數(shù)學(xué)建模傳染病模型實(shí)用全套PPT

數(shù)學(xué)(shùxué)建模傳染病模型第一頁(yè)，共8頁(yè)。設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻(shíkè)共有i人得病，t時(shí)刻(shíkè)已感染〔infective〕的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人〔k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度〕，且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型(móxíng)1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著(suízhe)時(shí)間的推移，將越來越偏離實(shí)際情況。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體那么不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則可導(dǎo)出：故可得：

（3.15）

第二頁(yè)，共8頁(yè)。模型(móxíng)2記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)〔susceptible〕分別為i(t)與s(t)，初始(chūshǐ)時(shí)刻的病人數(shù)為i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及〔競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)〕統(tǒng)計(jì)籌算律，其中：解得：（3.17）可得：（3.16）統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.15)更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線為傳染病曲線，并稱最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行高峰。令：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。

模型2仍有缺乏之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病(débìnɡ)，與實(shí)際情況不符。為了使模型更精確，有必要再將人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)第三頁(yè)，共8頁(yè)。17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。18）中的第（1）式改寫成：綜上所述，模型3指出了傳染病的以下(yǐxià)特征：利用泰勒公式展開取前三項(xiàng)，有：17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.17)預(yù)報(bào)結(jié)果比(3.此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著(suízhe)時(shí)間的推移，將越來越偏離實(shí)際情況。susceptiblesusceptible下面對(duì)進(jìn)行討論，請(qǐng)參見右圖通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體那么不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。〔1〕當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病(jíbìng)并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過閥值時(shí)，疾病(jíbìng)才會(huì)流傳起來。susceptibleinfectiverecoveredsusceptiblekl

（3.18）

l稱為傳染病恢復(fù)系數(shù)求解(qiújiě)過程如下：對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（1）、（2）得：解得：記：

則：將人群劃分為三類〔見右圖〕：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者〔recovered〕。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和r(t)，那么(nàme)可建立下面的三房室模型：模型(móxíng)3第四頁(yè)，共8頁(yè)。infectiverecoveredsusceptiblekl

由(1)式可得：從而解得：積分得：（3.19）

不難驗(yàn)證，當(dāng)t→+∞時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。

為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.18）中的第（1）式改寫成：其中通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。下面對(duì)

進(jìn)行討論，請(qǐng)參見右圖如果，則有，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。如果，那么開始時(shí)，i(t)單增。但在i(t)增加的同時(shí)，伴隨地有s(t)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于(děngyú)時(shí)，i(t)開始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。鑒于在本模型中的作用，被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。的引入解釋了為什么此疾病沒有波及到該地區(qū)的所有人。圖3-14

第五頁(yè)，共8頁(yè)。綜上所述，模型3指出了傳染病的以下(yǐxià)特征：〔1〕當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病(jíbìng)并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過閥值時(shí)，疾病(jíbìng)才會(huì)流傳起來?！?〕疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反(xiāngfǎn)，是因?yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ?，否那么將?dǎo)致所有人得病。〔3〕種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。模型檢驗(yàn)：醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來統(tǒng)計(jì)疾病的涉及人數(shù)，從廣義上理解，r(t)為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。及：注意到：可得：（3.20）

第六頁(yè)，共8頁(yè)。通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故一般是小量。