第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法(“系統(tǒng)”相關(guān)文檔)共34張

自動(dòng)控制原理講座——古典控制理論部分主講：黃國宏廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法內(nèi)容提要介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系統(tǒng)性能的措施；介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以及計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。3.4二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4.1二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式

典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖(a)所示,它是由一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

令ω2n=K1K2/τ,1/τ=2ξωn,則可將二階系統(tǒng)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為

式中,ξ稱為阻尼比,ωn稱為無阻尼自振角頻率。二階系統(tǒng)的特征方程為

所以,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為

隨著阻尼比ξ的不同,二階系統(tǒng)特征根(極點(diǎn))也不相同。

要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為σp=20%,tp=1s，試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts和N。所以,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為KA=200時(shí)，代入上式求得：ωn＝31.所以,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為在一般情況下,希望二階系統(tǒng)工作在＜ξ＜的欠阻尼狀態(tài)下。3）臨界阻尼情況(ζ=1)當(dāng)ξ=1時(shí),特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根,即3）臨界阻尼情況(ζ=1)456求無阻尼自振頻率ωn,即無阻尼(ξ=0)1二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式因此，可以采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算過渡過程時(shí)間ts,所得結(jié)果一般略偏大。KA=200時(shí)，代入上式求得：ωn＝31.主講：黃國宏對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得欠阻尼(0＜ξ＜1)這是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,如圖(a)所示。當(dāng)0＜ξ＜1時(shí),兩特征根為

臨界阻尼(ξ=1)

當(dāng)ξ=1時(shí),特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根,即

s1,2=-ωn此時(shí),s1,s2如圖(b)所示。過阻尼(ξ

＞1)當(dāng)ξ

＞1時(shí),兩特征根為這是兩個(gè)不同的實(shí)根,如圖(c)所示。無阻尼(ξ

=0)當(dāng)ξ

=0時(shí),特征方程具有一對(duì)共軛純虛數(shù)根,即此時(shí),s1,s2如圖(d)所示。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)令r(t)=1(t),則有R(s)=1/s，可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換為對(duì)上式求拉氏反變換,可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程為1)欠阻尼情況(0＜ξ

＜1)

式中, 稱為有阻尼自振角頻率。上式分解為拉氏反變換為上式還可以改寫為,(=arccosξ)在欠阻尼情況下,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線。

衰減速度取決于特征根實(shí)部的絕對(duì)值ξωn的大小

振蕩角頻率是特征根虛部的絕對(duì)值,即有阻尼自振角頻率ωd

,

振蕩周期為：

2）無阻尼情況(ξ

=0)當(dāng)ξ=0時(shí),系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為所以,無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正(余)弦振蕩曲線,振蕩角頻率是ωn。3）臨界阻尼情況(ζ=1)當(dāng)ζ=1時(shí),可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得所以,二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線。4）過阻尼情況(ζ＞1)這種情況下,系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的實(shí)根,即可得式中,取上式的拉氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(t≥0)顯然,這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng),其過渡過程曲線如下圖所示。

此時(shí)的二階系統(tǒng)就是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。有關(guān)分析表明,當(dāng)ζ≥2時(shí),兩極點(diǎn)s1和s2與虛軸的距離相差很大,此時(shí)靠近虛軸的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間響應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近,可以用該慣性環(huán)節(jié)來代替原來的二階系統(tǒng)。在欠阻尼的狀態(tài)下,當(dāng)＜ξ＜時(shí),過渡過程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短,而且振蕩也不嚴(yán)重。因此在控制工程中,除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外,通常都希望二階系統(tǒng)工作在＜ξ＜的欠阻尼狀態(tài)。3、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

在許多實(shí)際情況中,評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)的過渡過程的特征量來表示的。在一般情況下,希望二階系統(tǒng)工作在＜ξ＜的欠阻尼狀態(tài)下。a）上升時(shí)間tr根據(jù)定義,上升時(shí)間滿足所以有或b）峰值時(shí)間tp將輸出對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并令其為零,即得整理、變換得根據(jù)三角函數(shù)的周期性,上式成立需滿足:ωdtp=0,π,2π,3π，…由于峰值時(shí)間是過渡過程達(dá)到第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間,因此應(yīng)取即二階系統(tǒng)過渡過程峰值時(shí)間為

c）最大超調(diào)量σp由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可得即d）過渡過程時(shí)間ts欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)位于一對(duì)曲線之內(nèi),這對(duì)曲線稱為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。因此，可以采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算過渡過程時(shí)間ts,所得結(jié)果一般略偏大。解得

若允許誤差帶是Δ,則可以認(rèn)為ts就是包絡(luò)線衰減到Δ區(qū)域所需的時(shí)間,則有若取Δ=5%,并忽略時(shí),則得若取Δ=2%,

并忽略 時(shí),則得

(0＜ζ＜0.9)例設(shè)一個(gè)帶速度反饋的伺服系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為σp=20%,tp=1s，試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts和N。解首先,根據(jù)要求的σp求取相應(yīng)的阻尼比ξ:

解得ξ。即二階系統(tǒng)過渡過程峰值時(shí)間為介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；456求無阻尼自振頻率ωn,即二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式中,ξ稱為阻尼比,ωn稱為無阻尼自振角頻率。d）過渡過程時(shí)間ts介紹高階系統(tǒng)時(shí)域分析方法；所以,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為令r(t)=1(t),則有R(s)=1/s，可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換為要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為σp=20%,tp=1s，試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts和N。在欠阻尼情況下,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線。在許多實(shí)際情況中,評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)的過渡過程的特征量來表示的。545，代入二階欠阻尼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式，可得：d）過渡過程時(shí)間ts其次,由已知條件tp=1s和已求出的ξ=0.當(dāng)0＜ξ＜1時(shí),兩特征根為其次,由已知條件tp=1s和已求出的ξ=0.456求無阻尼自振頻率ωn,即解得ωn。比較上式兩端,得所以K=12.5,KA。

將此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)形式比較,求K和KA值。最后計(jì)算tr、ts和N:一個(gè)二階系統(tǒng)分析的例子已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計(jì)算放大器的增益KA=200時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。若KA增大到1500或減小到13.5時(shí)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1.

KA=200時(shí)，代入上式求得：ωn＝