高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)習(xí)題 課時跟蹤檢測 （三十九）　空間幾何體的表面積與體積 (含解析)

課時跟蹤檢測(三十九)空間幾何體的表面積與體積一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π解析：選B設(shè)球的半徑為R，因為表面積是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2．所以體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)．2．(2016·長春市質(zhì)量檢測(二))幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(32,3) B．16－eq\f(2π,3)C．eq\f(40,3) D．16－eq\f(8π,3)解析：選C該幾何體可視為長方體挖去一個四棱錐所得，所以其體積為2×2×4－eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(40,3)．故選C．3．(2016·全國乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()A．17π B．18πC．20π D．28π解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2．因此它的表面積為eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π．故選A．4．(2016·北京高考)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：由題意知該四棱柱為直四棱柱，其高為1，其底面為上底長為1，下底長為2，高為1的等腰梯形，所以該四棱柱的體積為V＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2)．答案：eq\f(3,2)5．(2015·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3．解析：由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面半徑和高均為1，圓柱的底面半徑為1且其高為2，故所求幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)π×12×1×2＋π×12×2＝eq\f(8,3)π．答案：eq\f(8,3)π二保高考，全練題型做到高考達標1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3解析：選A設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r．由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．2．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為()A．6 B．8C．12 D．24解析：選C由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′．由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×22×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12．故選C．3．(2015·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(1,3)＋2π B．eq\f(13π,6)C．eq\f(7π,3) D．eq\f(5π,2)解析：選B由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾何體，其體積為π×12×2＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(13,6)π．4．(2017·蘭州市實戰(zhàn)考試)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\f(\r(3),2)C．3π D．3解析：選A由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為eq\f(\r(3),2)，故體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π，故選A．5．(2016·山西省高三考前質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為3eq\r(7)，則側(cè)視圖中線段的長度x的值是()A．eq\r(7) B．2eq\r(7)C．4 D．5解析：選C分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P-ABCD，故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\f(3,2)＋3,2)×4×CP＝3eq\r(7)，∴CP＝eq\r(7)，∴x＝eq\r(32＋\r(7)2)＝4，故選C．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為V1，直徑為4的球的體積為V2，則V1∶V2＝________．解析：由三視圖知，該幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個底面相同的圓錐，因此V1＝8π－eq\f(8π,3)＝eq\f(16π,3)，V2＝eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，V1∶V2＝1∶2．答案：1∶27．(2016·合肥市第二次質(zhì)量檢測)已知球O的內(nèi)接圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則球O的表面積為________．解析：由題意可得，球心在軸截面正方形的中心，則外接球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，該球的表面積為4πR2＝8π．答案：8π8．(2016·四川高考)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(3)，設(shè)O為BD的中點，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面BCD．又OC＝eq\r(CD2－OD2)＝1，∴V三棱錐A-BCD＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq\f(\r(3),3)．答案：eq\f(\r(3),3)9．(2017·武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2eq\r(2)，則該球的表面積為________．解析：如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因為底面邊長為2eq\r(2)，所以AC＝4．在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq\f(5,2)，所以球的表面積S＝4πR2＝25π．答案：25π10．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2017·廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)解析：選C由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4．易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為eq\f(1,2)，故選C．2．(2017·唐山統(tǒng)考)三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為eq\r(3)的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A．eq\f(4π,3) B．4πC．8π D．20π解析：選C由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因為△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(2)，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π，故選C．3．如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1(1)該幾何體的體積．(2)截面ABC的面積．解：(1)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2則該幾何體的體積V＝VA1B1C1-A2B2C＋VC-ABB＝eq\f(1,2)×2×2×2＋e