概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第五章 大數(shù)定律與中心極限定理2

客觀背景5.2中心極限定理

在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和）影響所形成的。

例如：炮彈落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，受瞄準(zhǔn)、空氣阻力、炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等著許多隨機(jī)因素綜合影響。每個(gè)隨機(jī)因素的對著彈點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的。那么著彈點(diǎn)服從怎樣分布？

如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對這種綜合影響中所起的作用不大，則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。

這就是獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性：當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？高斯

由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量。即考慮與隨機(jī)變量Xk(k=1,2,…,n)之和有關(guān)的變量討論Yn的極限為何種分布——中心極限定理例：20個(gè)0-1分布之和的分布X1~f(x),X1+X2~g(x)，X1+X2+X3~h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh考慮均勻分布的隨機(jī)變量，求的統(tǒng)計(jì)特性。當(dāng)N=2時(shí)，的可以由下式得到卷積的過程如下圖所示：當(dāng)N=2時(shí)計(jì)算可得把和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行比較，如下圖所示5.2.1定理四（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）的分布函數(shù)Fn(x)，對任意x滿足則前n個(gè)隨機(jī)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化量

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，服從同一分布（independentidenticallydistributed，i.i.d）具有數(shù)學(xué)期望和方差注：

一般情況下，雖然很難求出

的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布。1、定理四表明，當(dāng)n充分大時(shí)，i.i.d隨機(jī)變量之和及其標(biāo)準(zhǔn)化量近似服從正態(tài)分布，即2、獨(dú)立同分布中心極限定理的另一種形式為其中則稱隨機(jī)變量序列{Yn}依分布收斂于Y，或稱分布函數(shù)序列{Fn(y)}弱收斂于F(y)。3、設(shè)隨機(jī)變量序列Y1,Y2,…,Yn,…對應(yīng)的分布函數(shù)序列F1(y),F2(y),…,Fn(y),…，隨機(jī)變量Y對應(yīng)的分布函數(shù)為F(y)。若所以，定理四可以敘述為：i.i.d隨機(jī)變量序列前n項(xiàng)和的標(biāo)準(zhǔn)化序列{Yn}依分布收斂于Y~N(0,1)。均勻分布的隨機(jī)變量的和的統(tǒng)計(jì)特性看不出統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行歸一化會(huì)如何？均勻分布的隨機(jī)變量歸一化之后的統(tǒng)計(jì)特性5.2.2定理五（李雅普諾夫中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，數(shù)學(xué)期望和方差為記，若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x，滿足注：1、定理五表明，當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量之和及其標(biāo)準(zhǔn)化量近似服從正態(tài)分布，即2、無論Xk呈什么分布，只要定理的條件（獨(dú)立、n充分大）得到滿足，就近似服從正態(tài)分布。這就是正態(tài)分布在概率論中占重要地位的原因之一。5.2.3定理六（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）

設(shè)隨機(jī)變量(n=1,2,…)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對任意x，有【證明】由第四章知識，可將分解為n個(gè)相互獨(dú)立，且服從同一兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn之和：其中Xk的分布律為：

由于E[Xk]=p,D(Xk)=p(1?p)(k=1,2,…,

n)，由定理四得注：定理六表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)分布變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p))。即【例1】于是【解】即有【例2】（車間供電問題）某車間有200臺(tái)車床，在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車。設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦。問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?【解】對每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作，工作的概率0.6，共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，依題意X~B(200,0.6)。

設(shè)需要N臺(tái)車床工作，現(xiàn)在的問題是：求滿足P{X≤N}≥0.999的最小N（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，N臺(tái)工作所需電力即N千瓦）。由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理于是這里np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。，查正態(tài)分布函數(shù)表得

也就是說,應(yīng)供應(yīng)142千瓦電就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。，從中解得N≥141.5,即所求N=142。故【例3】【解】（1）以Xk(k=1,2,…,400)表示第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù)，則其分布律為對于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布（1）求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過450的概率；（2）求有1名學(xué)生家長來參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。Xk012pk0.050.80.15易知由定理四知即有于是（2）以Y記有一名家長參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)，則Y~b(400,0.8)。由定理6得5.2.4課堂練習(xí)1、根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命相互獨(dú)立。求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。16只元件的壽命的總和為且E[Xi]=100,D(Xi)=10000。解答1：設(shè)第i只元件的壽命為Xi

,i=1,2,…,16。由題設(shè)知，諸Xi獨(dú)立，依題意，所求為P(Y>1920)，E[Y]=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,P(Y>1920)=1?P(Y1920)

=1?(0.8)=1?0.7881=0.21195.2.4課堂練習(xí)2、在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號碼。設(shè)

（1）至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09~0.11之間的概率至少是0.95?（2）用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率。（1）設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理解答2：欲使，即查表得，從中解得

所以，至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09~0.11之間的概率至少是0.95。（