生物數(shù)學(xué)模型生物系統(tǒng)論生物種群模型

2022/11/22生物種群模型2022/11/22簡(jiǎn)介種群(Population)：是指在特定時(shí)間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機(jī)體集合。種群生態(tài)學(xué)：主要研究種群的時(shí)間動(dòng)態(tài)及調(diào)節(jié)機(jī)理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/222)羅杰斯特(Logistic)模型

表示該種群的最大容納量。1單種群的數(shù)學(xué)模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型

表示時(shí)刻的種群數(shù)量，稱(chēng)為內(nèi)稟增長(zhǎng)率。2022/11/224)開(kāi)發(fā)了的單種群模型具有常數(shù)收獲率具有時(shí)變收獲率3）一般的種群模型2022/11/22

2兩種群的一般模型

兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競(jìng)爭(zhēng)、相互依存、弱肉強(qiáng)食。設(shè)甲、乙兩種群在時(shí)刻的數(shù)量為，則線性化，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/22

表示甲（乙）種群的自然生長(zhǎng)率；表示甲（乙）種群為非密度制約，表示甲（乙）種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競(jìng)爭(zhēng)；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強(qiáng)食（捕食與被捕食）。2022/11/223三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每?jī)蓚€(gè)種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競(jìng)爭(zhēng)、相互依存、弱肉強(qiáng)食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類(lèi)繁多的數(shù)學(xué)模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/22記三個(gè)種群分別為123并約定1）種群供食于種群表示為12122）種群為密度制約可表示為113）種群不主要靠吃本系統(tǒng)（1，2，3個(gè)種群組成的系統(tǒng)）為生，114）種群與種群相互競(jìng)爭(zhēng)：12125）種群與種群互惠共存：1212）2022/11/22如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，則三者關(guān)系有三種：兩個(gè)食餌種群，一個(gè)捕食者種群。一個(gè)食餌種群，兩個(gè)捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/22下面對(duì)于食餌種群增長(zhǎng)是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學(xué)模型（Volterra模型）（1）兩個(gè)食餌種群A，B，一個(gè)捕食者種群C。設(shè)A，B，Ct時(shí)刻的密度分別為假設(shè)：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時(shí)，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競(jìng)爭(zhēng)。圖示如下：2022/11/22CBA（）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/22（2）一個(gè)食餌種群A，兩個(gè)捕食者種群B，C。ACB（）2022/11/22ACB）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系2022/11/22ACB）））（3）捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。2022/11/22ACB）））說(shuō)明下列微分方程組的生態(tài)意義2022/11/22ACB）））2022/11/22ACB）））2022/11/22種群模型的求解方法：微分方程定性與穩(wěn)定性理論數(shù)值方法2022/11/22平面自治系統(tǒng)微分方程定性與穩(wěn)定性理論2022/11/22

假定方程組(1)的右端函數(shù)，在平面區(qū)域滿足解的存在唯一的條件，則過(guò)相平面中任一點(diǎn)有唯一的軌線。相平面：所在的平面。軌線：2022/11/22平衡點(diǎn)（Equilibrium）：使得的點(diǎn)為組(1)的平衡點(diǎn)，否則稱(chēng)為常點(diǎn)。即平衡點(diǎn)滿足記為2022/11/22稱(chēng)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（stable）；否則是不穩(wěn)定（unstable）的。穩(wěn)定與不穩(wěn)定：如果存在某個(gè)鄰域，使系統(tǒng)（1）的解從這個(gè)鄰域內(nèi)的某一初值出發(fā)，滿足2022/11/22其中是常數(shù)。平面線性微分方程組的平衡點(diǎn)分類(lèi)系統(tǒng)（2）有唯一的平衡點(diǎn)（0，0）。記系數(shù)矩陣2022/11/22記組(2)的系數(shù)矩陣構(gòu)成的特征方程為：其中唯一的平衡點(diǎn)（0，0）的穩(wěn)定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為2022/11/22方程組（2）解的一般形式為2022/11/22平衡點(diǎn)類(lèi)型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(node)stable不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)unstable鞍點(diǎn)(saddle)unstable穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)stable不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)unstable穩(wěn)定焦點(diǎn)(focus)stable不穩(wěn)定焦點(diǎn)unstable中心(center)unstable2022/11/22pq鞍點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)奇點(diǎn)的性態(tài)與的關(guān)系2022/11/22簡(jiǎn)單非線性微分方程的奇點(diǎn)2022/11/22稱(chēng)下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：2022/11/22結(jié)論1

如果則(4)的一次近似方程組的奇點(diǎn)在五種一般情形與組（4）的奇點(diǎn)的性態(tài)相同。2022/11/22結(jié)論2

設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2022/11/22

捕食與被捕食模型問(wèn)題的提出20世紀(jì)20年代，意大利生物學(xué)家U.D’Ancona在研究魚(yú)類(lèi)變化規(guī)律時(shí)，無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間，意大利Finme港收購(gòu)站的軟骨掠肉魚(yú)（鯊魚(yú)等以其他魚(yú)為食的魚(yú)）在魚(yú)類(lèi)收購(gòu)量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,112022/11/22戰(zhàn)爭(zhēng)期間鯊魚(yú)比例明顯增加！

顯然，捕獲的各種魚(yú)的比例基本上代表了地中海漁場(chǎng)中各種魚(yú)的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)中捕獲量大幅下降，應(yīng)該使?jié)O場(chǎng)中食用魚(yú)和以此為生的鯊魚(yú)數(shù)量同時(shí)增加。然而，捕獲量的下降為什么會(huì)使鯊魚(yú)的比例增加？發(fā)現(xiàn)D’Ancona的迷惑：2022/11/22請(qǐng)教著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。

將魚(yú)分為兩類(lèi)，一類(lèi)為捕食(predator)種群，另一類(lèi)為被捕食(prey)種群。設(shè)

t

時(shí)刻兩種群的數(shù)量（或密度）為y(t)，x(t)。在無(wú)捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：2022/11/22平衡點(diǎn)為一次近似系統(tǒng)2022/11/22一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的？。的鞍點(diǎn)。的中心。2022/11/22定理：設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。2022/11/22為了研究平衡點(diǎn)M，作平移變換首次積分2022/11/22由定理，得平衡點(diǎn)M的外圍鄰近被一閉軌線族所環(huán)繞。說(shuō)明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個(gè)體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)。2022/11/22兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)：兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值恰好是平衡點(diǎn)的坐標(biāo)。事實(shí)上，而2022/11/22同理，可證2022/11/22現(xiàn)考慮捕撈的影響平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為解釋?zhuān)翰稉颇芰p少，食餌種群數(shù)量減少，而捕食種群數(shù)量增加。2022/11/22應(yīng)用農(nóng)藥的使用策略。害蟲(chóng)—食餌，害蟲(chóng)的天敵—捕食者。因此，應(yīng)該適量地使用農(nóng)藥，更應(yīng)發(fā)展以蟲(chóng)治蟲(chóng)的策略。平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)Volterra

原理：殺蟲(chóng)能力過(guò)量，害蟲(chóng)種群數(shù)量增加，而天敵種群數(shù)量減少，對(duì)天敵更為不利。2022/11/22

天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對(duì)人類(lèi)生存起著重要作用。長(zhǎng)期以來(lái)，人為破壞（如過(guò)度放牧、獵殺動(dòng)物及采挖草藥等）使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日《北京晚報(bào)》載：“……受利益驅(qū)使，有些人不顧國(guó)家法律和當(dāng)?shù)卣睿诤魝愗悹柌菰笏敛赏谥胁菟帲率共菰瓏?yán)重受損。據(jù)此，有關(guān)專(zhuān)家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠?！辈菰\(yùn)思考2022/11/22為了天然草原生息繁衍和可持續(xù)發(fā)展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長(zhǎng)規(guī)律模型，描述人為破壞對(duì)草原生長(zhǎng)的影響過(guò)程;（2）論證或駁斥報(bào)載消息中專(zhuān)家的推斷，如果立即停止對(duì)草原的一切破壞，10年后的情形如何？（3）尋找導(dǎo)致草原消失的臨界條件，給出草原生長(zhǎng)的挽救方案，并對(duì)挽救效果進(jìn)行預(yù)測(cè)。2022/11/222007年6月