為11/21/2022193.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根此時微分方程有兩個復(fù)數(shù)解總結(jié):特征方程:實根特征根通解11/21/202220總結(jié):特征方程:實根特征根通★

若含k重復(fù)根★

若含k重實根r,則其通解中必含則其通解中必含特征方程:推廣*：n階常系數(shù)齊次線性微分方程11/21/202221★若含k重復(fù)根★若含k重實根r,則其通解中例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為11/21/202222例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4解特征方程為解得故所求通解為例511/21/202223解特征方程為解得故所求通解為例511/21/202223特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224例7在下列微分方程中，以為通解的是(D)(2008考研)11/21/202225例7在下列微分方程中，以為通解的是(D)1、四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法2、根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為非齊次方程特解齊次方程通解11/21/2022261、四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法2、根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法11/21/202227求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入1、設(shè)特解為其中為待定多項式,（其中為實數(shù)，為m次多項式）則代入得化簡得11/21/2022281、設(shè)特解為其中為待定多項式,（其中(1)若非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為m次多項式，(2)若是特征方程的單根，為m次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,為m次多項式,故特解形式為即即11/21/202229(1)若非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為結(jié)論對方程①,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！(k是重根次數(shù))當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解11/21/202230結(jié)論對方程①,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！(k是重根次數(shù))例7.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為11/21/202231例7.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例811/21/202232解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例備用.的通解.

解：特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為11/21/202233備用.的通解.解：特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)例9*.求解解：特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得對應(yīng)齊次方程通解為故原方程通解為由初始條件得于是所求解為11/21/202234例9*.求解解：特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方2、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路*:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)（歐拉公式）11/21/2022352、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路*:第一步將f結(jié)論:對非齊次線性方程可設(shè)特解:其中*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！11/21/202236結(jié)論:對非齊次線性方程可設(shè)特解:其中*注：此結(jié)論可推廣到高例10.的一個特解.解：特征方程為故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù)，得故特解因為11/21/202237例10.的一個特解.解：特征方程為故設(shè)特解為不是特征方程的例11.的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù)，得因此特解為代入得通解為為特征方程的單根,故設(shè)非齊次方程特解11/21/202238例11.的通解.解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解例12*.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為構(gòu)造下列微分方程的特解形式：11/21/202239例12*.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形*.11/21/202240內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則思考題.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為11/21/202241思考題.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解二階線性微分方程的理論及解法一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法第三節(jié)11/21/202242二階線性微分方程的理論及解法一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程;時,稱為二階齊次線性微分方程.復(fù)習(xí):一階線性微分方程：通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y11/21/202243二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程;時,證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得（解的疊加原理）定理1.11/21/202244證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解！但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)性的概念.11/21/202245注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點(diǎn),必須全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為0的常數(shù)11/21/202246定義:是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù),使得則稱這n個☆

兩個函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)注：0與任意函數(shù)必線性相關(guān)僅相差常數(shù)倍！11/21/202247☆兩個函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無關(guān)常數(shù)注：0定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則為該方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解為推論*.是n階線性齊次方程的n個線性無關(guān)解,則方程的通解為11/21/202248定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則為該方程二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①證畢！又Y中含有兩個獨(dú)立任意常數(shù)，即y是①的解.11/21/202249二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為11/21/202250例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為11推廣*.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解11/21/202251推廣*.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解的疊加原理）11/21/202252定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解定理5.均是方程的特解.是方程的特解，則11/21/202253定理5.均是方程的特解.是方程的特解，則11/21/202常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)兩個不同的函數(shù)都是一階非齊次線性方程的解,是任意例1.11/21/202254常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)兩個不同是任意常數(shù),則該方程設(shè)是二階非齊次線性微分方程的三個不同特解,且備用1.的通解是().11/21/202255是任意常數(shù),則該方程設(shè)是二階非齊次線性微分方程的三個不同特常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意備用2提示:線性無關(guān).（反證法可證）不一定線性無關(guān)11/21/202256常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)例2.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三11/21/202257例2.已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.11/21/202258三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代2.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,則得因此原方程的通解為11/21/2022592.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)3.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根此時微分方程有兩個復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理，得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為11/21/2022603.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根此時微分方程有兩個復(fù)數(shù)解總結(jié):特征方程:實根特征根通解11/21/202261總結(jié):特征方程:實根特征根通★

若含k重復(fù)根★

若含k重實根r,則其通解中必含則其通解中必含特征方程:推廣*：n階常系數(shù)齊次線性微分方程11/21/202262★若含k重復(fù)根★若含k重實根r,則其通解中例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為11/21/202263例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例4解特征方程為解得故所求通解為例511/21/202264解特征方程為解得故所求通解為例511/21/202223特征根通解解特征方程例69/1011/21/202265特征根通解解特征方程例69/1011/21/202224例7在下列微分方程中，以為通解的是(D)(2008考研)11/21/202266例7在下列微分方程中，以為通解的是(D)1、四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法2、根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為非齊次方程特解齊次方程通解11/21/2022671、四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法2、根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法11/21/202268求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入1、設(shè)特解為其中為待定多項式,（其中為實數(shù)，為m次多項式）則代入得化簡得11/21/2022691、設(shè)特解為其中為待定多項式,（其中(1)若非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為m次多項式，(2)若是特征方程的單根，為m次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,為m次多項式,故特解形式為即即11/21/202270(1)若非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為結(jié)論對方程①,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！(k是重根次數(shù))當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解11/21/202271結(jié)論對方程①,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！(k是重根次數(shù))例7.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為11/21/202272例7.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例811/21/202273解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例備用.的通解.

解：特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為11/21/202274備用.的通