空間向量與立體幾何章節(jié)測(cè)試題-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=PAGE5*2-19頁(yè)共=SECTIONPAGES5*210頁(yè)◎第=PAGE5*210頁(yè)共=SECTIONPAGES5*210頁(yè)※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=PAGE1*2-11頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)◎第=PAGE1*22頁(yè)共=SECTIONPAGES2*24頁(yè)絕密★啟用前數(shù)學(xué)平面向量與立體幾何章節(jié)測(cè)試題考試范圍：平面向量與立體幾何；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為3．直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，為的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．5．在四面體ABCD中，為等邊三角形，，二面角的大小為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成.在翻折過(guò)程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（

）A． B． C． D．7．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（

）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．8．正三棱錐中，，M為棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，令為BM與AC所成的角，為BM與底面ABC所成的角，為二面角所成的角，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共四個(gè)小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為10．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝1，點(diǎn)Q是棱A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．PQ與EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．PEF的面積是D．點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值11．如圖四棱錐，平面平面，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面為矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．與平面所成角的余弦值為C．三棱錐的體積為D．四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為12．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分。13．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.14．已知向量，且，則____________．15．在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝______________(用表示)．16．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為_(kāi)__________.四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分。17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．19．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部，它對(duì)幾何學(xué)的研究比西方要早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖，在塹堵中，，，M，N分別是，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上.（1）若P為的中點(diǎn)，求證：平面.（2）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．22．如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.答案第=page3636頁(yè)，共=sectionpages3131頁(yè)參考答案：1．C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．2．D【詳解】在正方體中與

平行，因此有與平面

平行，A正確；在平面

內(nèi)的射影垂直于，因此有，B正確；與B同理有與

垂直，從而

平面

，C正確；由知與所成角為45°，D錯(cuò)．故選D．3．C【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問(wèn)題，考查空間想象與計(jì)算能力．延長(zhǎng)B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．4．C【分析】將正四面體放入正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)滿足的方程，判斷出點(diǎn)的軌跡為圓，求得圓的半徑，由此計(jì)算出圓的周長(zhǎng)也即的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】正四面體放入正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，設(shè)，，.由于，，所以，即，即，即，表示球心為，半徑為的球.表示垂直于平面的一個(gè)平面.所以的軌跡是上述平面截球面所得圓.球心到平面的距離為，所以截得的圓的半徑，所以截得的圓，也即點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】空間中求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度，可考慮采用坐標(biāo)法求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，結(jié)合軌跡方程求得軌跡的長(zhǎng)度.5．C【分析】以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)關(guān)系寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用平面和平面的法向量,表示出二面角的余弦值,即可求得的取值范圍.【詳解】以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)闉榈冗吶切?，不妨設(shè),由于,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)四點(diǎn)共面,不能構(gòu)成空間四邊形,所以則,,由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得設(shè)平面的法向量為則代入可得令,則,所以設(shè)平面的法向量為則,代入可得令,則,所以二面角的大小為則由圖可知,二面角為銳二面角所以因?yàn)樗约此怨蔬x:C【點(diǎn)睛】根據(jù)直線與平面夾角的特征及取值范圍,即可求解,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.6．A【解析】分別取DE，DC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過(guò)與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，利用向量法求出正弦值為，換元后利用基本不等式可得答案.【詳解】分別取DE，DC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，則點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過(guò)與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，則，平面ABCD的其中一個(gè)法向量為=(0,0.1)，由，設(shè)，則，記直線與平面ABCD所成角為，則設(shè)，所以直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量法求線面角，考查了三角函數(shù)的恒的變換以及基本不等式的應(yīng)用，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于綜合題.7．B【解析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明平面，并求，然后將異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為與所成的角，再如圖建立第二個(gè)坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求異面直線所成的角的余弦值，再求角的范圍.【詳解】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，連結(jié)，交平面于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，平面，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得：，，,，異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為與所成的角，如圖，將部分幾何體分類出來(lái)，再建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，即，，即，即，，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是銳角，并設(shè)為，則，，，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用空間直角坐標(biāo)系，解決異面直線所成的角，關(guān)鍵是如何建立坐標(biāo)系，解決問(wèn)題，本題建立兩個(gè)坐標(biāo)系，目的是方便解決問(wèn)題.8．B【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令為的中點(diǎn)，利用空間向量法求異面直線的角與線面角；【詳解】解：設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，高為，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令為的中點(diǎn)，則，，，，，，，，，，所以，過(guò)作交于點(diǎn)，所以，即為BM與底面ABC所成的角，所以，所以，所以顯然面的法向量可為，設(shè)面的法向量為，所以令，則，，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故CD不成立；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求空間角，屬于中檔題.9．AB【解析】直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等,它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長(zhǎng)為1,則而，所以A正確.=0,所以B正確.向量,顯然為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又，則，所以，所以D不正確.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的運(yùn)算，用向量求夾角等，屬于中檔題.10．BCD【分析】取特殊位置，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，即可判斷選項(xiàng)A；建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法求解二面角，即可判斷選項(xiàng)B；利用線面垂直的性質(zhì)定理，可得是的高，利用三角形的面積公式求解即可判斷選項(xiàng)C；由線面平行的判定定理判斷得到平面，即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，所以平面即平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，4，，所以，平面即平面，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，同理可求得平面的法向量為，設(shè)二面角為，所以，故，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由于，且平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在上，所以點(diǎn)到平面的距離為常量，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．11．BD【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則由已知可得平面，而底面為矩形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量依次求解即可.【詳解】解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿切螢榈冗吶切危?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以，如下圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面的一個(gè)法向量為，，顯然與不共線，所以與平面不垂直，所以A不正確；，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，所以，所以B正確；三棱錐的體積為，所以C不正確；設(shè)四棱錐外接球的球心為，則，所以，解得，即為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為3，設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對(duì)角線，故正方體的棱長(zhǎng)為，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直，線面角，棱錐的體積，棱錐的外接球等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查了計(jì)算能力，屬于較難題.12．BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．13．2【分析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.14．3【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，解得，故答案?.15．【詳解】因?yàn)樵谒拿骟w中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，故答案為.16．2.【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時(shí)，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了直線與平面所成角的計(jì)算.對(duì)于這類題，一般是建立空間直角坐標(biāo)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和直觀想象能力.17．（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，設(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面．在平面中，設(shè)．在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）方法一：過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）[方法一]：勾股運(yùn)算法證明由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；[方法二]：空間直角坐標(biāo)系法不妨設(shè)，則，由圓錐性質(zhì)知平面，所以，所以．因?yàn)镺是的外心，因此．在底面過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)為W，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，．故，．所以，．又，故平面．[方法三]：因?yàn)槭堑酌鎴AO的內(nèi)接正三角形，且為底面直徑，所以．因?yàn)椋矗┐怪庇诘酌?，在底面?nèi)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕O(shè)，則F為的中點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)，且，則，，．因此，從而．又因?yàn)?，所以平面．[方法四]：空間基底向量法如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R，連結(jié)，，易得，因?yàn)椋裕詾榛?，平面，則，，且，所以．故．所以，即．同理．又，所以平面．（2）[方法一]：空間直角坐標(biāo)系法過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法設(shè)，易知F是的中點(diǎn)，過(guò)F作交于G，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．由平面，得平面．由（1）可得，，得．所以，根據(jù)三垂線定理，得．所以是二面角的平面角．設(shè)圓O的半徑為r，則，，，，所以，，．在中，，．所以二面角的余弦值為．[方法三]：射影面積法如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，設(shè)，連結(jié)．由（1）知，所以．故平面．所以，點(diǎn)H在面上的射影為N．故由射影面積法可知二面角的余弦值為．在中，令，則，易知．所以．又，故所以二面角的余弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，此解法在解答題中用的比較少；（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）取的中點(diǎn)H，連接PH，HC.，利用中位線定理證明四邊形PHCN為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出等式，求解即可得到答案．【詳解】解析（1）證明：取的中點(diǎn)H，連接PH，HC.在塹堵中，四邊形為平行四邊形，所以且.在中，P，H分別為，的中點(diǎn)，所以且.因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以，從而且，所以四邊形PHCN為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.易知平面ABC的一個(gè)法向量為.假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，令，則，.設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量是，則即令，得，，所以.由題意得，解得，故點(diǎn)P不在線段上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間直角坐標(biāo)系求二面角具體