概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第三章 多維隨機變量及其分布1

3多維隨機變量及其分布學習要點：二維隨機變量及其分布邊緣分布條件分布隨機變量的獨立性兩個隨機變量的函數(shù)的分布3.1二維隨機變量及其分布3.1.1多維隨機變量的定義

設(shè)S為隨機試驗E的樣本空間，其元素為e，X1=X1(e)，X2=X2(e)，…，Xn=Xn(e)是定義在S上的n個隨機變量，它們所構(gòu)成的向量(X1，X2，…，Xn)稱為定義在S上的n維隨機向量或n維隨機變量。例：打靶時，命中點的位置是由一對隨機變量

(兩個坐標)來確定的；飛機的質(zhì)心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標)來確定的等等。

多維隨機變量的特點、引入意義和使用方法與一維隨機變量類似。

當n=2時的n維隨機變量稱為二維隨機變量。由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的變化，所以重點討論二維隨機變量。1、定義和幾何意義

設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對任意給定的實數(shù)x和y，二元函數(shù)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

如果將X和Y看作平面上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)F(x,y)的值就表示(X,Y)落在區(qū)間內(nèi)的概率，而(X,Y)落在矩形區(qū)域的概率為(x,y)(X,Y)xyXYx2(X,Y)xyx1y1y2一維情況3.1.2二維隨機變量的分布函數(shù)2、性質(zhì)（1）單調(diào)性：F(x,y)是關(guān)于x和y的不減函數(shù)。即：

對任意確定的y，若則對任意確定的x，若則0（2）歸一性：對任意確定的y，有對任意確定的x，有另外，

（3）連續(xù)性：F(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)：

（4）矩形不等關(guān)系：對任意(x1,x2)和(y1,y2)，其中x1<x2且y1<y2，下列不等關(guān)系成立：【例1】設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為

【解】（1）由分布函數(shù)的歸一性得（1）確定常數(shù)A、B、C；（2）求P(0<X<2,0<Y<3)。（2）顯然解得1、定義設(shè)二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限對或可列無限對，則稱(X,Y)

為二維離散型隨機變量。2、聯(lián)合分布律設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)可能取的值為(xi,yj)，i,j=1，2，…。記稱為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律，它具有非負性和歸一性，即

聯(lián)合分布律可以列表表示：3.1.3二維離散型隨機變量及其分布律3、聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合分布律的關(guān)系設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律為pij，則它們的聯(lián)合分布函數(shù)為【例2】把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的分布律。【解】(X,Y)的所有可能取值為(0,3),(1,1),(2,1)和(3,3)，而且

0123131/81/83/83/800001、定義對二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，若存在非負函數(shù)f(x,y)，使對任意的x和y都有2、聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）非負性：f(x,y)≥0；則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，非負函數(shù)f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度函數(shù)，或隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)。3.1.4二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)

（2）歸一性：

（3）(X,Y)落入平面上某區(qū)域Ω的概率

：

（4）在f(x,y)的連續(xù)點(x,y)，有：所以(X,Y)落入平面上某小區(qū)域ΔxΔy的概率為【例3】設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為

【解】（1）由概率密度函數(shù)的歸一性得（1）確定常數(shù)k；（2）求P(Y<X)；（3）求P(X<1,Y<2)。即

（2）顯然（3）顯然

與一維情形相對照，介紹了1、二維隨機變