初中數(shù)學經(jīng)典相似三角形練習題(附參考答案)

經(jīng)典練習題相似三角形(附答案)一.解答題(共30小題).如圖，在^ABCDE//BC,EF//AB,求證：△ADE^AEFC..如圖，梯形ABCD中，AB//CD,點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G.(1)求證：△CDF^ABGF;(2)當點F是BC的中點時，過F作EF//C應(yīng)AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長..如圖，點D,E在BC上，且FD//AB,FE//AC.求證：△ABC^AFDE.DE.2.如圖，梯形ABCD中，AB//CD,點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G.參考答案與試題解析.解答題（共30小題）1.如圖，在^ABCDE//BC,EF//AB,求證：△ADE^AEFC.考點：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知/ AED=ZC,/A=ZFEC,根據(jù)相似三角形的判定定理可知△ ADE^z解答：證明：.「DE//BC,DE//FC,./AED=ZC.又「EF//AB,EF//AD,./A=ZFEC..△ADE^AEFC.點評：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.

(1)求證：△CDF^ABGF;(2)當點F是BC的中點時，過F作EF//C應(yīng)AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長.考點：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。專題：幾何綜合題?？键c：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。專題：幾何綜合題。分析：(1)利用平行線的性質(zhì)可證明△ 分析：(1)利用平行線的性質(zhì)可證明△ CDF^ABGF.(2)根據(jù)點F是BC的中點這一已知條件，可得△解題.解答：(1)證明：二.梯形ABCD,AB//CD,./CDF=ZFGB,/DCF=ZGB3分).△CDF^ABGF分)CDF^^CG,孤只要求出BG的長即可（2）解：由（1）△CDF^ABGF,又F是BC的中點，BF=FC,.△CDF^ABGF,DF=GF,CD=BG,（6分）AB//DC//EfF,為BC中點，?.E為AD中點，E屋△DAG勺中位線，2EF=AG=AB+BG.

BG=2EF-AB=2X46=2,CD=BG=2cm.(8分)自評：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復雜..如圖，點D,E在BC上，且FD//AB,FE//AC.求證：△ABC^AFDE.考點：相似三角形的判定。專題：證明題。FD分析：由FD//AB,FE//AC,可知/ B=ZzFE3=ZFED根據(jù)三角形相似的判定定理可知：△ ABC^AFD解答：證明：.「FD//AB,FE//AC,?./B=ZFDE,/C=ZFED,?.△ABC^AFDE.點評：本題很簡單，考查的是相似三角形的判定定理：(1)如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；(2)如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似..如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點， BF,AEF,試說明：△ABF^AEAD.考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可解.解答：證明：二.矩形ABCD中，AB//CD,/D=90（2分）BAF=/AED4分）BF±AE,./AFB=90°../AFB=/D5分）.△ABF^AEAD分）點評：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準對應(yīng)的角.5.已知：如圖①所示，在^ 和叢BCDE3,AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,且用，A,D在一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點.（1）求證：①BE=CD;AMN腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ 繞,ADE按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖②所示的圖形.請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長 ED交線段BC于點P.求證：△ PBD^AAMN.A圖①圖②A圖①圖②考點:相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?？键c:幾何綜合題。分析:（1）因為/BAC=ZDAE,所以/BAE=ZCAD,MB=AC,AD=AE分析:（1）因為/BAC=ZDAE,所以/BAE=ZCAD,MB=AC,AD=AE,利用SAS可證出△BAE^ACAD知BE、CD是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等，可證△是等腰三AMN角形.（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）（2）利用（(3)先證出△ ABM^AASASL可得出/ CAN=/BAM,所以/BAC=/MAN(等角加等角和相等），又BAC=ZDA既以/MAN=ZDAE=/BAC,所以△AMNAD序口△ABCTB是頂角相等的等腰三角形，所以/PBD=/AMN,所以△PBD^AAMN（兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似）等腰三角形，所以/解答:（1）證明：①.一/解答:（1）證明：①.一/BAC=ZDAE,BAE=ZCAD,???AB=AC,AD=AE,?.△ABE^AACD,BE=CD.②由△ABE^AACD,得/ABE=/ACD,BE=CD,???MkN分別是BE,CD的中點,BM=CN.?.△ABM^AACN.AM=AN,即^AMN^等腰三角形.（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立.（3）證明：在圖②中正確畫出線段 PD,由（1）同理可證^ ABM^AACN,./CAN=ZBAM，/BAC=ZMAN.又?./BAC=ZDAE,?./MAN=ZDAE=ZBAC.?.△AMN,△A^EAAB嘟是頂角相等的等腰三角形.?.△PEOAAMNB為頂角相等的等腰三角形，./PBD=/AMN,/PDB=/ANM,?.△PBD^AAMN.點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似三角形的判定（兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）.如圖，E是？ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC,交AD于點F.在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明.考點：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：開放型。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有:△AEFs^bec；△AEFg/dADCF;△BEC^ADCF.解答：解：相似三角形有△ AEF^ABEC;△AEF^ADCF;43BBEC^ADCF.如：△AEF^ABEC.在？ABCD中，AD//BC,1=/B,/2=。吩)??.△AEF^ABEC分)自評：考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理..如圖，在4X3的正方形方格中，△ 禾ABCDE的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.(1)填空：/ ABC=135°°,BC=_2V2_；(2)判斷△AEBCADECI否相似，并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題；網(wǎng)格型。

分析：(1)觀察可得：BF=FC=2,故/FBC=45°;貝U/ ABC=1BC=\^^=2&;DEC.(2)觀察可得：BC、EC的長為2、丘、叵,可得博修,再根據(jù)其夾角相等；故4 ABCsDEC.CEDE解答：解：(1)/ABC=135BC=2^2；(2)相似；Bcg/+22=Z&,ec=71<L=V2;.AB2r-BC2^2r-.樂-正心而F-亞，.ABBC.-^―= CEDE又/ABC=ZCED=135°,?.△ABC^ADEC.自評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準確率..如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經(jīng)過多少時間，△ AMNR等于矩形ABCD面積的(2)是否存在時刻t,使以A,M,N為頂點的三角形與△ 才ACD若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.明理由.考點：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專題：動點型。分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為X,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△ 的硒MN于矩形ABCD面積的一作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的 t值即可說明存在，反之則不存在.解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△AMN面積等于矩形ABCD面積的一g,（2分）則有：-（6—2x）x=-x3X6,虞2,（2分）解方程，得xi=1,x2=2,（3分）經(jīng)檢驗，可知xi=1,x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，△AMN面積等于矩形ABCD面積的（4分）9（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A,M,N為頂點的三角形與△ 才ACD由矩形ABCD,可得/CDA=ZMAN=90m巾右AM__DC1、. 仁八、因此有麗F或瓶F（5分）點評:解①，得t=W；解②，得t=￥（7分）2 5經(jīng)檢驗，點評:解①，得t=W；解②，得t=￥（7分）2 5經(jīng)檢驗，t=士或t=*都符合題意，19所以動點M,N同時出發(fā)后，經(jīng)過？秒或左秒時，以A,分）M,N為頂點的三角形與△rnCD（8主要考查了相似三角形的判定， 正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運用以及解分式方程. 要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會靈活的運用.注意：一般關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x,根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可.9.如圖，在梯形ABCD中，若AB//DC,AD=BC,對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形.（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明.考點：相似三角形的判定；概率公式。專題：開放型。分析：（1）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可求得；①與③，②與④相似;（2）利用相似三角形的判定定理即可證得.解答：解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：①②，①③，①④，②③，②④，③④（ 2分）其中有兩組（①③，②④）是相似的.P=（4分）P=（4分）證明：（2）選擇①、③證明.在△AO由△CODK???AB//CD,./CDB=ZDBA,/DCA=ZCAB,.△AOB^ACOD分）選擇②、④證明.??四邊形ABCD是等腰梯形，DAB=/CBA,??在4dAb^CB序有AD=BC,/DAB=ZCABAB=AB,.△DAB^ACBA分)./ADO=ZBCO.又/DOA=ZCOB,.△DOA^ACOB分).我評：此題考查概率的求法：如果一個事件有 n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件 A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=-,即相似三角形的證明.還考查了相似三角形的判定.n10.附加題：如圖△ ABCD為AC上一點，CD=2DA,/BAC=45°,/BDC=60°,CEIEB速接AE.(1)寫出圖中所有相等的線段，并加以證明;(2)圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由;(3)求^BE^CABEA勺面積之比.考點：相似三角形的判定；三角形的面積；含 30度角的直角三角形。專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED,則可寫出相等的線段;(2)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似則可判斷△ ADEs^AEC；(3)要求△BECXBEAJ面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作^ 的迦EE邊上的高即可求解.解答：解：(1)AD=DE,AE=CE.CE±BD,/BDC=60°,??在Rt△CED3,/ECD=30°.CD=2ED.??CD=2DA,AD=DE,./DAE=ZDEA=30°=/ECD.AE=CE.2)圖中有三角形相似，△ ADE^AAEC;?./CAE=ZCAE,/ADE=/AEC,?.△ADE^AAEC;(3)作AFLBD的延長線于F,設(shè)AD=DE=x，在Rt△CE*可得CE=V§尤故AE=VSZ./ECD=30;在Rt△AEF,AE=V3x,/AED=ZDAE=30°,???AF=AE?sin/A我加乂［等仁'△碼婀AF研手工C 口「」工| \F點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣.11.如圖，在^ABCAB=AC=a,M為底邊BC上的任意一點，過點M分另1J作AB、AC的平行線交AC于P,交AB于Q.(1)求四邊形AQMP的周長；(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明) ；M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論.考點：相似三角形的判定；菱形的判定。專題：綜合題。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等對應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長；(2)因為/ B=ZC=ZPMC=ZQMB,所以△PMCs△QMBs△ABC;(3)根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形白判定不難求得四邊形 AQMP為菱形.解答：解：(1)AB//MP,QM//AC,，四邊形APMQ是平行四邊形，/B=ZPMC,/C=/QMB.

??AB=AC,./B=ZC,./PMC=ZQMB.BQ=QM,PM=PC.四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a .???PM//AB,.△PCM^AACB,??QM//AC,.△BMM△BCA;(3)當點M中BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，,?點M是BC的中點，AB//MP,QM//AC,QM,PM是三角形ABC的中位線.??AB=AC,QM=PM=—AB=—AC.2 2又由(1)知四邊形APMQ是平行四邊形，??平行四邊形APMQ是菱形.點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識點的綜合運用.ADMs△MCP.12.已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC,M是CD的中點，試說明：△ADMs△MCP.考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：欲證△ADM^AMCP!過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即/此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例即可.D=ZC,此時，更解答:證明：:正方形ABCD,M為CD中點,CM=MD=—AD.2???BP=3PC,PC=^BC=—AD=—CM.4甲2CMAD2?./PCM=ZADM=90°,?.△MCPs△ADM.點評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的方法.13.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10(1)求梯形ABCD的面積S;(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點A運動，過點Q作QE±BC于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為 t秒.問：①當點P在B?A上運動時，是否存在這樣的 t,使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；②在運動過程中，是否存在這樣的 t,使得以P、A、D為頂點的三角形與△ 才如QE若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；③在運動過程中，是否存在這樣的 t,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的 t的值；若不存在，請說明理由.考點：相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。專題：動點型；開放型。分析：(1)求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和 CD的長，在直角三角形中用勾股定理進行求解，得出高后即可求出梯形的面積.(2)①PQF分梯形的周長，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了AD,BC的長，可以用t來表示出AP,BP,CQ,QD的長，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出 t的值.②本題要分三種情況進行討論：一，當P在AB上時，即0vtw8如果兩三角形相似，那么/C=ZADPUC=ZAPWB么在△ADP中根據(jù)/C的正切值，求出t的值.二，當P在AD上時，即8vtw10,由于，A,D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形.三，當P在CD上時，即10vtw12,由于/ADC鈍角，因此△ 是DP屯角三角形因此不可能和直角△CQm以.綜合三種情況即可得出符合條件的 t的值.(3)和(2)相同也要分三種情況進行討論：一，當P在AB上時，即0VtW8,等腰△PDDQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ,可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP,PQ的長，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求 t的值.二，當P在AD上時，即8<t<10,由至A+AD=CD=10,因此DP=DQ=10-t,因此DP,DQ恒相等.三，當P在CD上時，即10vtw12,情況同二.綜合三種情況可得出等腰三角形以 DQ為腰時，t的取值.解答：解：(1)過D作DH//AB交BC于H點，??AD//BH,DH//AB,??四邊形ABHD是平行四邊形.DH=AB=8;BH=AD=2.CH=8-2=6.CD=10,Drf+CH2=CD2.--ZDHC=90°.B=/DHC=90°.??梯形ABCD是直角梯形.-1?Sabcd=~(AD+BC)AB=gx(2+8)X8=40.(2)①..BP=CQ=t,

AP=8T,DQ=10-t,???AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,?.84+2+10-t=t+8+t.t=38???當t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分.②第一種情況：0vtw箔△PAD^AQECADP=/C若^若^PAD^AQEQAPD=/C1.tan/APD=tan1.tan/APD=tan第二種情況：8vtwi0p第二種情況：8vtwi0p、A、D三點不能組成三角形;第三種情況：10vtw12第三種情況：10vtw12△ADP屯角三角形與PADACQE!似.Rt△CQ不相似;③第一種情況：當0WtW③第一種情況：當0WtW肘■.過Q點作QE±BC,QH±AB,垂足為E、???AP=8T,AD=2,pd」AF2PAe2=卜-16t+63.???CE^t,QE=4，5 54BH=QE=ft.QH=BE=8-君,PH=t?-PQ=二丁.：PH=t?-PQ=二丁.：I:I:DQ=DP,10一1+64DQ=10-t.t=t2-l&U68解得t=8秒.n：dq=pq,io-t=J|t2-^t+64,化簡得：3t2-52t+180=0解得：t二空二，t >8（不合題意舍去）3 326-2北3第二種情況： 8<t#.1?P=DQ=10-t.卜當8Wt的時，以DQ為腰的等腰△ DU成立.忖三種情況：10vtw1附.DP=DQ=t-10.???當10vtw1時，以DQ為腰的等腰△ 而成立.26-2-/34綜上所述，t= 一上或8<t40或10vtw1時，以DQ為腰的等腰△ D成Q考點:相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)?？键c:相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。BHEC點評：本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，要注意（ 2）中要根據(jù)P,Q的不同位置，進行分類討論，不要漏解.14.已知矩形ABCD,長BC=12cm,寬AB=8cm,P、Q分別是AB、BC上運動的兩點.若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與△ WDC分析:要使以P、分析:要使以P、B、Q為頂點的三角形與△才BDC則要分兩兩種情況進行分析.分別是△PBQ^A幾何動點問題；分類討論。解答:解：設(shè)經(jīng)解答:解：設(shè)經(jīng)x秒后，△PBQ^ABCD或^QBP^ABDC,從而解得所需的時間.由于/PBQ=ZBCD=90(1)當/1=有:n8-x2z_24(1)當/1=有:n8-x2z_24PBDQDCBC(2)當/1=zM,有:PBCQBCDC，經(jīng)過24秒或2秒，△7PBQ^ABCD.此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用.15.如圖，在^ABCAB=10cm,BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘,△PBQW△AB。目似.考點：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。專題：動點型。分析：設(shè)經(jīng)過t秒后，△ PEBQAABC!似，根據(jù)路程公式可得AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,然后利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可.解答：解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，△ PEBQAABC!似，則有AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,當^PBQ^AABC有BP:AB=BQ:BC,

即(10—2t):10=4t:20,解得t=2.5(s)(6分)當^QBP^A用C有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=(10—2t):20,解得t=1.所以，經(jīng)過2.5s或1s時，△PBQAABC!似(10分).解法二：設(shè)ts后，△PBQAABC!似，則有，AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t分兩種情況：(1)當BP與分兩種情況：(1)當BP與AB對應(yīng)時，有(2)當BP與BC對應(yīng)時，有西幽即1=生,杷BC10 20國二里即生=上區(qū)出比10 20解得解得所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與4t=2.5st=1s相/ABC點評：本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學生平時學過的知識要會融合起來.16.如圖，/ACB=ZADC=90AC=J禮AD=2.問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似.考點：相似三角形的判定。專題：分類討論。那么分析：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,這兩個直角三角形相似.在Rt△AB◎口Rt△ACD,直角邊的對應(yīng)需分情況討論.那么解答：解：:AC=6,AD=2,CD=/出2—初2=正要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：(1)當Rt△ABCsRt△ACD有旦==，AB=U=3;ADACAD2(2)當Rt△ACBsRt△CDa有旭=」,ab=^L=3近.CDACCD故當AB的長為3或36時，這兩個直角三角形相似.自評：本題考查相似三角形的判定.識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比.17.已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N(不含A、B),使得△CDIMT△MAN!似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由.D CA.VB考點：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：探究型；分類討論。分析：兩個三角形都是直角三角形， 還只需滿足一對角對應(yīng)相等或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例即可說明兩個三角形相似.若DM與AM對應(yīng)，則A CDmMAN^等，N與B重合，不合題意；若DM與AN對應(yīng)，則CD:AM=DM:AN,得AN=4a,從而確定N的位置.4解答：證明：分兩種情況討論：①若①若△CDMM△MAN,???邊長為a,M是AD的中點,AN=4a.4

②若△CDMM△NAM,WANAK???邊長為a,M是AD的中點，AN=a,即N點與B重合，不合題意.所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B）,使得△CDMAMAN相似.當AN=2a時，N點的位4置滿足條件.點評：此題考查相似三角形的判定.因不明確對應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論..如圖在△ ABC/C=90BC=8cm,AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動,點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動.若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ MBA考點：相似三角形的判定。專題：綜合題；動點型。分析：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解.解答:解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（8-2x）cm,CP=xcm,（1分）解答:?./C=ZC=90時，兩三角形相似.（3分）(1)當

(1)當⑵當塔時，號或x=y.（5⑵當塔時，號或x=y.（5分）17三；？所以，經(jīng)過不秒或當秒后，兩三角形相似.5 113211（6分）點評:本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法.點評:.如圖所示，梯形ABCD中，AD//BC,/A=90AB=7,AD=2,BC=3,試在腰AB上確定點P的位置，使得以P,A,D為頂點的三角形與以P,B,C為頂點的三角形相似.考點：相似三角形的判定；梯形。專題：分類討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法.解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解.解答：解：（1）若點A,P,D分別與點B,C,P對應(yīng)，即^APD^ABCP,ADAP.—=—BPBCAPAP—7AP+6=0AP=1或AP=6,檢測：當AP=1時，由BC=3,AD=2,BP=6,,APAD=BCBP'又?./A=ZB=90° APD^ABCP.

當AP=6時，由BC=3,AD=2,BP=1,又?./A=ZB=90°,?.△APD^ABCP.(2)若點A,P,D分別與點B,P,C對應(yīng)，即4(2)若點A,P,D分別與點B,P,C對應(yīng)，即4APD^ABPC.ADAPBPBCT-AF314AP-5.A?AD?=—.A?AD?=—BPBC檢驗：當AP=,由21BP=—,AD=25又?./A=ZB=90,又?./A=ZB=90,APD^ABPC.因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為:①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.20.△ABCA△DEF兩個等腰直角三角形，/ A=ZD=90°的頂點6前邊BC的中點上.(1)如圖1,設(shè)DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：△ BEM^ACNE;

(2)如圖2,將^DEF點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是，除(1)考點：相似三角形的判定；等腰直角三角形。即即專題：證明題；開放型。分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為 45。，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得^ ECN^AMEN.解答：證明：（1）.「△ABB等腰直角三角形，MBE=45 BME+ZMEB=135°又D嶺腰直角三角形，DEF=45°NEC+ZMEB=135°BEM=ZNEC，4分）而/MBE=ZECN=45°,?.△BEM^ACN6.分）（2）與（1）同理△BEM^ACNE,BEEK（8分）（2）與（1）同理△BEM^ACNE,BEEK（8分）,_gC_EI「丁~：（10分）ECNf△MEN^有BCIECITEH'又/ECN=ZMEN=45?.△ECN^AMEN.2分）點評:此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì):點評:①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似;②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似;③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.21.如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：幾何動點問題；分類討論。分析：若以點Q、A、P為頂點的三角形與△ 才ABC有四種情況：①4APQ^ABAC,止匕BAQ:BC=AP:AB;APQ^ABCA,止匕BAQ:AB=AP:BC;AQP^ABAC,此BAQ:BA=AP:BC;@△AQP^ABCA,止匕BAQ:BC=AP:BA.可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出 t的值.解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與△ 才道BC所以△ABC^APAQABC^AQAP,①當△ABC^APAQAB_ECAP-AQ,

2t10-t解得：t=6;②當△ABC^AQAPCBBA，APAQ2t10-t解得：t=③當△AQP^ABAC10-12t點評:151。'所以t=W；2④當△AQP^ABCA翳即LO-12t10所以t=30（舍去）.點評:151。'所以t=W；2④當△AQP^ABCA翳即LO-12t10所以t=30（舍去）.15故當t=6或t=也時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△2此題主要考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)；當相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)線段不明確時，應(yīng)考慮到所有可能的情況，分類討論，以免漏解.22.如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米?/AMC=ZOMP,?.△MACs△MOP.選j金，MOOP一MA1.6區(qū)IJ — ,解得，MA=5米；同理，由4 NBD^ANOP,可射B=1.5米，，小明的身影變短了5T.5=3.5米.艮AV點評：解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形， 然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程， 建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答問題.23.陽光明媚的一天，數(shù)學興趣小組的同學們?nèi)y量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達，頂部不易到達)他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡.請你在他們提供的測量工具中選出所需工具,設(shè)計一種測量方案.(1)所需的測量工具是：;(2)請在下圖中畫出測量示意圖；(3)設(shè)樹高AB的長度為x,請用所測數(shù)據(jù)(用小寫字母表示)求出x.

相似三角形的應(yīng)用。考點:方案型；開放型。分析:解答:解：（1）皮尺，標桿;考點:方案型；開放型。分析:解答:解：（1）皮尺，標桿;（2）測量示意圖如圖所示;（3）如圖，測得標桿DE=a,樹和標桿的影長分別為 AC=b,EF=c,DEF^ABAC,..典旦,.（7分）EC.（7分）EC點評:本題運用相似三角形的知識測量高度及考查學生的實踐操作能力，應(yīng)用所學知識解決問題的能力.點評:本題答案有多種，測量方案也有多種，如（ 1）皮尺、標桿、平面鏡；（2）皮尺、三角尺、標桿.24.問題背景在某次活動課中， 甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量.面是他們通過測量得到的一些信息:

甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.乙組:如圖2,測得學校旗桿的影長為 900cm.甲組：如圖1,測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.乙組:如圖2,測得學校旗桿的影長為 900cm.丙組:如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm,影長為156cm.任務(wù)要求:（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；（2）如圖3,設(shè)太陽光線NH與。0相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑. （友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式 1562+2082=2602）考點：相似三角形的應(yīng)用。專題：閱讀型；轉(zhuǎn)化思想。分析：此題屬于實際應(yīng)用問題，解題時首先要理解題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題進行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答.解答：解：（1）由題意可知：/BAC=/EDF=90°,/BCA=/EFD.?.△ABC^ADEF.ABAC0n8060…八、.：—=—,即- ,（2分）DEDFDE瓠「2）DE=1200cm）.所以，學校旗桿的高度是12m.（3分）

（2）解法一：與①類似得： gp22；J^L,GNGHGN語GN=208.（4分）在Rt△NG毋，根據(jù)勾月^定理得： NH2=1562+2082=2602NH=260.（5分）設(shè)。0的半徑為rcm，連接OM,???NH切。0于M,，OM±NH.（6分）則/OMN=ZHGN=90°,又?./ONM=ZHNG,?.△OMNM△HGN,OK叫7八、?謝/又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8,.?工qL56^60|解得：r=12.，景燈燈罩的半徑是12cm.（8分）與①類似得:ABAC

GN^GH與①類似得:ABAC

GN^GH叫6。G1T156GN=208.（4分）設(shè)。0的半徑為rcm,連接OM???NH切。0

OM±NH.（5分）則/OMN=ZHGN=90又?./ONM=ZHNG,?.△OMNM△HGN.，HGGN（6分）即工（6分）4MN=—r,