微分方程(組)模型(齊)課件

微分方程（組）方法法建模

一、微分方程模型二、微分方程的數(shù)學(xué)形式三、微分方程（組）的MATLAB解法四、減肥的數(shù)學(xué)模型五、人口增長數(shù)學(xué)模型六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型七、硫磺島戰(zhàn)役案例微分方程（組）方法法建模

一、微分方程模型1一.微分方程模型原理：實(shí)際問題中,有許多表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如“速率”、“增長”（生物學(xué)以及人口問題）、“衰變”（放射性問題）、“邊際的”（經(jīng)濟(jì)學(xué)中）等，這些詞就是信號，這時就要注意是哪些研究對象在變化，不少問題符合模式：變化率=輸入率-輸出率，對這些規(guī)律可以考慮建立微分方程模型。方法：規(guī)律分析法：根據(jù)相關(guān)學(xué)科的定理或定律、規(guī)律（這些涉及到某些函數(shù)變化率）建立微分方程模型，如曲線的切線性質(zhì).微元分析法:應(yīng)用一些已知規(guī)律和定律尋求微元之間的關(guān)系式.近似模擬法：在社會科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不清楚，常常用近似模擬的方法建立微分方程模型.一.微分方程模型原理：2二.微分方程的數(shù)學(xué)形式定義：一般的凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程.形式：常用導(dǎo)數(shù)關(guān)系：

二.微分方程的數(shù)學(xué)形式定義：一般的凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的3一階常微分方程的初等解法變量分離方程(1)若g(y)≠0,則將方程中變量分離出來，然后兩邊積分

①

C為任意常數(shù).(2)

若存在y=y0,使g(y0)=0,則y=y0也是方程的解,但不在①內(nèi).

一階線性微分方程若Q(x)≡0,則稱為一階線性齊次方程，一階線性微分方程通解為

②

Bernoulli(伯努利)方程n≠0,1的常數(shù)該方程化為一階線性微分方程求解.(1)顯然y=0是方程的解，當(dāng)y≠0時，令z=y1-n,有從而可得

③(2)方程③是一階線性微分方程，通解為②當(dāng)n>0時，有特解y=0.一階常微分方程的初等解法4三、微分方程（組）的MATLAB解法求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)符號說明：在表達(dá)微分方程時，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求2階、3階等微分。任何D后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省。例如，微分方程應(yīng)表達(dá)為:D2y=0.例1求的通解.解輸入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')執(zhí)行結(jié)果：ans=tan(t+C1)

三、微分方程（組）的MATLAB解法求微分方程（組）的解析解5

例2解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')執(zhí)行結(jié)果：

y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)例2求微分方程的特解.

例3求微分方程組的通解例3解輸入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；

執(zhí)行結(jié)果：

x=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)y=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1z=C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1

例2解輸入命令:y=dsolve('D6微分方程的數(shù)值解在MATLAB中命令如下：[t,x]=solver(‘f’,ts,x0,options)（當(dāng)求不出微分方程的解析解時，可以求其數(shù)值解）。

符號說明：t為自變量；x為函數(shù)值；solver為求解函數(shù)，一共有5個，分別為ode45、ode23、ode113、ode15s和ode23s；f為待解方程寫成的m-文件名；ts=[t0,t1]，t0、t1為自變量的初值和終值；x0為函數(shù)的初值；options為選項(xiàng)，用于設(shè)定誤差限（缺省時設(shè)定相對誤差10-3，絕對誤差10-6），命令為：options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)，其中rt,at分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差。注意兩點(diǎn)：（1）在解n個未知函數(shù)的方程組時，n0和x均為n維向量，M-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成。（2）使用MATLAB軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組。微分方程的數(shù)值解7用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2或3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4或5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solve8解:令y1=x，y2=x’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);

plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖所示：即得x與t的關(guān)系.解:令y1=x，y2=x’1、建立m-文件vdp10009解

1、建立m-文件rigid.m如下：

function

dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：

[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),’b-’,T,Y(:,2),’g*’,T,Y(:,3),’r+’)3、結(jié)果如圖:y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.解1、建立m-文件rigid.m如下：2、取t0=0，t10四、減肥的數(shù)學(xué)模型0、問題描述

隨著社會的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關(guān)注的一個重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們越來越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一定要正確對待的問題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個正確減肥的問題。

四、減肥的數(shù)學(xué)模型111.問題分析在我們?nèi)粘Ｉ钪校秩嗽絹碓蕉?。肥胖已成為影響人類健康的頭號殺手，減肥已經(jīng)提上日程，組成了人們生活中的一部分。減多少，怎樣減，是我們這次解決的問題。要求：根據(jù)實(shí)際問題，建立一個合理的數(shù)學(xué)模型來科學(xué)的減肥。微分方程(組)模型(齊)課件122.問題分析減肥最主要的是減去人體內(nèi)冗余的能量，能量最主要是由糖類、蛋白質(zhì)和脂肪轉(zhuǎn)化而來的。運(yùn)動減肥的原理是利用運(yùn)動需要消耗大量的能量來減掉人體內(nèi)多余的能量。如果我們每天吸收的能量超過消耗的能量，則我們的體重會增加，達(dá)不到減肥的目的。如果我們每天吸收的能量等于消耗的能量，我們的體重基本就不會變化。如果我們每天吸收的能量小于消耗的能量，我們的體重就會減少，也即求得問題的解決。為了消耗體內(nèi)多余的脂肪，就得每天進(jìn)行足夠的體育鍛煉。下面是一個在相當(dāng)簡化的層次下用微分方程建立的數(shù)學(xué)模型

2.問題分析133.模型假設(shè)1.設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是a(J)

。其中b(J)

是用于新陳代謝（即自動消耗）的熱量，而從事工作、生活每天每千克體重必須消耗α(J)的熱量，從事體育鍛煉每千克體重消耗β(J)的熱量.2.某人以脂肪形式儲存的熱量是百分之百有效的，即熱量和脂肪之間可以自由的無損耗的轉(zhuǎn)換.而1kg的脂肪含熱量42000J.

3.設(shè)體重w是時間t的連續(xù)函數(shù)，即w＝w(t)，忽略個體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對減肥的影響.3.模型假設(shè)144.符號說明a---某人每天在食物中攝取的熱量b---某人每天用于新陳代謝（及自動消耗）的熱量α---某人每天從事工作、生活每千克體重必需消耗的熱量β---某人每天從事體育鍛煉每千克體重消耗的熱量w---體重(單位：千克)w0---體重的初始值t---時間（單位：天）5.模型建立每天：體重的變化=輸入-輸出輸入：指扣除新陳代謝之外的凈吸收熱量輸出：指進(jìn)行工作、生活、體育鍛煉的總消耗熱量于是每天凈吸收量=(a-b)/42000(kg)

每天總消耗量=(α+β)w/42000(kg)4.符號說明15所以在t到t+?t時間內(nèi)體重的變化為由此體重變化的微分方程模型：6.模型求解應(yīng)用分離變量法或MATLAB軟件解得所以在t到t+?t時間內(nèi)體重的變化為167.模型分析與檢驗(yàn)由方程（1），根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可對減肥分析如下：

1.若，則凈吸收量大于總消耗量，，則體重增加.

2.若，則凈吸收量小于總消耗量，，則體重減小.3.若，則凈吸收量小于總消耗量，，則體重不變.4.當(dāng)時，.7.模型分析與檢驗(yàn)178.模型推廣

從我們建立的模型可以表明：只有適當(dāng)?shù)目刂芶(進(jìn)食)、b(新陳代謝)、α

(工作、生活)，β

(體育鍛煉)，要使體重保持正常值是可能的，而且從數(shù)學(xué)上看衰減的很快，一般在有限的時間內(nèi)（例如3---4個月）體重近似值等于，因此要減肥就要減少a(進(jìn)食)、增加b(新陳代謝)、α

(工作、生活)，β

(體育鍛煉)。市場上某些減肥藥可能在b(新陳代謝)上做文章，從而具有某種速效，但人的新陳代謝不能違反人的生理規(guī)律，所以某些強(qiáng)制性的大幅度改變?nèi)说男玛惔x的藥物會給人體造成不良后果，正確減肥策略是養(yǎng)成良好的飲食、工作、生活和鍛煉的習(xí)慣，即適當(dāng)控制a和α+β。當(dāng)然，對于不少肥胖者和運(yùn)動員來說，研究不新陳代謝的藥物是有必要的。8.模型推廣18

9.模型評價本模型通過對減肥的分析，從某一方面解決了減肥的問題。其優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)用生理學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識得出了科學(xué)減肥的公式。其不足之處：我們考慮了太多的常量，和實(shí)際的情況還有很大的距離，另外，我們建立的模型有點(diǎn)簡單，只是對減肥模型的一個粗略框架。9.模型評價19五、人口增長數(shù)學(xué)模型問題描述目前，人類生存面臨五大問題：人口問題、工業(yè)化的資金問題、糧食問題、資源問題和環(huán)境污染問題。其中人口問題為首要問題，主要是人口增長過快，尤其是20世紀(jì)70年代到80年代，增加10億人口僅僅用了12年。有人預(yù)計到21世紀(jì)中葉，人類將超過100億。地球上可供人類利用的資源是十分有限的，世界人口的迅速膨脹，尤其是發(fā)展中國家過高的人口增長率成為十分嚴(yán)峻的問題。面臨這樣的現(xiàn)實(shí)問題，人類必須進(jìn)行自我控制，即采取必要的措施抑制過快的人口增長率。而影響人口增長的因素有哪些？其中人口的基數(shù)、出生率和死亡率的高低、人口男女比例大小、人口年齡組成情況、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低、營養(yǎng)條件、醫(yī)療水平、人口素質(zhì)和環(huán)境污染等諸因素都影響人口增長。另外，各民族的風(fēng)俗習(xí)慣、傳統(tǒng)觀念、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭和人口遷移等也與人口增長密切相關(guān)。試建立一數(shù)學(xué)模型，對某一國或世界人口做出增長預(yù)測和控制，為正確的人口政策提供科學(xué)的依據(jù)。五、人口增長數(shù)學(xué)模型問題描述20Malthus（馬爾薩斯）模型模型假設(shè)(1)人口增長與人口基數(shù)有關(guān)；(2)人口增長與人口的增長率有關(guān)；(3)其余因素暫不考慮.符號說明N(t)表示t時刻人口總數(shù)；r(t,N(t))表示t時刻人口增長率，它與時間t和t時刻的人口總數(shù)N(t)有關(guān)，在Malthus模型中設(shè)為常數(shù)r.Malthus（馬爾薩斯）模型21模型建立則在t到t+?t這段時間內(nèi)人口總數(shù)增長為

N(t+?t)-N(t)=r[t,N(t)]N(t)?t兩端同除以?t，并令?t→0，則有(1)

令(1)式中r[t,N(t)]=r(常數(shù))得出，即(2)模型求解對式(2)進(jìn)行求解，其解為(3)

式(3)是一個指數(shù)方程，稱為Malthus人口模型，即人口以er為公比，按幾何級數(shù)增加。r>0時，式(3)表示人口按指數(shù)規(guī)律無限增長，故又稱為指數(shù)增長模型。模型建立22模型分析根據(jù)估計1961年全世界人口總數(shù)為3.06×109，而在此之前的10年人口按每年2%的速率增長。因此t0=1961,N0=3.06×109,r=0.02于是N(t)=3.06×109e0.02(t-1960)

（4）

公式（4）非常準(zhǔn)確的地反映了1700-1994年間世界估計人口總數(shù)。因此在這期間地球上的人口大約每隔35年增長一倍，而上述方程斷定每隔34.6年增加一倍。證明：假設(shè)在T=t-t0時間段內(nèi)地球上的人口增加一倍，即當(dāng)t=t0時，N0=3.06×109e0.02(t-1960)=3.06×109.當(dāng)T=t-t0時，2

N0=3.06×109e0.02T.兩式相除，得e0.02T=2兩端取自然對數(shù)，得0.02T=ln2，即T=50ln2≈35(年)。模型分析23模型檢驗(yàn)下面再檢驗(yàn)Malthus人口模型是否符合未來的實(shí)際情況。由式（4）可以計算出到2510年世界人口總數(shù)將是2×1014人（如果全世界所有陸地、海洋面積均算在內(nèi)的話，每人平均僅有0.864m2）。到2635年為1.8×1014人（每人平均僅有0.093m2）.而到到2670年為3.6×1014人（每人平均僅有0.046m2）.模型評價顯然，這些數(shù)字充分說明Malthus人口模型用于長期預(yù)測世界人口總數(shù)是不正確的。究其原因會發(fā)現(xiàn)，只要人口總數(shù)不太大時，人口總數(shù)增長的線性數(shù)學(xué)模型(Malthus

模型)是正確的，但當(dāng)人口總數(shù)非常大時，地球上各種資源、壞境條件等因素對人口增長的限制作用將越來越顯著。若當(dāng)人口總數(shù)較小時，人口增長率可以看做常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，這個增長率要隨人口增加而減小。模型檢驗(yàn)24Logistic(邏輯斯蒂)模型模型假設(shè)(1)人口增長與人口基數(shù)有關(guān)；(2)人口的增長率隨著人口增加而減??；(3)其余因素暫不考慮.符號說明r表示人口的增長率;K表示生命系數(shù)；N(t)表示t時刻人口總數(shù)；-KN2(t)

表示人口的增長率隨著人口增加而減小的幅度，敏感系數(shù)K體現(xiàn)了環(huán)境抑制作用，但K<<r；Nm表示環(huán)境容量.Logistic(邏輯斯蒂)模型25模型建立在微分方程式(2)的右端加上一項(xiàng)-KN2，表示人口增長率隨人口的增加而減小。此時式(2)變?yōu)?5)

式(5)稱為Logistic

模型.模型求解由于該模型考慮了自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用也越來越大，所以該模型又稱為阻滯增長模型。它是一種伯努利(Bernoulli)方程，其解為

(6)模型建立26模型分析對于式(6)進(jìn)行分析研究，可以得出人口總數(shù)具有如下規(guī)律：(1)當(dāng)t→∞是，N(t)→r/K。即結(jié)論是不管其初值如何，人口總數(shù)最終將趨向于一極限值r/K。(2)當(dāng)0<N(t)<r/K時，所以N(t)是時間的單調(diào)遞增函數(shù)。(3)當(dāng)Nm=r/K，式(6)可以化簡為圖（1）表示人口隨時間的變化規(guī)律；圖（2）表示人口增長率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.

otN(t)NmNm/2N0oNmNm/2dN(t)/dtN(t)(1)(2)模型分析otN(t)NmNm/2N0oNmNm/2dN(t)27模型檢驗(yàn)據(jù)生物學(xué)家估計，r的自然值為0.029，又在1961年人口總數(shù)為3.06×109時，人口增長率為2%由即0.02=0.029-K(3.6×109)，得K=2.941×10-12.按照Logistic模型，世界人口總數(shù)的極限值為模型評價1961年世界人口總數(shù)為30億左右，尚未達(dá)到地球所能養(yǎng)活人口極限100億的一半。因此世界人口總數(shù)將處于加速增長時期。這與1961年以后的一段時期世界人口增長很快確實(shí)是吻合的。當(dāng)然因?yàn)槲覀兡Ｐ秃雎砸恍┮蛩?，諸如戰(zhàn)爭、醫(yī)療技術(shù)進(jìn)步等，對于有著復(fù)雜生命史和個體生長期較長的生物種群，可能有多種響應(yīng)來對種群的增長作較大的改動。模型檢驗(yàn)28模型推廣

放射性元素的衰變規(guī)律（檢驗(yàn)名畫的真?zhèn)?，考古年代的判斷）?jīng)濟(jì)領(lǐng)域（通貨膨脹，利率，新產(chǎn)品的銷售，廣告宣傳等）動植物生長規(guī)律，濃度的擴(kuò)散（人體內(nèi)藥物的吸收，傳染病的傳播與流行等）。說明：以上兩種模型的主要建模思想是圍繞人口的基數(shù)和增長率而展開的，實(shí)際上，人口的預(yù)測和控制是一個非常復(fù)雜的問題，僅僅考慮增長率是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。例如，增長率與人口的出生率和死亡率有關(guān)，而出生率和死亡率又與人口的年齡密切有關(guān)。如果把各種因素都考慮在內(nèi)，如考慮人口年齡分布，則所建的模型將會復(fù)雜和繁瑣。同學(xué)們仔細(xì)閱讀299頁10.1節(jié)人口增長，理解馬爾薩斯模型和邏輯斯蒂模型。說明：29六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型問題描述

第一次世界大戰(zhàn)期間，戰(zhàn)爭給人們帶來了許多災(zāi)難。一場戰(zhàn)爭的結(jié)局怎樣，是人們關(guān)心的問題，同樣也引起了數(shù)學(xué)家們的注意，能用數(shù)量關(guān)系來預(yù)測戰(zhàn)爭的勝負(fù)嗎？F.W.Lanchester首先提出了一些預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，后來人們對這些模型作了改進(jìn)和進(jìn)一步的解釋，用以分析歷史上一些著名的戰(zhàn)爭，如二次世界大戰(zhàn)中的美日硫黃島之戰(zhàn)和1975年結(jié)束的越南戰(zhàn)爭。Lanchester作戰(zhàn)模型雖然比較簡單，對局部戰(zhàn)爭還是有參考價值，為研究社會科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問題提供了借鑒的示例。六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型問題描述30問題提出

兩軍對壘，甲軍有m個士兵，乙軍有n個士兵,試計算戰(zhàn)斗過程中雙方的傷亡情況，并預(yù)測戰(zhàn)斗的結(jié)局。問題分析

(1)影響戰(zhàn)爭的因素：兵員的多少，武器的配備，指揮員的藝術(shù)，地理位置的優(yōu)劣，士氣的高低，兵員素質(zhì)的高低，后勤供應(yīng)充分與否等。(2)抓主要矛盾：兵員的多少，武器的配備，指揮員的藝術(shù)。若武器配備與指揮員水平相當(dāng)，則重中之重便是兵員多少的問題。問題提出31模型假設(shè)

(1)甲乙雙方的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的人數(shù)。設(shè)時刻甲乙雙方的人數(shù)分別為；

(2)甲乙雙方人員的變化主要是戰(zhàn)斗減員、非戰(zhàn)斗減員和增援部隊(duì)。雙方戰(zhàn)斗減員率分別為非戰(zhàn)斗減員率只與本方兵力成正比，比例系數(shù)為(3)甲乙雙方的增援率是給定的函數(shù)，分別為

(4)假設(shè)模型假設(shè)32一般戰(zhàn)爭模型：下面針對不同的戰(zhàn)爭模型討論戰(zhàn)斗減員率的具體表示形式，并分析影響戰(zhàn)爭結(jié)局的因素。(i)正規(guī)戰(zhàn)爭模型：

甲方的戰(zhàn)斗減員率與乙方的士兵數(shù)成正比，即，表示乙方每個士兵對甲方士兵的殺傷力，稱為乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。進(jìn)一步可分解為，是乙方的射擊率（單位時間內(nèi)乙方每個士兵的射擊次數(shù)），是乙方每次射擊的命中率。一般戰(zhàn)爭模型：下面針對不同的戰(zhàn)爭模型討論戰(zhàn)斗減33正規(guī)部隊(duì)與正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)的模型，如(1)。在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時忽略非戰(zhàn)斗減員和雙方的增援，(1)簡化為(2)。為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系。乙方勝0平方率模型正規(guī)部隊(duì)與正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)的模型，如(1)。在分析戰(zhàn)爭34(ii)游擊戰(zhàn)爭模型：

甲方的戰(zhàn)斗減員率不僅與乙方的士兵數(shù)成正比，而且與甲方士兵數(shù)成正比。即，乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)

為，是乙方的射擊率，命中率等于乙方一次射擊的有效面積與甲方活動面積之比，即。雙方都用游擊戰(zhàn)。忽略非戰(zhàn)斗減員和沒有增援(ii)游擊戰(zhàn)爭模型：忽略非戰(zhàn)斗減員和沒有增援350(iii)混合戰(zhàn)爭模型：

假設(shè)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)，根據(jù)正規(guī)戰(zhàn)爭模型和游擊戰(zhàn)模型的分析和假設(shè)，忽略非戰(zhàn)斗減員和沒有增援0(iii)混合戰(zhàn)爭模型：忽略非戰(zhàn)斗減員和沒有增援360驗(yàn)證：設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)乙方必須10倍于甲方的兵力0驗(yàn)證：設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.37七、硫磺島戰(zhàn)役案例問題描述

硫磺島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地。美軍在1945年2月19日開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個月，雙方傷亡慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人。戰(zhàn)爭進(jìn)行到28天時美軍宣布占領(lǐng)該島，實(shí)際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況。日軍沒有后援，戰(zhàn)地記錄也全部遺失。根據(jù)描述建立一數(shù)學(xué)模型，對本次戰(zhàn)役中美軍人數(shù)做一估計。七、硫磺島戰(zhàn)役案例問題描述38模型假設(shè)(1)忽略非戰(zhàn)斗減員；(2)美軍有增援，日軍沒有增援.符號說明(1)A(t)和J(t)表示美軍和日軍第t天的人數(shù)；(2)b(b>0)和a(a>0)表示美軍和日軍戰(zhàn)斗有效系數(shù)；(3)u(t)和v(t)表示美軍和日軍第t天的增援人數(shù)，由題知v(t)=0.模型建立由假設(shè)及初始條件有(1)美軍戰(zhàn)地記錄給出增援率u(t)為

(2)模型假設(shè)39模型求解

可由每天傷亡記錄得到實(shí)際兵力A(t)，t=1,2…,36。(見圖1中虛線)下面利用這些實(shí)際數(shù)據(jù)代入式(1)，算出A(t)的理論值，并與實(shí)際值比較。對方程式(3)用求和代替積分可得

(3)

(4)

為估計b，在式(4)中，t=36，由A(t)的實(shí)際數(shù)據(jù)得.

由J(36)=0，J(0)=21500估計出=0.0106。再把這個值代入式(4)即可算出J(t)，t=1,2,3,…,36。然后從式(3)估計a，令t=36，得(5)

模型求解40

其中分子是美軍的總傷亡人數(shù)，為20265人，分母可由(4)式算出的J(t)得到，為372500人，于是從式(5)有。把這個值代入式(3)得

(6)模型檢驗(yàn)由式(6)就能夠算出美軍人數(shù)A(t)的理論圖1，圖1中用實(shí)線畫出。與虛線表示的實(shí)際值相比，可以看出兩者吻合的情況。模型評價J.H.Engel用第二次世界大戰(zhàn)末期美日硫磺島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對正規(guī)戰(zhàn)爭模型進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好，說明Lanchester模型具有一定的合理性。

理論值實(shí)際值圖1美軍兵力實(shí)際數(shù)據(jù)與理論結(jié)果的比較t

481216202428323670000A(t)6600050000540005800062000其中分子是美軍的總傷亡人數(shù)，為2026541說明：硫磺島戰(zhàn)役案例的數(shù)學(xué)模型依據(jù)Lanchester(蘭徹斯特)戰(zhàn)斗模型，Lanchester戰(zhàn)斗模型分為正規(guī)戰(zhàn)爭模型、游擊戰(zhàn)爭模型和混合戰(zhàn)爭模型，都是微分方程組模型。同學(xué)們仔細(xì)閱讀350頁11.4節(jié)Lanchester戰(zhàn)斗模型。也可在其它建模書籍和網(wǎng)上查找一些有關(guān)用微分方程(組)方法建立模型的例子。說明：42作業(yè):(word格式,通過電郵提交)練習(xí)題：P306習(xí)題6，題8；第三次建模作業(yè):1、設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0

，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？2、參照P305表10-2中1790—1980年美國人口的觀察值，其中初始時刻1790年記為t=0，N(t)表示觀察值，(1)試用指數(shù)增長模型（即Malthus模型），按三段時間(1800--1850年，1860—1900年，1910—1970年)分別確定其增長率r.(2)利用阻滯增長模型(即Logistic模型)，重新確定固有的增長率r和最大容量Nm作圖，并分析計算結(jié)果誤差，再利用該模型預(yù)測1990年人口數(shù)。作業(yè):(word格式,通過電郵提交)43微分方程（組）方法法建模

一、微分方程模型二、微分方程的數(shù)學(xué)形式三、微分方程（組）的MATLAB解法四、減肥的數(shù)學(xué)模型五、人口增長數(shù)學(xué)模型六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型七、硫磺島戰(zhàn)役案例微分方程（組）方法法建模

一、微分方程模型44一.微分方程模型原理：實(shí)際問題中,有許多表示“導(dǎo)數(shù)”的常用詞，如“速率”、“增長”（生物學(xué)以及人口問題）、“衰變”（放射性問題）、“邊際的”（經(jīng)濟(jì)學(xué)中）等，這些詞就是信號，這時就要注意是哪些研究對象在變化，不少問題符合模式：變化率=輸入率-輸出率，對這些規(guī)律可以考慮建立微分方程模型。方法：規(guī)律分析法：根據(jù)相關(guān)學(xué)科的定理或定律、規(guī)律（這些涉及到某些函數(shù)變化率）建立微分方程模型，如曲線的切線性質(zhì).微元分析法:應(yīng)用一些已知規(guī)律和定律尋求微元之間的關(guān)系式.近似模擬法：在社會科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不清楚，常常用近似模擬的方法建立微分方程模型.一.微分方程模型原理：45二.微分方程的數(shù)學(xué)形式定義：一般的凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程.形式：常用導(dǎo)數(shù)關(guān)系：

二.微分方程的數(shù)學(xué)形式定義：一般的凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的46一階常微分方程的初等解法變量分離方程(1)若g(y)≠0,則將方程中變量分離出來，然后兩邊積分

①

C為任意常數(shù).(2)

若存在y=y0,使g(y0)=0,則y=y0也是方程的解,但不在①內(nèi).

一階線性微分方程若Q(x)≡0,則稱為一階線性齊次方程，一階線性微分方程通解為

②

Bernoulli(伯努利)方程n≠0,1的常數(shù)該方程化為一階線性微分方程求解.(1)顯然y=0是方程的解，當(dāng)y≠0時，令z=y1-n,有從而可得

③(2)方程③是一階線性微分方程，通解為②當(dāng)n>0時，有特解y=0.一階常微分方程的初等解法47三、微分方程（組）的MATLAB解法求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)符號說明：在表達(dá)微分方程時，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求2階、3階等微分。任何D后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省。例如，微分方程應(yīng)表達(dá)為:D2y=0.例1求的通解.解輸入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')執(zhí)行結(jié)果：ans=tan(t+C1)

三、微分方程（組）的MATLAB解法求微分方程（組）的解析解48

例2解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')執(zhí)行結(jié)果：

y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)例2求微分方程的特解.

例3求微分方程組的通解例3解輸入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；

執(zhí)行結(jié)果：

x=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)y=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1z=C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1

例2解輸入命令:y=dsolve('D49微分方程的數(shù)值解在MATLAB中命令如下：[t,x]=solver(‘f’,ts,x0,options)（當(dāng)求不出微分方程的解析解時，可以求其數(shù)值解）。

符號說明：t為自變量；x為函數(shù)值；solver為求解函數(shù)，一共有5個，分別為ode45、ode23、ode113、ode15s和ode23s；f為待解方程寫成的m-文件名；ts=[t0,t1]，t0、t1為自變量的初值和終值；x0為函數(shù)的初值；options為選項(xiàng)，用于設(shè)定誤差限（缺省時設(shè)定相對誤差10-3，絕對誤差10-6），命令為：options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)，其中rt,at分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差。注意兩點(diǎn)：（1）在解n個未知函數(shù)的方程組時，n0和x均為n維向量，M-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成。（2）使用MATLAB軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組。微分方程的數(shù)值解50用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2或3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4或5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solve51解:令y1=x，y2=x’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);

plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖所示：即得x與t的關(guān)系.解:令y1=x，y2=x’1、建立m-文件vdp100052解

1、建立m-文件rigid.m如下：

function

dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：

[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),’b-’,T,Y(:,2),’g*’,T,Y(:,3),’r+’)3、結(jié)果如圖:y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.解1、建立m-文件rigid.m如下：2、取t0=0，t53四、減肥的數(shù)學(xué)模型0、問題描述

隨著社會的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關(guān)注的一個重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們越來越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一定要正確對待的問題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個正確減肥的問題。

四、減肥的數(shù)學(xué)模型541.問題分析在我們?nèi)粘Ｉ钪?，胖人越來越多。肥胖已成為影響人類健康的頭號殺手，減肥已經(jīng)提上日程，組成了人們生活中的一部分。減多少，怎樣減，是我們這次解決的問題。要求：根據(jù)實(shí)際問題，建立一個合理的數(shù)學(xué)模型來科學(xué)的減肥。微分方程(組)模型(齊)課件552.問題分析減肥最主要的是減去人體內(nèi)冗余的能量，能量最主要是由糖類、蛋白質(zhì)和脂肪轉(zhuǎn)化而來的。運(yùn)動減肥的原理是利用運(yùn)動需要消耗大量的能量來減掉人體內(nèi)多余的能量。如果我們每天吸收的能量超過消耗的能量，則我們的體重會增加，達(dá)不到減肥的目的。如果我們每天吸收的能量等于消耗的能量，我們的體重基本就不會變化。如果我們每天吸收的能量小于消耗的能量，我們的體重就會減少，也即求得問題的解決。為了消耗體內(nèi)多余的脂肪，就得每天進(jìn)行足夠的體育鍛煉。下面是一個在相當(dāng)簡化的層次下用微分方程建立的數(shù)學(xué)模型

2.問題分析563.模型假設(shè)1.設(shè)某人每天從食物中攝取的熱量是a(J)

。其中b(J)

是用于新陳代謝（即自動消耗）的熱量，而從事工作、生活每天每千克體重必須消耗α(J)的熱量，從事體育鍛煉每千克體重消耗β(J)的熱量.2.某人以脂肪形式儲存的熱量是百分之百有效的，即熱量和脂肪之間可以自由的無損耗的轉(zhuǎn)換.而1kg的脂肪含熱量42000J.

3.設(shè)體重w是時間t的連續(xù)函數(shù)，即w＝w(t)，忽略個體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對減肥的影響.3.模型假設(shè)574.符號說明a---某人每天在食物中攝取的熱量b---某人每天用于新陳代謝（及自動消耗）的熱量α---某人每天從事工作、生活每千克體重必需消耗的熱量β---某人每天從事體育鍛煉每千克體重消耗的熱量w---體重(單位：千克)w0---體重的初始值t---時間（單位：天）5.模型建立每天：體重的變化=輸入-輸出輸入：指扣除新陳代謝之外的凈吸收熱量輸出：指進(jìn)行工作、生活、體育鍛煉的總消耗熱量于是每天凈吸收量=(a-b)/42000(kg)

每天總消耗量=(α+β)w/42000(kg)4.符號說明58所以在t到t+?t時間內(nèi)體重的變化為由此體重變化的微分方程模型：6.模型求解應(yīng)用分離變量法或MATLAB軟件解得所以在t到t+?t時間內(nèi)體重的變化為597.模型分析與檢驗(yàn)由方程（1），根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可對減肥分析如下：

1.若，則凈吸收量大于總消耗量，，則體重增加.

2.若，則凈吸收量小于總消耗量，，則體重減小.3.若，則凈吸收量小于總消耗量，，則體重不變.4.當(dāng)時，.7.模型分析與檢驗(yàn)608.模型推廣

從我們建立的模型可以表明：只有適當(dāng)?shù)目刂芶(進(jìn)食)、b(新陳代謝)、α

(工作、生活)，β

(體育鍛煉)，要使體重保持正常值是可能的，而且從數(shù)學(xué)上看衰減的很快，一般在有限的時間內(nèi)（例如3---4個月）體重近似值等于，因此要減肥就要減少a(進(jìn)食)、增加b(新陳代謝)、α

(工作、生活)，β

(體育鍛煉)。市場上某些減肥藥可能在b(新陳代謝)上做文章，從而具有某種速效，但人的新陳代謝不能違反人的生理規(guī)律，所以某些強(qiáng)制性的大幅度改變?nèi)说男玛惔x的藥物會給人體造成不良后果，正確減肥策略是養(yǎng)成良好的飲食、工作、生活和鍛煉的習(xí)慣，即適當(dāng)控制a和α+β。當(dāng)然，對于不少肥胖者和運(yùn)動員來說，研究不新陳代謝的藥物是有必要的。8.模型推廣61

9.模型評價本模型通過對減肥的分析，從某一方面解決了減肥的問題。其優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)用生理學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識得出了科學(xué)減肥的公式。其不足之處：我們考慮了太多的常量，和實(shí)際的情況還有很大的距離，另外，我們建立的模型有點(diǎn)簡單，只是對減肥模型的一個粗略框架。9.模型評價62五、人口增長數(shù)學(xué)模型問題描述目前，人類生存面臨五大問題：人口問題、工業(yè)化的資金問題、糧食問題、資源問題和環(huán)境污染問題。其中人口問題為首要問題，主要是人口增長過快，尤其是20世紀(jì)70年代到80年代，增加10億人口僅僅用了12年。有人預(yù)計到21世紀(jì)中葉，人類將超過100億。地球上可供人類利用的資源是十分有限的，世界人口的迅速膨脹，尤其是發(fā)展中國家過高的人口增長率成為十分嚴(yán)峻的問題。面臨這樣的現(xiàn)實(shí)問題，人類必須進(jìn)行自我控制，即采取必要的措施抑制過快的人口增長率。而影響人口增長的因素有哪些？其中人口的基數(shù)、出生率和死亡率的高低、人口男女比例大小、人口年齡組成情況、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低、營養(yǎng)條件、醫(yī)療水平、人口素質(zhì)和環(huán)境污染等諸因素都影響人口增長。另外，各民族的風(fēng)俗習(xí)慣、傳統(tǒng)觀念、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭和人口遷移等也與人口增長密切相關(guān)。試建立一數(shù)學(xué)模型，對某一國或世界人口做出增長預(yù)測和控制，為正確的人口政策提供科學(xué)的依據(jù)。五、人口增長數(shù)學(xué)模型問題描述63Malthus（馬爾薩斯）模型模型假設(shè)(1)人口增長與人口基數(shù)有關(guān)；(2)人口增長與人口的增長率有關(guān)；(3)其余因素暫不考慮.符號說明N(t)表示t時刻人口總數(shù)；r(t,N(t))表示t時刻人口增長率，它與時間t和t時刻的人口總數(shù)N(t)有關(guān)，在Malthus模型中設(shè)為常數(shù)r.Malthus（馬爾薩斯）模型64模型建立則在t到t+?t這段時間內(nèi)人口總數(shù)增長為

N(t+?t)-N(t)=r[t,N(t)]N(t)?t兩端同除以?t，并令?t→0，則有(1)

令(1)式中r[t,N(t)]=r(常數(shù))得出，即(2)模型求解對式(2)進(jìn)行求解，其解為(3)

式(3)是一個指數(shù)方程，稱為Malthus人口模型，即人口以er為公比，按幾何級數(shù)增加。r>0時，式(3)表示人口按指數(shù)規(guī)律無限增長，故又稱為指數(shù)增長模型。模型建立65模型分析根據(jù)估計1961年全世界人口總數(shù)為3.06×109，而在此之前的10年人口按每年2%的速率增長。因此t0=1961,N0=3.06×109,r=0.02于是N(t)=3.06×109e0.02(t-1960)

（4）

公式（4）非常準(zhǔn)確的地反映了1700-1994年間世界估計人口總數(shù)。因此在這期間地球上的人口大約每隔35年增長一倍，而上述方程斷定每隔34.6年增加一倍。證明：假設(shè)在T=t-t0時間段內(nèi)地球上的人口增加一倍，即當(dāng)t=t0時，N0=3.06×109e0.02(t-1960)=3.06×109.當(dāng)T=t-t0時，2

N0=3.06×109e0.02T.兩式相除，得e0.02T=2兩端取自然對數(shù)，得0.02T=ln2，即T=50ln2≈35(年)。模型分析66模型檢驗(yàn)下面再檢驗(yàn)Malthus人口模型是否符合未來的實(shí)際情況。由式（4）可以計算出到2510年世界人口總數(shù)將是2×1014人（如果全世界所有陸地、海洋面積均算在內(nèi)的話，每人平均僅有0.864m2）。到2635年為1.8×1014人（每人平均僅有0.093m2）.而到到2670年為3.6×1014人（每人平均僅有0.046m2）.模型評價顯然，這些數(shù)字充分說明Malthus人口模型用于長期預(yù)測世界人口總數(shù)是不正確的。究其原因會發(fā)現(xiàn)，只要人口總數(shù)不太大時，人口總數(shù)增長的線性數(shù)學(xué)模型(Malthus

模型)是正確的，但當(dāng)人口總數(shù)非常大時，地球上各種資源、壞境條件等因素對人口增長的限制作用將越來越顯著。若當(dāng)人口總數(shù)較小時，人口增長率可以看做常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，這個增長率要隨人口增加而減小。模型檢驗(yàn)67Logistic(邏輯斯蒂)模型模型假設(shè)(1)人口增長與人口基數(shù)有關(guān)；(2)人口的增長率隨著人口增加而減小；(3)其余因素暫不考慮.符號說明r表示人口的增長率;K表示生命系數(shù)；N(t)表示t時刻人口總數(shù)；-KN2(t)

表示人口的增長率隨著人口增加而減小的幅度，敏感系數(shù)K體現(xiàn)了環(huán)境抑制作用，但K<<r；Nm表示環(huán)境容量.Logistic(邏輯斯蒂)模型68模型建立在微分方程式(2)的右端加上一項(xiàng)-KN2，表示人口增長率隨人口的增加而減小。此時式(2)變?yōu)?5)

式(5)稱為Logistic

模型.模型求解由于該模型考慮了自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用也越來越大，所以該模型又稱為阻滯增長模型。它是一種伯努利(Bernoulli)方程，其解為

(6)模型建立69模型分析對于式(6)進(jìn)行分析研究，可以得出人口總數(shù)具有如下規(guī)律：(1)當(dāng)t→∞是，N(t)→r/K。即結(jié)論是不管其初值如何，人口總數(shù)最終將趨向于一極限值r/K。(2)當(dāng)0<N(t)<r/K時，所以N(t)是時間的單調(diào)遞增函數(shù)。(3)當(dāng)Nm=r/K，式(6)可以化簡為圖（1）表示人口隨時間的變化規(guī)律；圖（2）表示人口增長率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.

otN(t)NmNm/2N0oNmNm/2dN(t)/dtN(t)(1)(2)模型分析otN(t)NmNm/2N0oNmNm/2dN(t)70模型檢驗(yàn)據(jù)生物學(xué)家估計，r的自然值為0.029，又在1961年人口總數(shù)為3.06×109時，人口增長率為2%由即0.02=0.029-K(3.6×109)，得K=2.941×10-12.按照Logistic模型，世界人口總數(shù)的極限值為模型評價1961年世界人口總數(shù)為30億左右，尚未達(dá)到地球所能養(yǎng)活人口極限100億的一半。因此世界人口總數(shù)將處于加速增長時期。這與1961年以后的一段時期世界人口增長很快確實(shí)是吻合的。當(dāng)然因?yàn)槲覀兡Ｐ秃雎砸恍┮蛩兀T如戰(zhàn)爭、醫(yī)療技術(shù)進(jìn)步等，對于有著復(fù)雜生命史和個體生長期較長的生物種群，可能有多種響應(yīng)來對種群的增長作較大的改動。模型檢驗(yàn)71模型推廣

放射性元素的衰變規(guī)律（檢驗(yàn)名畫的真?zhèn)?，考古年代的判斷）?jīng)濟(jì)領(lǐng)域（通貨膨脹，利率，新產(chǎn)品的銷售，廣告宣傳等）動植物生長規(guī)律，濃度的擴(kuò)散（人體內(nèi)藥物的吸收，傳染病的傳播與流行等）。說明：以上兩種模型的主要建模思想是圍繞人口的基數(shù)和增長率而展開的，實(shí)際上，人口的預(yù)測和控制是一個非常復(fù)雜的問題，僅僅考慮增長率是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。例如，增長率與人口的出生率和死亡率有關(guān)，而出生率和死亡率又與人口的年齡密切有關(guān)。如果把各種因素都考慮在內(nèi)，如考慮人口年齡分布，則所建的模型將會復(fù)雜和繁瑣。同學(xué)們仔細(xì)閱讀299頁10.1節(jié)人口增長，理解馬爾薩斯模型和邏輯斯蒂模型。說明：72六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型問題描述

第一次世界大戰(zhàn)期間，戰(zhàn)爭給人們帶來了許多災(zāi)難。一場戰(zhàn)爭的結(jié)局怎樣，是人們關(guān)心的問題，同樣也引起了數(shù)學(xué)家們的注意，能用數(shù)量關(guān)系來預(yù)測戰(zhàn)爭的勝負(fù)嗎？F.W.Lanchester首先提出了一些預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，后來人們對這些模型作了改進(jìn)和進(jìn)一步的解釋，用以分析歷史上一些著名的戰(zhàn)爭，如二次世界大戰(zhàn)中的美日硫黃島之戰(zhàn)和1975年結(jié)束的越南戰(zhàn)爭。Lanchester作戰(zhàn)模型雖然比較簡單，對局部戰(zhàn)爭還是有參考價值，為研究社會科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問題提供了借鑒的示例。六、蘭徹斯特（Lanchester）作戰(zhàn)模型問題描述73問題提出

兩軍對壘，甲軍有m個士兵，乙軍有n個士兵,試計算戰(zhàn)斗過程中雙方的傷亡情況，并預(yù)測戰(zhàn)斗的結(jié)局。問題分析

(1)影響戰(zhàn)爭的因素：兵員的多少，武器的配備，指揮員的藝術(shù)，地理位置的優(yōu)劣，士氣的高低，兵員素質(zhì)的高低，后勤供應(yīng)充分與否等。(2)抓主要矛盾：兵員的多少，武器的配備，指揮員的藝術(shù)。若武器配備與指揮員水平相當(dāng)，則重中之重便是兵員多少的問題。問題提出74模型假設(shè)

(1)甲乙雙方的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的人數(shù)。設(shè)時刻甲乙雙方的人數(shù)分別為；

(2)甲乙雙方人員的變化主要是戰(zhàn)斗減員、非戰(zhàn)斗減員和增援部隊(duì)。雙方戰(zhàn)斗減員率分別為非戰(zhàn)斗減員率只與本方兵力成正比，比例系數(shù)為(3)甲乙雙方的增援率是給定的函數(shù)，分別為

(4)假設(shè)模型假設(shè)75一般戰(zhàn)爭模型：下面針對不同的戰(zhàn)爭模型討論戰(zhàn)斗減員率的具體表示形式，并分析影響戰(zhàn)爭結(jié)局的因素。(i)正規(guī)戰(zhàn)爭模型：

甲方的戰(zhàn)斗減員率與乙方的士兵數(shù)成正比，即，表示乙方每個士兵對甲方士兵的殺傷力，稱為乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。進(jìn)一步可分解為，是乙方的射擊率（單位時間內(nèi)乙方每個士兵的射擊次數(shù)），是乙方每次射擊的命中率。一般戰(zhàn)爭模型：下面針對不同的戰(zhàn)爭模型討論戰(zhàn)斗減76正規(guī)部隊(duì)與正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)的模型，如(1)。在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時忽略非戰(zhàn)斗減員和雙方的增援，(1)簡化為(2)。為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系。乙方勝0平方率模型正規(guī)部隊(duì)與正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)的模型，如(1)。在分析戰(zhàn)爭77(ii)游擊戰(zhàn)爭模型：

甲方的戰(zhàn)斗減員率不僅與乙方的士兵數(shù)成正比，而且與甲方士兵數(shù)成正比。即，乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)

為，是乙方的射擊率，命中率等于乙方一次射擊的有效面積與甲方活動面積之比，即。雙方都用游擊戰(zhàn)。忽略非戰(zhàn)斗減員和沒有增援(ii)游擊戰(zhàn)爭